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1、CAX 研发中心 曲线曲面基本理论一、概述一、概述曲面造型(Surface Modeling)是计算机辅助几何设计 (Computer Aided Geometric Design,CAGD) 和计算机图形学的一项重要内容，主要研究在计算机图象系统的环境下对曲面的表示、设计、显示和 分析。它起源于汽车、飞机、船舶、叶轮等的外形放样工艺，由 Coons、Bezier 等大师于二十世纪六 十年代奠定其理论基础。经过三十多年的发展，曲面造型现在已形成了以有理 B 样条曲面(Rational B- spline Surface)参数化特征设计和隐式代数曲面(Implicit Algebraic Su
2、rface)表示这两类方法为主体， 以插值(Interpolation)、逼近(Approximation)这二种手段为骨架的几何理论体系。1发展历程发展历程形状信息的核心问题是计算机表示，既要适合计算机处理，且有效地满足形状表示与设计要求， 又便于信息传递和数据交换的数学方法。象飞机、汽车、轮船等具有复杂外形产品的表面是工程中必 须解决的问题。曲面造型的目的就在如此。1963 年美国波音（Boeing）飞机公司的佛格森（Ferguson）最早引入参数三次曲线（三次 Hermite 插值曲线） ，将曲线曲面表示成参数矢量函数形式，构造了组合曲线和由四角点的位置矢量、 两个方向的切矢定义的佛格森
3、双三次曲面片，从此曲线曲面的参数化形式成为形状数学描述的标准形 式。CAX 研发中心 Ferguson曲线t= 0t= 1Q0 Q1Q0Q1图 Ferguson曲面Q0 0uvQ0 1Q1 0Q1 1仅用端点的位置和切矢控制曲线形状是不够的，中间的形状不易控制，且切矢控制形状不直接。 1964 年，美国麻省理工学院（MIT）的孔斯（Coons）用四条边界曲线围成的封闭曲线来定义一 张曲面，Ferguson 曲线曲面只是 Coons 曲线曲面的特例。而孔斯曲面的特点是插值，即构造出来的 曲面满足给定的边界条件，例如经过给定边界，具有给定跨界导矢等等。但这种方法存在形状控制与 连接问题。图 Co
4、ons曲面Q0 0uvQ0 1Q1 0Q1 1Q(u,0)Q(u,1)Q(0,v)Q(1,v)1964 年，舍恩伯格（Schoenberg）提出了参数样条曲线、曲面的形式。 1971 年，法国雷诺（Renault）汽车公司的贝塞尔（Bezier）发表了一种用控制多边形定义曲线 和曲面的方法。这种方法不仅简单易用，而且漂亮地解决了整体形状控制问题，把曲线曲面的设计向 前推进了一大步，为曲面造型的进一步发展奠定了坚实的基础。但当构造复杂曲面时，Bezier 方法仍存在连接问题和局部修改问题。 同期，法国雪铁龙（Citroen）汽车公司的德卡斯特里奥（de Castelijau）也独立地研究出与 B
5、ezier 类似的方法。 1972 年，德布尔（de Boor）给出了 B 样条的标准计算方法。 1974 年，美国通用汽车公司的戈登（Gorden）和里森费尔德（Riesenfeld）将 B 样条理论用于 形状描述，提出了 B 样条曲线和曲面。这种方法继承了 Bezier 方法的一切优点，克服了 Bezier 方法 存在的缺点，较成功地解决了局部控制问题，又轻而易举地在参数连续性基础上解决了连接问题，从 而使自由型曲线曲面形状的描述问题得到较好解决。但随着生产的发展，B 样条方法显示出明显不足， 不能精确表示圆锥截线及初等解析曲面，这就造成了产品几何定义的不唯一，使曲线曲面没有统一的 数学描
6、述形式，容易造成生产管理混乱。 1975 年，美国锡拉丘兹（Syracuse）大学的佛斯普里尔（Versprill）提出了有理 B 样条方法。CAX 研发中心 年代后期皮格尔（Piegl）和蒂勒（Tiller）将有理 B 样条发展成非均匀有理 B 样条方法（即 NURBS） ，并已成为当前自由曲线和曲面描述的最广为流行的技术。 NURBS 方法的突出优点是：可以精确地表示二次规则曲线曲面，从而能用统一的数学形式表示 规则曲面与自由曲面，而其它非有理方法无法做到这一点；具有可影响曲线曲面形状的权因子，使形 状更宜于控制和实现；NURBS 方法是非有理 B 样条方法在四维空间的直接推广，多数非有
7、理 B 样条 曲线曲面的性质及其相应算法也适用于 NURBS 曲线曲面，便于继承和发展。 由于 NURBS 方法的这些突出优点，国际标准化组织(ISO)于 1991 年颁布了关于工业产品数据交 换的 STEP 国际标准，将 NURBS 方法作为定义工业产品几何形状的唯一数学描述方法，从而使 NURBS 方法成为曲面造型技术发展趋势中最重要的基础。2基本概念基本概念曲线、曲面的显式、隐式、参数表示曲线、曲面的显式、隐式、参数表示 曲线、曲面可以用显式、隐式和参数表示。 显式：显式：形如 z f（x，y）的表达式。对于一个平面曲线，显式表示一般形式是：y=f（x）。在 此方程中，一个 x 值与一个
8、 y 值对应，所以显式方程不能表示封闭或多值曲线，例如，不能用显式方 程表示一个圆。 隐式隐式：形如 f（x，y，z） 0 的表达式。如一个平面曲线方程，表示成 f（x，y）=0 的隐式表示。 隐式表示的优点是易于判断函数 f（x，y）是否大于、小于或等于零，也就易于判断点是落在所表示曲 线上或在曲线的哪一侧。 参数表示：参数表示：形如 x f（t），y f（t），z f（t）的表达式，其中 t 为参数。即曲线上任一 点的坐标均表示成给定参数的函数。 如平面曲线上任一点 P 可表示为： P(t) = x(t), y(t)； 空间曲线上任一三维点 P 可表示为： P(t) = x(t), y(t
9、), z(t)；如图：最简单的参数曲线是直线段，端点为 P1、P2 的直线段参数方程可表示为： P(t) = P1 + ( P2 - P1 )t t0, 1; 圆在计算机图形学中应用十分广泛，其在第一象限内的单位圆弧的非参数显式表示为：其参数形式可表示为：参数表示的曲线、曲面具有几何不变性等优点，计算机图形学中通常用参数形式描述曲线、曲面。 其优势主要表现在： （1）可以满足几何不变性的要求，坐标变换后仍保持几何形状不变 （2）有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。如一条二维三次曲线的显式表示为：CAX 研发中心 8 个系数可用来控制此曲线的形状。 （3）对非参数方程表示的曲线、曲面进行变换
10、，必须对其每个型值点进行几何变换，不能对其 方程变换（因不满足几何变换不变性不满足几何变换不变性）；而对参数表示的曲线、曲面可对其参数方程直接进行几何变 换。 （4）便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中断计算。 （5）参数方程中，代数、几何相关和无关的变量是完全分离的，而且对变量个数不限，从而便 于用户把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间去。这种变量分离的特点使我们可以用数学公式处理 几何分量。 （6）规格化的参数变量 t0, 1，使其相应的几何分量是有界的，而不必用另外的参数去定义边 界。 （7）易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。 位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和挠率位置矢量、切
11、矢量、法矢量、曲率和挠率 （见高等数学）插值、逼近、拟合插值、逼近、拟合 插值：插值：给定一组有序的数据点 Pi，i=0, 1, , n，构造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些 数据点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线。常用插值方法有线性插值、抛物线插值等。 逼近：逼近：构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点，称为对这些数据点进行逼近，所构 造的曲线为逼近曲线。 拟合：拟合：插值和逼近则统称为拟合（fitting） 。 光顺、光顺、连续性连续性 光顺：光顺：通俗含义指曲线的拐点不能太多，曲线拐来拐去，就会不顺眼，对平面曲线而言，相对光 顺的条件是：a）具有二阶几何连续性(G2)；b
12、）不存在多余拐点和奇异点；c）曲率变化较小。 连续性：连续性：设计一条复杂曲线时，常常通过多段曲线组合而成，这需要解决曲线段之间如何实现光 滑连接的问题，即为连续性问题。 曲线间连接的光滑度的度量有两种：一种是函数的可微性，把组合参数曲线构造成在连接处具有 直到 n 阶连续导矢，即 n 阶连续可微，这类光滑度称之为 C n或 n 阶参数连续性。另一种称为几何连续性，组合曲线在连接处满足不同于 C n的某一组约束条件，称为具有 n 阶几何连续性，简记为 G n。 曲线光滑度的两种度量方法并不矛盾，C n连续包含在 G n连续之中。CAX 研发中心 P(t) 和 Q(t)，参数，若要求在结合处达
13、到 G0连续或 C0连续，即两曲线在结合处位置连续：P(1) = Q (0) 。 若要求在结合处达到 G1连续，就是说两条曲线在结合处在满足 G0连续的条件下，并有公共的切矢： （11）当时，G1连续就成为 C1连续。 若要求在结合处达到 G2连续，就是说两条曲线在结合处在满足 G1连续的条件下，并有公共的曲率矢： （12） 代入(11)得：这个关系为：(13)即 Q”(0)在 P”(1)和 P(1)确定的平面内。为任意常数。当，时，G2连续就成为 C2连续。在弧长作参数的情况下，C1连续保证 G2连续，C1连续能保证 G2连续，但反过来不行。也就 是说 C n连续的条件比 G n连续的条件要
14、苛刻。3简单代数曲面简单代数曲面CAX 研发中心 曲线的定义曲线的定义1定义定义给定空间 n+1 个点的位置矢量 Pi（i=0，1，2，n），则 Bezier 参数曲线上各点坐标的插值公 式是：将其写成矩阵表达形式为：P（t） PnPPtBtBtBnnnn.)(.)()(10, 1, 0其中，Pi构成该 Bezier 曲线的特征多边形，Bi,n(t)是 n 次 Bernstein 基函数：注意：约定 0 = 1, 0! = 1 n=0, B0,0(t) = 1 n=1, B0,1(t) = 1-t B1,1(t) = t n=2, B0,2(t) = (1-t)2 B1,2(t) = 2t(1-t) B2,2(t) = t2 n=3, B0,3(t) = (1-t)3 B1,3(t) = 3t(1-t)2 B2,3(t) = 3t2（1-t） B3,3(t) = t3 如图所示是一条三次 Bezier 曲线实例，即 n 3 。图 三次 Bezier 曲线 对于三次 Bezier 曲线，其表达式为t0,1)()(3 ,30tBPtPi ii CAX 研发中
