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1、双曲线双曲线一、教学目标：一、教学目标： 1、掌握双曲线的定义，标准方程，能根据条件利用待定系数法求双曲线方程，掌握双曲 线的几何性质，了解双曲线的初步应用。 2、了解双曲线的参数方程，能根据方程讨论双曲线的性质，掌握直线与双曲线位置关系 的判断方法，能够正确熟练地解决直线和双曲线的位置关系的一些问题。二、知识要点分析：二、知识要点分析： （一）双曲线的定义 双曲线的定义：平面内与两定点 F1，F2距离的差的绝对值等于定长 2a（小于|F F |）12 的点的轨迹叫双曲线，即|PF |PF |2a（2a|F F |） 。1212 此定义中， “绝对值”与 2a|F F |，不可忽视。若 2a|
2、F F |，则轨迹是以 F ，F12121 为端点的两条射线，若 2a|F F |，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表212 示双曲线的一支。（二）双曲线的标准方程及几何性质 1、标准方程是指中心在原点，坐标轴为对称轴的标准位置的双曲线方程中心在原点，焦点在轴上x中心在原点，焦点在轴上y标准方程22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab图 形顶 点)0 ,(),0 ,(21aAaA ), 0(), 0(21aBaB对称轴轴，轴；虚轴为，实轴为xyb2a2焦 点)0 ,(),0 ,(21cFcF ), 0(), 0(21cFcF焦 距 )0(2|21ccFF222
3、bac离心率（离心率越大，开口越大）) 1( eace准 线cax2 cay2 渐近线xabyxbay焦准距cb cacp22 2、判断椭圆方程中焦点位置的不同，是通过比较 x ，y 系数的大小，而双曲线是看 x22，y 的系数的正负号，焦点在系数为正的坐标轴上，简称为“焦点在轴看正号”223、共轭双曲线 以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线。1 与1 互为共轭双曲线，其性质如下： 2222by ax2222yx ba（1）双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线。 （2）双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距。（3）与1 具有相同渐近线的双曲线系方程为k（k0）222
4、2by ax2222by ax4、如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.0by ax)0(2222 byax5、等轴双曲线：实轴与虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，xy离心率。2e 6、弦长公式：（1）过焦点的弦长：|AB|e（d d ） ， （2）一般的弦长公式：类似于12 椭圆，x ，x 分别为弦 PQ 的横坐标，弦 PQ 所在的直线方程为 ykxb，代入双曲线方12程整理得 Ax BxC0，则，若 y ，y 分别为弦 PQ 的纵坐标，2PQ2121xxk12则。PQ21211yyk三、例题三、例题 例 1. 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：
5、（3）双曲线 C 的右焦点为（2，0） ，右顶点为)0 , 3(（4）与双曲线 x22y22 有共同的渐近线，且经过点（2，2） （5）过点 P（2，1） ，渐近线方程是 y3x. 解：解：（1）设双曲线方程为 mx2ny21， 于是，设所求双曲线方程为 或 22 19xy kk22 19yx kk把代入，得与 k0 矛盾，无解；把代入，得 k=9，故所)29 , 3(161k)29 , 3(求双曲线方程为。19x 81y22 说明：说明：本例解法是待定系数法：（1）中设法叫“统设”，由此可知，统设方程 mx2ny21 可以代表椭圆、双曲线这两种标准方程；（2）中设法叫“分设” ，因由离心率的
6、条件不能区分实轴在 x 轴上还是在 y 轴上，故分别设出两种方程. （3）设双曲线方程为 22221xy ab).0, 0(ba由已知得. 1b,cba, 2c, 3a2222得再由故双曲线 C 的方程为. 1322 yx（4）设所求双曲线方程为 x22y2k， 由于双曲线过点（2，2） ，将（2，2）代入，得 k222（2）24. 故所求双曲线方程为 x22y24， 即 2y2x24. 说明：说明：容易证明，因此，如果已知上述各种形式的渐近线方程，则可统设双曲线方程为，2222xykab其中 k 的符号调节实轴位置，k调节轴长。 （5）分析：首先要确定所求双曲线的标准类型，可在图中判断一下点
7、 P（2，1）在 渐近线 y3x 的上方还是下方？如图所示，x2 与 y3x 交点为 Q（2，6） ， P（2，1）在 Q（2，6）的上方，所以焦点在 x 轴上. 方法一：方法一：设双曲线方程为. 依题意，得12222 by ax解得 114322baab35b935a22所求双曲线方程为135 93522 yx方法二：方法二：由渐近线方程 3xy0，可设所求双曲线方程为 （0） （*）2291yx将点 P（2，1）的坐标代入（*） ，得 35所求的双曲线方程为135 93522 yx例 2. 直线 L：与曲线有两个不同的交点，1yax2231xy（1）求 a 的取值范围 （2）设交点为 A，
8、B，若以 AB 为直径的圆恰过原点，求 a 的值。解：解：（1）由方程组22311xyyax可得，22(3)220axax依题意，方程有两个实根，则2300a 即2223( 2 )4(3)( 2)0aaa解得663aa 且故 a 的取值范围是(6,3)(3, 3)( 3, 6) （2）设 A（） ，B（） ，11,x y22,xy由题意可得 OAOB（O 是坐标原点） ， 则有12120x xy y而1212(1)(1)y yaxax2 1212() 1a x xa xx，2 12121212(1)() 10x xy yax xa xx 由（1）可知12122222,33axxx xaa代入上
9、式可得01a3a2aa32) 1a (222解得，且满足（1）的条件，1a 故 a 的值为。1 反思：反思：直线和曲线的交点问题即是由它们的方程组成的方程组的解的问题，而方程组 的解往往转化为一元二次方程的解，因此讨论一元二次方程的根的方法要非常熟练。其基 本步骤应为：观察二次项系数，看是否需要讨论；分析判别式，看是否有根；应用 韦达定理，虽不解方程却能观察根的情况。解题时要始终遵循以上原则，养成良好的思维 习惯，为后面解决直线与圆锥曲线位置关系的问题打下坚实的基础，同时要逐步培养含字 母的解析式的运算能力。例 3. 设双曲线的顶点是椭圆的焦点，该双曲线又与直线22 134xy交于 A，B 两
10、点，且 OAOB（O 为坐标原点）15360xy（1）求此双曲线的方程；（2）求|AB|. 解：解：（1）已知椭圆的焦点为（0，1） ，即是双曲线的顶点， 因此设双曲线方程为 y2 mx21（m0） ， A（x1，y1） 、B（x2，y2）是方程、组成的方程组的两个解. 由、消去常数项，得（2）设 AB 的中点为 M（x0，y0） ，则在 RtABO 中，可知|AB|2|OM|两式相减，得22 2212 121,133xxyy把31 xxyy xxyy21212121即得31 x2y2 315004|AB|441 4152yx2|AB|2 02 0为说明：说明：本题的常规解法是“根系关系法”
11、，即由方程、组成的方程组，消去 y 得到 x 的二次方程，由根与系数的关系得到，再解1212xxx x和OAOB，即可解决问题（1） ；再由弦长公式求得AB.但计算量较12120x xy y大，因此我们给出了上面的解法：在（1）中构造了以 kOA、kOB为二根的二次方程，轻巧地求得了待定系数 m；在（2）中用了“斜率关系法” （即） ，也省31 xxyy xxyy21212121去了麻烦的计算. 例 4. 已知直线与曲线恰有一个公共点，求实数的值。1) 1(xayaxy 2a解：解：联立方程 axy1x) 1a (y2（1）当=0 时，此方程恰有一组解为：a 0y1x（2）0 时，消去 x，得
12、y2y1=0。aaa1若=0，即=1，aa1a方程变为一元一次方程：y1=0，方程组恰有一组解： 1y1x若0，即1，令=0 得：1+4=0，可得=，这时直线与曲线aa1aaa1a54相切，只有一个公共点.综上所述知，当=0、1、时，直线与曲线恰有一个公a541) 1(xayaxy 2共点。例 5. 已知中心在坐标原点的双曲线 C 的右焦点为（2，0） ，右顶点为（） 。0 , 3（1）求双曲线 C 的方程；（2）若直线与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B，且2kxy: l（其中 O 为原点） ，求 k 的取值范围。2OBOA解析：解析：（1）设双曲线方程为，)0b, 0a ( 1by
13、 ax2222 由已知得。1b, 2c, 3a故所求双曲线方程为。1y3x22 （2）将代入，可得2kxy1y3x22 ，09kx26x)k31 (22由直线 l 与双曲线交于不同的两点 A，B 得， 0)k1 (36)k31 (36)k26(0k312222故1k31k22且设，则)y,x(B),y,x(A2211，221221k319xx,k31k26xx由，2yyxx2OBOA2121得而)2kx)(2kx(xxyyxx21212121，1k37k32k31k26k2k319) 1k(2)xx(k2xx) 1k(2222221212于是解此不等式得, 21k37k322 3k312由得。
14、1k312点评：点评：在讨论直线和圆锥曲线的位置关系时，先联立方程组，再消去或，得到xy 关于或的方程，如果是直线与圆或椭圆，则所得方程一定为一元二次方程；如果是yx 直线与双曲线或抛物线，则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况，只有二次方 程才有判别式，另外还应注意斜率不存在的情形。例 6 曲线P 在 M 上，A（1，2） ，B（3，8） ，求最小值。)0( 192:22 xyxMPABS与 AB 平行的曲线的切线：013: yxlAB03yx18290322yxyx0)182(12922xx0)182(36144223依图3 510102),(ABlld切102|AB2102510 21minPABS例 7 如图，双曲线的离心率为，F1，F2分别为左、右焦点，0, 012222 baby ax 25M 为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且。4121MFMF（1）求双曲线的方程；（2）设 A（m，0）和是 x 轴上的两点。过点 A 作斜率不为 0 的100 ,1 mmB直线 ，使得 交双曲线于 C，D 两点，作直线 BC 交双曲线于另一点 E。证明直线 DE 垂ll 直于 x 轴。解析：解析：（1）根据题设条件，设点 M（x，y） ，则 x，y 满足0 ,0 ,
