关于组合数学中的分配问题的讨论

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1、姓名：唐晴 题目：关于组合数学中的分配问题的讨 论1 / 5关于组合数学中的分配问题的讨论关于组合数学中的分配问题的讨论作者：唐晴作者：唐晴工作单位：湖南省凤凰县禾库中学工作单位：湖南省凤凰县禾库中学【摘要摘要】 本文主要讲述如何解答分配问题，同时还介绍在分析问题时应该注意 的方法。 【关键词关键词】 组合;分配;平均;不平均组合数学中的分配问题，即人们常说的“平均分组”与“不平均分组”问题，它既是组合数学中的重点，也是难点，值得广大教学工作者一起探讨。鉴于该类问题的抽象性较大，应用广泛，笔者根据自己的经验与理解，写下了这篇论文，希望对教与学有一定的帮助。1.相关概念 1.1 平均分组问题平均

2、分成的组，不管它们的顺序如何都是一种情况，所以分组后要除以，即Amm ，其中表示组数。至于为什么要除以呢？读者不妨看下面的例题。!mm!m 例 把分成平均两组有多少种分法？abcd首先，从 4 个字母当中选两个，即种选法，再选剩下的两个种选法，根据C24C22乘法原理一共种选法。选得的结果如下：CC2224cdab bdac bcad adbc acbd abcd 姓名：唐晴 题目：关于组合数学中的分配问题的讨 论2 / 5其中相同，相同，相同，所以结果为种分法。ACC 222224平均分组包括以下两种类别：有分配对象和无分配对象；分配对象确定和分配对象不确定。也就是问题探讨前四种问题：均分无

3、分配对象的问题、均分有分配对象的问题（包括分配对象确定与分配对象不确定）、部分均分无分配对象的问题、部分均分有分配对象的问题（包括分配对象确定与分配对象不确定）。 1.2 不平均分组问题1.有分配对象和无分配对象；2.分配对象确定和分配对象不确定。即问题探讨的后两种问题：非均分组无分配对象的问题、非均分组有分配对象的问题（包括分配对象确定与分配对象不确定）。2.问题探讨2.1 均分无分配对象的问题例 2.1 12 本不同的书 （1） 按平均分成堆有多少种不同的分法？4:4:43 （2） 按平均分成 4 堆有多少种不同的分法？3:3:3:3解：（1）ACCC 334448412（2）ACCCC

4、443336393122.2 均分有分配对象的问题例 2.2 6 本不同的书（1） 平均分给甲乙丙 3 个人，有多少种不同的分法？（分配对象不确定）（2） 甲 2 本、乙 2 本、丙 2 本，有多少种不同的分法？（分配对象确定）解：（1）（种）903333222426AACCC（2）（种）90222426CCC注意：均分有分配对象的问题，分配对象确定与分配对象不确定是同一回事。2.3 部分均分无分配对象的问题例 2.3 12 本不同的书按以下方式分配分别有多少种不同的分法？姓名：唐晴 题目：关于组合数学中的分配问题的讨 论3 / 5（1） 按分配；6:2:2:2 （2） 按分配；1:1:10

5、（3） 按分配。2:3:3:2:2解：（1）ACCCC 336628210212（2）ACCC 221010111112(3) AACCCCC 22332235382102122.4 部分均分有分配对象的问题例 2.4 12 支笔按如下方式分给 A、B、C、D、E 五个人，分别有多少种不同的分法？（1） 按分配；（分配对象不确定）2:2:2:3:3 （2） A 三本、B 三本、C 二本、D 二本、E 二本。（分配对象确定）解：（1）AAACCCCC55223322242639312（2）CCCCC222426393122.5 非均分组无分配对象的问题例 2.5 16 本不同的书 （1） 按分成

6、 3 堆有多少种不同的分法？10:5:1 （2） 按分成 3 堆有多少种不同的分法？4:3:1 （3） 按分成 4 堆有多少种不同的分法？7:4:3:2解：（1）CCC1010515116（2）CCC88614216（3）CCCC77411314216注意：非均分无分配对象问题只要按比例分再用乘法原理作积。2.6 非均分组有分配对象的问题例 2.6 12 本不同的书 （1） 按分给甲乙丙 3 人有多少种分法？（分配对象确定）3:2:1 （2） 1 人 2 本、1 人 4 本、1 人 6 本分给甲乙丙三人有多少种不同的分法？ （分配对象不确定）解：（1）CCC66410212姓名：唐晴 题目：关

7、于组合数学中的分配问题的讨 论4 / 5（3）ACCC3366410212注意：非均分组有分配对象，并且分配对象不确定，要把组数当做元素个数再做排 列。3.分配问题的相关变形在掌握了以上基本问题情境的基础上，我们可以把其他更为复杂的组合数学题转化为分配问题，从而达到事半功倍的效果。例 3.1 撒个不同的小球放入编号为 1、2、3、4 的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？分析：恰有一个空盒，则另外三个盒子中小球数分别为 1、1、2.实际上可转化为先将四个不同的小球分为三组，两组各一个，另一组 2 个，分好组后再排列。解：（种）1443422221314AACCC例 3.2 有甲、乙、丙三项

8、任务，甲需二人承担，乙、丙各需一人承担，从 10 人中选派 4 人承担这三项任务，不同的选法有多少种？解：先考虑分组，共有种分法；再考虑排列，因为甲任务需 2 人承担，ACCC 222819110所以 2 人的那组只能承担甲任务，而 1 人的组既可以承担乙任务又可承担丙任务。综合起来，不同的选法有（种）252022222819110AACCC评析：解数学问题时，要学会“具体问题具体分析”，辩证的对待每一个问题，这样才能提高解题能力。例 3.3 把 4 名男乒乓球选手和 4 名女乒乓球选手同时平均分成两组进行混双比赛，不同的比赛分配方法有多少种？分析：用 1、2、3、4 标记 4 名男乒乓球选手

9、，用 a、b、c、d 标记 4 名女乒乓球选手，该问题可转化为把男女选手分别平均分配，然后再组合，假设男选手分配为（12）、（34），女选手分配为（ab）、（cd）,则组合可得 8 种情况：1a2b,3c4d;1a2b,3d4c;1b2a,3c4d;1b2a,3d4c; 1c2d,3a4b;1c2d,3b4a;姓名：唐晴 题目：关于组合数学中的分配问题的讨 论5 / 51d2c,3a4b;1d2c,3b4a.解：共有（种）728222224 222224ACC ACC例 3.4 设集合，A 为定义域，B 为值域，则从集合 A4 , 3 , 2 , 1A8 , 7 , 6B到集合 B 不同的函数

10、有多少个？ 分析：根据函数的概念，可知集合 A、B 中的每个元素都有“归宿”，而集合 B 的 每个元素接受集合 A 中对应的元素的数目不限，所以此问题可转化为将 A 中的 4 个元 素按分配到 B 中的 3 个元素里.1:1:2解：（个） 363322111224AACCC4.总结对于“平均分组”与“不平均分组”问题，我们要理解各种情况，同时懂得创新，能够将一些其他的排列组合题转化为分配问题来解决，对我们的教与学是大有裨益的。【参考文献参考文献】1人民教育出版社数学室编著. 普通高中课程标准实验教科书数学必修 2. 北京：人民教育出版社，2004，7作者简介：作者简介：唐晴，出生于 1986 年 9 月，男，土家族，湖南省凤凰县木江坪镇长车村 人，现就职于湖南省凤凰县禾库中学，担任中学数学教师，中教二级，大学本科学士学位， 主要从事数学教学研究和数理逻辑研究。 （附：电话 13738421926 邮箱 收刊人及地址 唐晴，湖南省 凤凰县木江坪镇长车村 1 组 邮编 416205）