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1、广西师范大学硕士学位论文关于半代数若干问题的研究姓名：康德恒申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：易忠20090401关于半代数若干问题的研究关于半代数若干问题的研究 研究生: 康德恒 导师: 易忠 学科专业: 基础数学 研究方向: 代数及其应用 年级: 2006 级 摘摘 要要 本文共分三部分,每部分为一章. 第一章是关于半代数的零化子同余及忠实性的讨论.本章引入半代数零化子同余的概念,这一概念的提出为研究半代数的忠实性提供了有效的工具.我们揭示了零化子同余在半代数单态、满态、同构下的变化规律,得到了零化子同余的一些性质.随后以零化子同余为工具讨论了半代数的忠实性,给出了忠实半代数的几个
2、等价条件.证明了每个自由半代数都是忠实的;并证明了交换半环R是单的当且仅当R作为R-半代数时的每个非零商半代数都是忠实的. 本章主要结论有: 定理定理 1.3.6 设R是交换半环,则R是单的当且仅当R作为R-半代数时的每个非零商半代数都是忠实的. 第二章是关于半代数正合序列的讨论.本章中我们证明了半代数的序列有类似于模论中的图追踪,五引理,马蹄引理等命题. 本章的主要结论有: 定理定理 2.2.1 设, ,A B C,A B C为半代数, , , ,f g fg 为半代数同态,且下图交换 fgfgABABCC 若上图中行在BB和处都是正合的,则下面 4 条结论成立: （1）若, , f 是单同
3、态,且,B B加法可消,则是单同态; （2）若, ,g 是满同态,且( )BB为的加法可消子半代数,则是满同态; （3）若是单同态,g是满同态,则是单同态; （4）若是满同态,f是单同态,且( )AA是的加法可消子半代数,则是满同态. 在第三章中我们引入了半代数局部化的定义,讨论了该定义意义下局部化的若干性质,并证明了半代数局部化的泛性质. 关键词关键词: 零化子同余; 忠实半代数; 图追踪; 半代数的局部化 -I- Some Studies on Semi-algebras Graduate student: Kang De-heng Supervisor: Professor Yi Zho
4、ng Subject: Basic Mathematics Direction: Algebra and its Applications Grade: 2006 Abstract This paper is composed of three parts. Each part is a chapter. In chapter 1, we discuss the annihilator congruence and faithfulness of semi-algebras. In this chapter, we introduce the concept of the annihilato
5、r congruence of semi-algebras. It is an effective tool for the study of semi-algebras. We show the relationships between annihilator congruence and the semi-algebra monomorphisms, epimorphisms and isomorphisms; obtain some properties of annihilator congruence. Then we discuss the faithfulness of sem
6、i-algebra by the annihilator congruence, and some equivalent conditions of faithful semi-algebra are given. At last we prove that every free semi-algebra is faithful; and a sufficient and necessary condition that a commutative semi-ring R is simple is also given. One of the main result of chapter 1
7、is as follows: Theorem 1.3.6 Let R be a commutative semi-ring, then R is simple if and only if each non-zero quotient left R-semi-algebra RM is faithful. In chapter 2, we discuss the exactness of semi-algebras, the Five lemma, Horseshoe lemma to the exact sequence of semi-algebra are proved. The mai
8、n results of chapter 2 are as follows: Theorem 2.2.1 Let, ,A B C,A B Cbe semi-algebras, and, , ,f g fg be semi-algebra homomorphisms. Suppose the following diagram is commutative fgfgABABCC In the diagram, if rows are exact at,B B, then the following statements hold: (1) If , ,f are monomorphisms, a
9、nd ,B Bare addition cancellative, then is a monomorphism; (2) If , ,g are epimorphisms, and ( )B is the addition cancellative subsemi-algebra of B, then is an epimorphism; (3) If is a monomorphism, ,gare epimorphisms, then is a monomorphism; (4) If is an epimorphism, ,f are monomorphisms, and ( )A i
10、s a addition cancellative subsemi-algebra of A, then is an epimorphism. In chapter 3, we introduce the definition of localization of semi-algebras, some properties of localization are discussed, and the universal property of the localization of semi-algebras is also -II- -III- proved. Keywords: Anni
11、hilator congruence; Faithful semi-algebra; Diagram chasing; Localization of semi-algebra 论文独创性声明论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下进行的研究工作及取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个人或其他机构已经发表或撰写过的研究成果。 对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本声明的法律责任。 研究生签名： 日期： 论文使用授权声明论文使用授权声明 本人完全了解广西师范大学有关保留、使用学位论文的规定。广西师范大学、中国科学技术
12、信息研究所、清华大学论文合作部，有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布（包括刊登）论文的全部或部分内容。论文的公布（包括刊登）授权广西师范大学学位办办理。 研究生签名： 日期： 导 师签名： 日期： - 1 - 引引 言言 半环是人们感到最自然的代数结构之一,因为全体自然数关于通常的加法和乘法就构成一个半环. 结合环是半环,因此,半环概念是环概念的一种自然推广,而且许多环论的思想和方法已推广到半环,许多环论的结果都成功地推广到了半环.而研究半环主
13、要有两种方法,一种是从半环的内部构件如理想、同余及特殊元素等出发,来研究半环的结构和特征,另一种是利用外部环境来讨论,用同调代数的思想和方法来刻画半环的特征. 半代数的概念由向长城在半代数及其同态一文中首次提出,它同时具有半环结构与半模结构,这一代数结构的研究尚处在初期.他用代数的理论和方法讨论了半代数的结构,用半代数的理想,同余,幂等元等概念来讨论 N-半单 Artin 半代数的结构和特征.另一方面,用同调代数的思想和方法来刻画可除半代数和 Von Neumann 正则半代数,推广了环上模 Baer 准则. 本文就是在向长城的半代数及其部分结构的刻画的基础上,继续对半代数这种特殊的代数结构进
14、行讨论.第一章,我们在参考了文献12-24后,引入了半代数零化子同余的概念,为研究半代数的忠实性提供了有效工具.揭示了零化子同余在半代数单态、满态、同构下的变化规律,得到了关于零化子同余的一些性质.随后以零化子同余为工具讨论了半代数的忠实性,给出了忠实半代数的几个等价条件,证明了每个自由半代数都是忠实的;并证明了交换半环R是单的当且仅当R作为R-半代数时的每个非零商半代数都是忠实的.第二章,我们在参考了文献8-13后,讨论半代数正合序列的性质,主要是证明关于半代数的序列有类似于模论中的图追踪,五引理,马蹄引理等有关命题.第三章,我们在参考了文献25-29后,给出交换半环上的半代数的局部化的定义
15、,证明局部化半代数1S M的加法满足消去律且具有泛性质.以上三章我们从同调代数和半环半群理论中吸取营养1-8,采取新的工具对半代数的若干代数结构和性质进行了刻画和讨论. - 2 - 第一章第一章 半代数的零化子同余及忠实性半代数的零化子同余及忠实性 零化子同余是半代数理论的一个重要概念,也是研究半代数忠实性的有效工具,这一节在引入零化子同余的概念后,揭示了零化子同余在半代数单态、满态、同构下的变化规律,得到了关于零化子同余的一些性质.随后以零化子理想为工具讨论了半代数的忠实性,还给出了忠实半代数的几个等价条件,证明了自由半代数都是忠实的及交换半环R是单的当且仅当R作为R-半代数时的每个非零商半代数都是忠实的.本文中如无特殊说明R均指含有零元和单位元的结合半环. 1.1 基本概念与记号基本概念与记号 定义定义 1.1.18 设R是一个具有二元运算“+” “”的非空集合,且满足以下条件： (i) , ,0R 是交换幺半群; (ii) 1R ， ，是幺半群; (iii) (, ,)a b cR满足()ab cacbc和()c abcacb; (iv) ()aR 11aaa ,000aa.
