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1、必修必修 2 2 数学基础知识数学基础知识 第第 1 1 章章 立体几何初步立体几何初步 1.1.1 棱柱、棱锥和棱台1.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球1.1.3 中心投影和平行投影 三视图:主视图(从前向后) ;左视图(从左向右) 、俯视图(从上向下) 主视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度; 长对正俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度; 高平齐 左视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度; 宽相等已知几何体的三视图时,通常以正方体为载体画出该几何体的直观图1.1.4 直观图画法 斜二测画法:原来与 x 轴平行的线段仍然与
2、x 轴平行且长度不变; 原来与 y 轴平行的线段仍然与 y 轴平行且长度为原来的一半. 1.2.1 平面的基本性质 1. 点与平面的关系:点 A 在平面内,记作;点 A 不在平面内,记作AA 点与直线的关系:点 A 在直线 l 上,记作:Al; 点 A 在直线 l 外,记作 Al; 直线与平面的关系:直线 l 在平面内,记作;直线 l 不在平面内,记作ll 2. 公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内. (即直线在平面内,或者平面经过直线) 用符号语言表示公理 1:,Al Bl ABl 3. 公理 2:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。 推
3、论:经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面; 经过两条相交直线,有且只有一个平面; 经过两条平行直线,有且只有一个平面. 公理 2 及其推论作用:它是空间内确定平面的依据; 它是证明平面重合的依据 4. 公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 若平面和平面相交,交线是 l ,记作.l用符号语言表示公理 3:P, P且 Pl.l 公理 3 的作用:它是判定两个平面相交的方法; 它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系, 即交线必过公共点; 它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依据.1.2.2 空间两条直线的位置关系 1. 平行关
4、系 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这个两角相等 2. 异面直线异面直线定义:不同在任何一个平面内的两条直线. 它们既不平行,又不相交. 异面直线所成的角:直线 a、b 是异面直线,经过空间任意一点 O,分别引直线 aa,bb, 则把直线 a 和 b 所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 和 b 所成的角. 两条异面直线所成角的取值范围是(0,90. 若两条异面直线所成的角是直角,我们就说这两条异面直线互相垂直. 1.2.3 直线与平面的位置关系 1. 三种位置关系 直线在平面内有无数个公共点 直线不在平面内(即直线在
5、平面外):相交只有一个公共点;平行没有公共点;三种位置关系的符号表示:; ; a .aAa 2. 直线与平面平行的判定定理和性质定理 判定定理:平面外一条直线与此平面内一条直线平行, 则该直线与此平面平行. 线线平行线面平行 性质定理:如果一条直线和一个平面 平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行 . 线面平行线线平行 3. 直线与平面垂直的判定定理和性质定理 判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直这个平面.线线垂直线面垂直 性质定理:如果一条直线和一个平面垂直,那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.线面垂直线线垂直如果两条直线同垂直
6、于一个平面,那么这两条直线平行. 4. 直线和平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角. 直线和平面所成角的取值范围是0,90. 1.2.4 平面与平面的位置关系 1. 两平面平行的判定定理和性质定理 判定定理: 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.(线面平行面面平行) ; 如果在两个平面内,各有两组相交直线对应平行,那么这两个平面平行.(线线平行面面平行) ; 垂直于同一条直线的两个平面平行; 性质定理: 如果两个平面平行,那么一个平面内的直线与另一个平面平行;(面面平行线面平行) 如果两个平行平面都和第三个平面
7、相交,那么它们的交线平行;(面面平行线线平行) 2. 两平面垂直的判定定理和性质定理 判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.(线面垂直面面垂直) 性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面.(面面垂直线面垂直) 3. 二面角和二面角的平面角 二面角的定义:从一条直线 l 出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的, 棱, 这两个半平面叫做二面角的面. 记作.l 二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为顶点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条射线所成的角叫二面角的平面角.二面角的取值范围
8、 0, 180 , 平面角是直角的二面角叫直二面角. 1.3.1 空间几何体的表面积 空间几何体的表面积公式(c 为底面周长,h 为高,h为斜高,l 为母线)chS直棱柱侧面积rhS2圆柱侧21chS正棱锥侧面积rlS圆锥侧面积)(21 21hccS正棱台侧面积lRrS)( 圆台侧面积lrrS2圆柱表lrrS圆锥表22RRlrlrS圆台表1.3.2 空间几何体的体积 1. 柱体、锥体、台体的体积公式VSh柱2VShr h圆柱1 3VSh锥hrV2 31圆锥1()3VSS SS h台2211()()33VSS SS hrrRRh圆台2. 球体的表面积和体积公式 V= ;S=球34 3R球面24
9、R3. 若多面体的表面积为 S,内切球的半径为 R , 则该多面体的体积SRV31第第 2 2 章章 平面解析几何初步平面解析几何初步2.1.1 直线的斜率 1. 直线的倾斜角 x 轴正方向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. 当直线与 x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为 0. 因此,直线倾斜角的取值范围是0,180). 2. 直线的斜率 定义:倾斜角不是 90的直线,的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率通常用 k 表示. 即. tank 当0时,k0;当(0, 90)时,k0;当(90, 180)时,k0;当90时,k 不存在.经过两点 P1(x1, y1), P2(x2,
10、y2)的直线的斜率公式:)(21 1212xxxxyyk2.1.2 直线的方程1. 点斜式:直线斜率为 k,且过点(x1, y1).)(11xxkyy注意:当直线的倾斜角为 0时,直线的斜率 k0,直线的方程是 yy1; 当直线的倾斜角为 90时,直线的斜率不存在,直线的方程是 xx1;2. 斜截式:,直线斜率为 k,直线在 y 轴上的截距为 b(bR)bkxy3. 两点式:()直线经过两点 P1(x1, y1), P2(x2, y2) 112121yyxx yyxx1212,xxyy4. 截矩式: 直线 l 过点和点, 即 l 在 x 轴、y 轴上的截距分别为.(a0 且 b0)1xy ab
11、( ,0)a(0, )b, a b注意:直线 l 在坐标轴上的截距相等时,斜率为1 或经过原点;直线 l 在坐标轴上的截距互为相反数时,斜率为 1 或经过原点; 5. 一般式:AxByC0(A , B 不全为 0) 注意: 平行于 x 轴的直线:yb(b 为常数), 直线的斜率为 0; 平行于 y 轴的直线:xa(a 为常数), 直线的斜率不存在;直线在坐标轴上的截距可以为一切实数 2.1.3 两条直线的平行与垂直设直线 l1:,直线 l2:. 11bxky22bxky则 ; 212121,/bbkkll12121kkll注意:利用斜率判断直线的平行或垂直时,要注意斜率的存在与否.2.1.4
12、两条直线的交点 1. 若直线 l1:A1xB1yC10 ,与直线 l2:A2xB2yC20 相交则交点坐标为方程组的一组解. 方程组无解 ;方程组有无数解l1与 l2重合 00222111 CyBxACyBxA 21/ll2. 过定点的直线系 斜率为 k 且过定点(x0 , y0)的直线系方程为 yy0k (xx0); 过两条直线 l1:A1xB1yC10 ,l2:A2xB2yC20 的交点的直线系方程为(A1xB1yC1)( A2xB2yC2)0(为参数) ,其中直线 l2不在直线系中.2.1.5 平面上两点间的距离zyx(O)D1A1C1B1DABC设 A(x1 , y1) , B(x2
13、, y2)是平面直角坐标系中的两点,则22 2121|()()ABxxyy若线段 AB 的中点为 M(x0 ,y0) , 则2,221 021 0yyyxxx2.1.6 点到直线的距离1. 点到直线距离公式:点 P(x0 , y0)到直线 l:AxByC0 的距离 2200|BACByAxd 2. 两条平行直线 l1:AxByC10 ,l2:AxByC20 间的距离 2221|BACCd 2.2.1 圆的方程1. 标准方程 ,圆心坐标为(a, b),半径为 r;222)()(rbyax2. 一般方程 022FEyDxyx当时,方程表示圆,此时圆心坐标为,半径为0422FED)2,2(EDFED
14、r42122当时,表示一个点; 当时,方程不表示任何图形.0422FED0422FED2.2.2 直线与圆的位置关系 1. 直线与圆的位置关系有三种情况:相离,相切,相交;可由下列两种方法判断:设直线,圆,圆心到 l 的距离为0:CByAxl222:rbyaxCbaC,22|BACBbAad 则有 drl 与 C 相离;drl 与 C 相切;drl 与 C 相交;设直线,圆 C:,先将方程联立消元,0:CByAxl222)()(rbyax得到一个一元二次方程之后,令其中的判别式为, 则有0l 与 C 相离;0l 与 C 相切;0l 与 C 相交;2. 直线 l 被圆 C 截得的弦长公式:222drAB3. 过圆 C:x2y2r2 上一点 P(x0,y0)的切线方程为 x0xy0yr2 4. 过圆 C:x2y2r2 外一点 P(x0,y0)作圆 C 的两条切线 PA, PB(A, B 为切点) ,切点弦 AB 所在直线的方程为 x0xy0yr2 2.2.3 圆与圆的位置关系设圆 C1:, 圆 C2:.22 12 1)()(rbyax22 22 2)()(Rbyax两圆的位置关系常通过两圆半径的和(或差) ,与圆心距(dC1C2)之间的大小比较来确定.当时,两圆相离; 当时,两圆外切; 当时,两圆相交;rRdrRdr