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1、特征信息捕捉与解题分析论文特征信息捕捉与解题分析论文 本文旨在展示平凡的定理4在“特征信息”聚焦时的最优化解题特征首先,通过“等导不等”来证明这个定理:44,当且仅当时,等号成立下面列举一系列数学问题,其“特征信息”均可或显或隐地聚焦于定理4限于篇幅,解题时不作一一分析,只展现定理的最优化解题思路例 1 已知实数,满足等式6,9,求证:证明:依定理4,即 64,得0,从而6,90,解得3,故证毕例 2 若40,则,成等差数列证明:由题设知4,而依本文定理,则有4,可见,从而,成等差数列例 3 方程组2,的实数解的组数是1123无穷多解:依定理知,4,则 24,得0,原方程组化为2,显然只有一解
2、1,故选1,例 4 已知,都是实数,且0,1,求证:,中必有一个大于 32证明:由题知,中必有一个是正数,不妨设为正数依定理4,得4,或4,于是32,故得证注意:此处还有意外收获,原题结论还可改进为:求证:,中必有一个不小于例 5,都是小于 1 的正数,求证:在4,4,4,4中,不可能都大于 1证明:巧妙地逆用定理,注意4444444411111,由此可见,4,4,4,4中不可能都大于 1例 6 已知0,0,且4,求S 的最大值解:依定理,知 441149,494,当212,112 时,494当然,定理最主要还是应用于巧证不等式方面例 7 已知2,求证:4证明:由题设,知2依定理,知42,或
3、28,即4,证毕纵观以上各例,依定理解题,显得规律有序,思路清晰,方法简便,且显然优于原来的方法例 8 正数,满足条件求证:苏联数学奥林匹克试题)证明:传统证法大半是构造正三角形或正方形,利用面积关系证之今依定理,即刻知4443,于是,故证毕可见,依定理还有意外收获,得到原式的一个加强式:而这一加强难在传统证法中体现出来例 9 已知1,1,1,求证:)12证明:依定题,知1414同理4,4,于是, )4) )4312,证毕例 10 设,为非负数,且满足1,求证:12证明:考虑22242,或,依题知及定理,有 041,故于是 12,证毕定理4的优化解题功效远不止这些,只要留心些,读者必定还会有所发现和创新令人振奋的是,从基本不等式2,平方即可得4;但令人遗憾的是,2 的应用,已是老生常谈,而4却少见报道笔者试图通过本文,借以引为重视!参考文献1 丁保荣信息与解题中学数学教学参考,2001,52 罗增儒看透本质,优化过程中学数学教学参考,2001,63 罗增儒数学解题学引论西安:陕西师范大学出版社,1997