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1、第第 1 1 页页 共共 7 7 页页ABCDEykiA(x,y,z)Ojxz空间向量解立体几何空间向量解立体几何一、空间直角坐标系的建立及点的坐标表示一、空间直角坐标系的建立及点的坐标表示空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐标系和向量，设（单位正交基底）为坐标ar, ,i j kr r r向量，则存在唯一的有序实数组，使，有123(,)a a a123aa ia ja krrrr序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，123(,)a a aarOxyz记作在空间直角坐标系中，对空间任一点，123(,)aa a arOxyzA存在唯一的有序实数组，使，有序实数组( , , )x y z
2、OAxiyjzkuu u rrr叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作( , , )x y zAOxyz，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标( , , )A x y zxyz二、空间向量的直角坐标运算律二、空间向量的直角坐标运算律（1）若，123(,)aa a ar123( ,)bb b br则，112233(,)abab ab abrr，112233(,)abab ab abrr123(,)()aaaaRr，112233/,()abab ab abRrr（2）若，则111( ,)A x y z222(,)B xyz212121(,)ABxx yy zzuuu r一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示
3、这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。（3）/abbarrrr112233()babaRba 三、空间向量直角坐标的数量积三、空间向量直角坐标的数量积1、设是空间两个非零向量，我们把数量叫作向量的数量积，记作，即ba,baba,cos|ba,ba 规定：零向量与任一向量的数量积为 0。bababa,cos| 2、模长公式222 123|aa axxxrr r3、两点间的距离公式：若，111( ,)A x y z222(,)B xyz则，2222 212121|()()()ABABxxyyzzuuu ruuu r或222 ,212121()()()A Bdxxyyzz4、夹角： 注：是两
4、个非零向量）；cos| |a ba babr rr rrr0( ,aba ba brrr rr r。22|aa aarr rr5、 空间向量数量积的性质：|cos,a eaa er rrr r0aba brrrr2|aa arr r6、运算律； ； abba)()(abbacabacba)(四、直线的方向向量及平面的法向量四、直线的方向向量及平面的法向量1、直线的方向向量：我们把直线 上的向量以及与共线的向量叫做直线 的方向向量leel2、平面的法向量：如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ，n记作，如果，那么向量叫做平面 的法向量。nnn 注：若，则称直线 为平
5、面的法线；ll 平面的法向量就是法线的方向向量。 给定平面的法向量及平面上一点的坐标，可以确定一个平面。 3、在空间求平面的法向量的方法： （1）直接法：找一条与平面垂直的直线，求该直线的方向向量。 （2）待定系数法：建立空间直接坐标系设平面的法向量为( , , )nx y zr在平面内找两个不共线的向量和111( ,)ax y zr222(,)bxy zr建立方程组：00n an br rr r解方程组，取其中的一组解即可。五、证明五、证明 1、证明两直线平行已知两直线和, ,则存在唯一的实数使abbDCaBA,ba/ABCDu u u ru u u r2、证明直线和平面平行（1）已知直线且
6、三点不共线，则存在有序实数对使EDCaBAa,a,ABCDCEu u u ru u u ru u u r（2）已知直线和平面的法向量,则,aBAananAB 3、证明两个平面平行已知两个不重合平面,法向量分别为,则,nm,nm / 4、证明两直线垂直已知直线。，则ba,bDCaBA,0CDABba 5、证明直线和平面垂直已知直线，且 A、B,面的法向量为,则和平面aam/ /aABmu u u ru r6、证明两个平面垂直已知两个平面,两个平面的法向量分别为,则,m nu r rmnu rr六、计算角与距离六、计算角与距离 1、求两异面直线所成的角第第 2 2 页页 共共 7 7 页页xyzM
7、ABDCOP已知两异面直线，则异面直线所成的角为：ba,A Ba C DbcosABCD AB CDu u u ru u u r u u u r u u u r例例 1.（ （2008 安徽文）安徽文）如图，在四棱锥中，底面四边长为 1 的 菱形，, OABCDABCD4ABC, ,为的中点。求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小；OAABCD 底底2OA MOA解：解：作于点 P,如图,分别以 AB,AP,AO 所在直线为轴建立坐标系APCD, ,x y z,222(0,0,0),(1,0,0),(0,0),(,0),(0,0,2),(0,0,1)222ABPDOM设与所成的角为,ABMD
8、22(1,0,0),(, 1)22ABMD uuu ruuu u r, 1cos,23AB MDABMD uuu r uuu u rg uuu ruuu u r与所成角的大小为 ABMD32、求直线和平面所成的角已知 A,B 为直线上任意两点，为平面的法向量，则和平面所成的角为:ana（1）当时 2, 0nAB2AB nu u u rr（2）当时 ,2nAB2ABnu u u rr例例 2.如图 3，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，侧棱o90ACB AA1=2，D，E 分别是 CC1与 A1B 的中点，点 E 在平面 ABD 上的射影是的重心 G。求 A1B 与ABD
9、 平面 ABD 所成角的大小。 解解：以 C 为坐标原点，CA 所在直线为 x 轴，CB 所在直线为y 轴，所在直线为 z 轴，建立直角坐标系，1CC设，则aCBCA ， 底底0 , 0 , aA底底0 , 0 aB底底2 , 0 ,1aA底底1 , 0 , 0D ， ， ， 底底1 ,2,2aaE底底31,3,3aaG底底32,6,6aaGE ，底底1 , 0aBD 点 E 在平面 ABD 上的射影是的重心 G，ABD 平面 ABD， ，解得 。GE0BDGE2a ， ，底底32,31,31GE底底2 , 2, 21BA 平面 ABD， 为平面 ABD 的一个法向量。GEGE由3232363
10、4|,cos11 1 BAGEBAGEBAGE得 ，32arccos,1BAGE 与平面 ABD 所成的角为 ，即 。BA132arccos2 37arccos评析： 因规定直线与平面所成角，两向量所成角，所以用此法向量求20底0底出的线面角应满足。|2|一般地，设 n 是平面 M 的法向量，AB 是平面 M 的一条斜线，A 为斜足，则 AB 与平面 M所成的角为：。arccosarcsin2AB nAB nABnABn uuu r ruuu r ruuu rruuu rr3、求二面角（1）已知二面角，且，则二面角的平面角llCDlABDCBA,且的大小为：,AB CDu u u r u u
11、u r（2）已知二面角分别为面的法向量，则二面角的平面角的大小与两个法,lnm,向量所成的角相等或互补。即,m nm nu r ru r r或注:如何判断二面角的平面角和法向量所成的角的关系。 (1)通过观察二面角锐角还是钝角,再由法向量的成的角求之。 (2)通过观察法向量的方向,判断法向量所成的角与二面角的平面角相等还是互补。例 3 （04 高考四川卷）如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACB=90，AC=1，CB=，侧棱 AA1=1，2 侧面 AA1B1B 的两条对角线交点为 D，B1C1的中点为 M。求证：（1）CD平面 BDM； （2） 求面 B1BD 与面 CBD 所成二面角的大
12、小。 分析：分析：要证 CD平面 BDM，只需证明直线 CD 与平面 BDM 内的两条相交直线垂直即可；要求二面角，需找出二面角 的平面角或转化为两直线的夹角。考虑几何法或向量法求解。 解：解：以 C 为原点建立坐标系。则 112 1 122,0,0 ,2,1,0 ,0,1,1 ,1,022 22BBADM 12 1 111,2, 1, 1 ,0,22 222CDABDM uuu ruuu ruuuu rA AA A1 1B B1 1C CB BC C1 1D Dz zy yx xE EG G图 3ABCABCDM第第 3 3 页页 共共 7 7 页页A1xD1B1ADBCC1yzE1F1HG
13、ABCDOSxyz图 4AA1DCBB1C1图 5则，110,0,CD ABCD DMCDAB CDDMuuu r uuu ruuu r uuuu rA1B、DM 为平面 BDM 内两条相交直线，CD平面 BDM。 （2）设 BD 的中点为 G，连结 B1G，则，13 2 1 12 1 123 1,44 422 244 2GBDBG uuu ruuu u r，的夹角等于所求二面角的平面角。110,.BD BGBDBGCDBDuuu r uuu u r 又1CDBGuuu ruuu u r 与。1133cos,arccos33CD BGCD BG uuu r uuu u ruuu r uuu u
14、 r所求二面角的大小为4、求两条异面直线的距离已知两条异面直线,是与两直线都垂直的向量,，ba,mu r bBaA ,则两条异面直线的距离 ABmdmu u u ru ru r例 4正四棱锥的高，底边长，则异面直线和之间的距离（ ）SABCD2SO 2AB BDSCA BC D515 55 552 105答案选 C；解析：建立如图 4 所示的直角坐标系，则， ，22(,0)22A22(,0)22B，22(,0)22C22(,0)22D(0,0,2)S，( 2,2,0)DBuuu r22(,2)22CS uu u r令向量，且，则，( , ,1)nx yr,nDB nCSruuu r ruu u r00n DBn CSr uuu rr uu u r，( , ,1) ( 2,2,0)022( , ,1) (,2)022x yx y 02 20xyxy，22xy
