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1、高考数学专题高考数学专题( (三三) )代数推理题怎么解代数推理题怎么解本文由老虎隊贡献doc 文档可能在 WAP 端浏览体验不佳。建议您优先选择 TXT，或下载源文件到本机查看。高三数学专题（ 高三数学专题（三） 代数推理题怎么解数学是“教会年轻人思考”的科学, 针对代数推理型问题, 我们不但要寻求它的解法 是什么, 还要思考有没有其它的解法, 更要反思为什么要这样解, 不这样解行吗?我们通过 典型的问题, 解析代数推理题的解题思路, 方法和技巧. 在解题思维的过程中, 既重视通 性通法的演练, 又注意特殊技巧的作用, 同时将函数与方程, 数形结合, 分类与讨论, 等 价与化归等数学思想方法
2、贯穿于整个的解题训练过程当中. 例 1 设 函 数 f ( x) = a +x 2 4 x , g ( x) =4 x + 1 ， 已 知 x 4,0 ， 时 恒 有 3f ( x) g ( x) ，求 a 的取值范围.讲解: 讲解: 由 f ( x ) g ( x)实施移项技巧, 得x 2 4x 4 4 x + 1 a , 令 C : y = x 2 4 x , L : y = x + 1 a , , 3 3从而只要求直线 L 不在半圆 C 下方时, 直线 L 的 y 截距的最小值. 当直线与半圆相切时，易求得 a = 5( a = 故 a 5 时, f ( x) g ( x) . 本例的求
3、解在于 实施移项技巧 , 关键在于构造新的函数, 进而通过解几模型进行推理 解题, 当中, 渗透着数形结合的数学思想方法, 显示了解题思维转换的灵活性和流畅性. 还须指出的是: 数形结合未必一定要画出图形, 但图形早已在你的心中了, 这也许是 解题能力的提升, 还请三思而后行. 例 2 已知不等式5 舍去）. 31 1 1 1 2 + + log a (a 1) + 对于大于 1 的正整数 n n +1 n + 2 2n 12 3 1 1 1 + + ，易证(请思考:用什么方法证明 n +1 n + 2 2n恒成立，试确定 a 的取值范围. 讲 解 : 构 造 函 数 f ( n) = 呢?)
4、 f (n) 为增函数. n 是大于 1 的 正整数， f ( n ) f ( 2) =7 . 12要使121 1 1 1 2 + + log a (a 1) + 对一切大于 1 的正整数恒成立，必 n +1 n + 2 2n 12 33 12须 1 log a ( a 1) + 2 7 , 即 log a (a 1) 1, 解得 1 0) 在区间b，1b上的最大值为 425，求 b 的值.1 讲解: 讲解: 由已知二次函数配方, 得 f ( x ) = 3( x + ) 2 + 4b 2 + 3. 2(1) 当 b 2 1 1 3 1 b, 即 b 时， f (x ) 的最大值为 4b +3
5、=25. 2 2 2 25 1 3 b 2 = 与 b 矛盾; 4 2 2( 2) 当 1 1 1 b, 即 b 时， f ( x)在 b,1 b 上递增， 2 2 f (1 b) = b 2 + 96 15 = 25, 解得 b = 5 . 4 2关于二次函数问题是历年高考的热门话题, 值得读者在复课时重点强化训练. 针对 抛物线顶点横坐标1 在不在区间b，1b, 自然引出解题形态的三种情况, 这显示了分 2类讨论的数学思想在解题当中的充分运用. 该分就分, 该合就合, 这种辨证的统一完全依 具体的数学问题而定, 需要在解题时灵活把握. 例 4 已知 f ( x ) =x ( x 1). x
6、 +1(1) 求 f ( x) 的单调区间；（2）若 a b 0, c =1 3 , 求证 : f (a ) + f (c) . (a b)b 4 1 , x +1讲解: 讲解: （1） 对 已 知 函 数 进 行 降 次 分 项 变 形 , 得 f ( x) = 1 f ( x)在区间(,1)和(1,+)上分别单调递增.（2）首先证明任意 x y 0, 有 f ( x + y ) = f ( xy + x + y ) x + 1 y + 1 xy + x + y + 1 xy + x + y + 1由(1)知 f ( xy + x + y ) f ( x + y ),而 xy + x + y
7、 x + y, f ( x) + f ( y ) f ( x + y )c =1 1 4 = 2 0, ab+b 2 a (a b)b ( ) 2 a a 4 a + c + + 2 3. 2 2 a 3 f (a ) + f (c) f (a + c) f (3) = . 4函数与不等式证明的综合题在高考中常考常新 , 是既考知识又考能力的好题型 , 在 高 考 备 考 中 有 较 高 的 训 练 价 值. 针对本例的求解, 你能够想到证明任 意x y 0, 有 f ( x + y ) (lg n!)(n ). 4 1 1 , )的对称点为 M （， ） ， 2 2讲解: (1)关于函数的图
8、象关于定点 P 对称, 可采用解几中的坐标证法. 设 M(x,y)是 f(x)图象上任一点， M 关于 P( 则 aa 1 x1 x+ ax=a a + a a =x x= aa a + axa + a f (1 x) = 1 y1 y = 1axa + a(1-x,1-y)亦在 f(x)的图象上， 故函数 f(x)的图象关于点 P(1 1 , )对称. 2 2当前第 3 页共 9 页(2)将 f(n)、f(1-n)的表达式代入 an 的表达式，化简可得 an 猜 a=3, 即 3 下面用数学归纳法证明 设 n=k(k)时，3 那么 n=k+1，3 又 3k （） （ 1 3 ） （，） 2
9、2 . (3) 令 k=1,2,，n，得 n 个同向不等式，并相加得：n(n + 1) lg 3 2 lg(1 2 n), 2 n 故 (n 1) lg 3 lg(n!). 4函数与数列综合型问题在高考中频频出现,是历年高考试题中的一道亮丽的风景线.针 对本例,你能够猜想出最小自然数 a=3 吗? 试试你的数学猜想能力. 例 6 已知二次函数 f ( x) = ax 2 + bx + 1(a, b R, a 0) ，设方程 f ( x ) = x 的两个实根为x 1 和 x 2.（1）如果 x1 0 ， 由 x1 0 , 即4a + 2b 1 , 2 4 2 8 16a + 4b 3 0 42
10、 3 b 1 ， 1 8a 2a 4a故 x = b 1 1 = 1 ； 0 1 2a 4 8 （2）由 g ( x ) = ax 2 + (b 1) x + 1 = 0, 可知 x1 x 2 =1 0, x1 , x 2 同号. a若 0 2, g (2) = 4a + 2b 1 0 ，负根舍去）代入上式得 a a2当前第 4 页共 9 页2 (b 1) 2 + 1 7 . 41 7 , 当 2 . 4 4故当 0 t； （3）试求满足 f(t)=t 的整数 t 的个数，并说明理由. 讲解 （1）为求 f(1)的值，需令 x = y = 0, 得 f (0) = 1. 令 x = y = 1
11、, f ( 2) = 2, f ( 1) = 2 . 令 x = 1, y = 1, f (0) = f (1) + f ( 1), 即 f (1) = 1 . （2）令 x = 1, f ( y + 1) = f ( y ) + y + 2 即 f ( y + 1) f ( y ) = y + 2 ()当 y N 时, 有 f ( y + 1) f ( y ) 0 .由 f ( y + 1) f ( y ), f (1) = 1 可知, 对一切正整数 y都有 f ( y ) 0 ,当前第 7 页共 9 页当 y N 时, f ( y + 1) = f ( y ) + y + 2 = f (
12、y ) + 1 + y + 1 y + 1 ,于是对于一切大于 1 的正整数 t，恒有 f(t)t. （3）由及（1）可知 f ( 3) = 1, f ( 4) = 1 . 下面证明当整数 t 4 时, f (t ) t . t 4, (t + 2) 2 0,由 ()得 f (t ) f (t + 1) = (t + 2) 0,即 f ( 5) f ( 4) 0,同理 f ( 6) f ( 5) 0, ，f (t + 1) f (t + 2) 0, f (t ) f (t + 1) 0.将诸不等式相加得 f (t ) f ( 4) = 1 4, t 4, f (t ) t . 综上，满足条件的
13、整数只有 t=1， 2 . 本题的求解显示了对函数方程 f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1 中的 x、y 取特殊值的技巧，这 种赋值法在 2002 年全国高考第（21）题中得到了很好的考查. 例 10 已知函数 f（x）在（1，1）上有定义， f ( ) = 1 且满足 x、y（1，1） 有1 2x+ y f ( x) + f ( y ) = f ( ) 1 + xy（1）证明：f（x）在（1，1）上为奇函数； （2）对数列 x1 =2 xn 1 , x n +1 = , 求 f ( xn ) ； 2 2 1 + xn（3）求证1 1 1 2n + 5 + + . f ( x1 ) f
14、 ( x 2 ) f ( xn ) n+20 = )0( f ,)0( f = )0( f 2 1 1 1 2n + 5 + + . f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn ) n+2讲解 （1）令 x = y = 0, 则令 y = x, 则 f ( x) + f ( x ) =f (0) = 0, f ( x ) = f ( x ) 为奇函数. （2） f ( x ) = f ( 1 ) = 1 ， f ( x n +1 ) = f ( 2 x n ) = f ( x n + x n ) = f ( x n ) + f ( x n ) = 2 f ( x n ), 1 2 2 1
15、 + xn xn 1 + xn f ( x n +1 ) = 2.即 f ( x n ) 是以1 为首项，2 为公比的等比数列 f ( xn ) f ( xn ) = 2n 1.（3）而1 1 1 1 1 1 ) 1 n + + 2 + + 1( = + + ) nx ( f ) 2x ( f ) 1x ( f 2 2 2= 1 1 2n = (2 1 ) = 2 + 1 2, 1 2 n 1 2 n 1 1 22n + 5 1 1 = ( 2 + ) = 2 2, n+2 n+2 n+2当前第 8 页共 9 页本例将函数、方程、数列、不等式等代数知识集于一题，是考查分析问题和解决问题能 力的范例. 在求解当中，化归出等比（等差）数列是数列问题常用的解题方法.当前第 9 页共 9 页本 TXT 由“文库宝”下载:http:/
