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1、1小学数学竞赛学习材料小学数学竞赛学习材料五年级暑期五年级暑期第一讲第一讲 整数、小数的速算与巧算整数、小数的速算与巧算例 1 计算：0.10.30.50.70.90.110.130.150.170.190.99？解：仔细研究算式后发现，算式中有许多加数组成等差数列，于是想到以下两种解法：解法一：每 5 个加数一组，每组的中间数都是这 5 个加数的平均数。原式0.550.1550.2550.9550.55(0.150.250.95)50.550.5595(0.54.95)55.45527.25。解法二：前 5 个数组成一个等差数列，后 45 个数组成另一个等差数列。原式0.55(0.110.9
2、9)4522.51.14522.524.75解法三：前 5 个数组成一个等差数列，后 45 个数组成另一个等差数列，中间数是 0.55。原式0.550.55452.524.7527.25。例 2 比较下面两个积的大小：A9.8765433.456789，B9.8765443.456788。解：把 A 的第二个因数变成 3.4567880.000001，B 的第一个因为变成9.8765430.000001：2A9.876543(3.4567880.000001)9.8765433.4567889.8765430.000001B(9.8765430.000001)3.4567889.8765433
3、.4567880.0000013.456788因为 9.8765430.0000010.0000013.456788，所以 AB。例 3 计算：有两个数 a0.000125，b0.0008： 1984 个 0 1988 个 0试求：ab，ab，ab，ab。(上海市第二届“从小爱数学”竞赛题)解：a 是一个 1986 位小数，b 是一个 1988 位小数，所以计算和与差时，b 的数字 8 应与 a 的数字 5 后面第 2 位对齐。因此ab0.00012508； ab0.00012493。1984 个 0 1984 个 0因为 ab 积有 198619883974 位小数，而 12581000，所
4、以积的第 397433971 位上是 1，在 1 前面的小数部分有 397113970 个0，连同个位上的 1 个 0，共有 3971 个 0。因此 ab0.00013971 个 0当 ab 时，两个小数的小数点都向右移 1988 位，变成1250081562.5。例 4 8.011.248.021.238.031.22 的整数部分是多少？解：观察发现，三个积中两个因数的和都等于 9.25。我们知道，当两个因数的和相等时，两个因数的差越大，积越小。因为 81.2510，所以原式的和小于 30。另一方面，8.031.2281.229.76，原式的和又大于 9.76329.28。所以，原式得数的整
5、数部分在 30 与 29.28 之间，应该是 29。练 习 一1计算：17.4837174.81.817.4882？2计算：0.1250.250.564？3比较下面两个乘积的大小：A5.43211.23453B5.43221.23444计算：123456792.7？5计算：0.99.999.9999.99999.999999.9999999.9？6计算：（4.87.58.1）（2.42.52.7）？7计算：0.010.030.050.070.090.110.130.150.170.190.99？8. 计算：1994199319921991199019891988198710987654321。
6、(1994 年全国小学数学奥林匹克决赛题)9. 计算：111111999999999999777777。(1997 年全国小学数学奥林匹预赛题)10. 计算：754.6717.92.5。(1992 年全国小学数学奥林匹克初赛题)112.896.374.632.89？(1994 年全国小学数学奥林匹克总决赛试题)120.6250.6250.625888222？10 个 0.625 9 个 8 8 个 2第二讲第二讲 加法原理与乘法原理加法原理与乘法原理解决计数问题，常根据以下两个原理：加法原理 完成一件事，有 n 类办法，在第 1 类办法中有 m1类不同的方法，在第 2 类办法中有 m2种不同的
7、方法，在第 n 类办法中有 mn种不同的方法。那么完成这件事共有 m1m2m3mn种不同的方法。乘法原理 完成一件事需要分成 n 个步骤，做第 1 步有 m1种不同的方法，做第 2 步有 m2种不同的方法，做第 n 步有 mn种不同的方法。那么完成这件事共有 m1m2m3mn种不同的方法。例 1 图中有 6 个点，9 条线段。一只甲虫从 A 点出发，要沿着某几条线段爬到 F 点，行进中，同一点或同一条线段只能经过一次。这只甲虫最多有多少种不同的爬法？4A B CD E F解：从 A 点出发有 3 种爬法：AB、AE、AD；从 B、E、D 继续爬各有 3 种爬法。所以，这只甲虫从 A 点爬到 F
8、 点，最多有 339 种不同的爬法。例 2 有一门功课一周要上四节，四节课的安排需要满足以下要求：(1)一次连上两节；(2)每天只能上一次；(3)不能连续两天都有这门课；(4)每天可以在 1、3、5、7 节的某一节开始上；(5)周六、周日不上课。问：这门课有多少种不同的安排方式？解：在周 1 到周 5 的 5 天中，至少间隔一天的有：周 1 和周 3，周 1 和周 4，周 1 和周 5，周 2 和周 4，周 2 和周 5，周 3 和周 5，共 6 种情况；每天可以安排在 1、2 节，3、4 节，5、6 节，7、8 节，共 4 种情况。每周安排两次课可以分成 3 个步骤：两次课安排在哪两天，有
9、6 种选择；第一次课安排在哪两节，有 4 种选择；第二次课安排在哪两节，有 4 种选择。所以，这门课总共有 64496 种不同的安排方式。例 3 用数字 1、2、3 组成没有重复数字的三位数，一共可以组成多少个不同的三位数？这些三位数的和是多少？解：百位数字有 3 种选择，十位数字有 2 种选择，个位数字有 1 种选择，一共可以组成 3216(个)不同的三位数。因为三个数字 1、2、3 在百位、十位和个位上 2 次，所以这些三位数的和是(123)100(123)10(123)21332。例 4 将一个正方形分成 4 个小正方形，用 5 种颜色染色，要求每个小正方形染同一种颜色，相邻(即有公共边
10、的)小正方形染不同的颜色。问：有多少种不同的染色方法？解：可以分四步染色。先左上角，再右上角，再左下角，再右下角。染色可分为四种情况：(1)四个小正方形的颜色都不相同的有 5432120(种)；(2)右上与左下同色，左上与右下异色的有 541360(种)；(3)右上与左下同色，左上与右下同色的有 541120(种)；5(4)右上与左下异色，左上与右下同色的有 543160(种)。共有 120602060260(种)染色方法。练 习 二1把一张圆形纸片分成 4 个相同的扇形。用红、黄两种颜色分别涂满各扇形，共有几种不同的涂法？2在三条平行线上分别有 2 个点、3 个点、4 个点，并且不在同一条直
11、线上的任意 3 个点，都不能连成一条直线。那么，在每条直线上各取一个点，一共可以作出多少个三角形？3甲、乙、丙、丁四地排成一圈，甲、乙两地之间有 2 条路相连；乙、丙两地之间有 3 条路相连；丙、丁两地之间有 2 条路相连；丁、甲两地之间有 4 条路相连。那么，从甲地到丙地共有多少种不同的走法？4甲、乙、丙三个组，甲组 6 人，乙组 5 人，丙组 4 人。每组各选 1人一起参加会议，一共有多少种选法；如果三组共同推选一个代表，有多少种选法？(第二届小学生学习报数学竞赛初赛题)5某市的电话号码有 8 位数字，最高位上只能是 6，其余 7 位数字可以是 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 中的
12、任何一个。这个市最多可以容纳多少部电话？6平面上有 7 个点，任意三个点都不在同一条直线上。以这 7 个点为顶点做三角形，使得任何两个三角形，至多只有一个公共顶点。问最多可以作出多少个满足条件的三角形？7四个好朋友去看电影，电影院有 3 个入口，他们进入电影院有多少种不同的走法？8彼得的口袋里有 1 分、2 分、5 分、10 分、20 分、50 分的硬币各 1枚。如果每次取出 4 枚计算它们的和，一共可以组成多少种不同的钱数？(美国长岛小学数学竞赛题)9如果一个四位数与一个三位数的和是 1999，并且四位数和三位数是由 7 个不同的数字组成的。那么，这样的四位数最多能有多少个？(北京市小学生第
13、十五届迎春杯数学竞赛决赛题)10小明衣服的两个口袋里各有 13 张卡片，每张卡片上分别写着1、2、3、13。如果从这两个口袋中各拿出一张卡片，计算它们所写两6个数的乘积，可以得到许多不同的乘积，那么，其中能被 6 整除的乘积共有多少个？(北京市第九届“迎春杯”小学数学竞赛决赛题)11从 1、2、3、4、5、6 六个数中选 3 个数，使它们的和能被 3 整除，那么不同的选法有多少种？(1996 年小学数学竞赛决赛题)12在图中，可以有几种不同的方法连成“迎接澳门回归”这句话？(第七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛口试题)迎接 接澳 澳 澳门 门 门 门回 回 回 回 回归 归 归 归 归 归
14、第三讲第三讲 排列与组合初步排列与组合初步有红、黄、蓝 3 个小球：(1)从中取出 2 个，把它们排成一列，有：红黄、黄红、红蓝、蓝红、黄蓝、蓝黄 6 种情况；(2)从中取出 2 个，把它们放在一起，有：红黄、红蓝、黄蓝 3 种情况。上面两种处理方法是不同的。(1)称为“排列” ，(2)称为“组合” 。两者的区别在于：排列考虑顺序，组合不考虑顺序。比如， “红、黄”与“黄、红”是两种不同的排列，但都是同一种组合。一般地说，从 n 个不同的元素(物体、数字)中任意取出 m(mn)个元素(各不相同)，按照一定顺序排成一列，叫做从 n 个元素中取出 m 个元素的一个排列。所有排列的个数，叫做从 m
15、个元素中取出 n 个元素的排列数。取第一个位置的元素有 n 种选择方法；取第二个位置的元素有 n1 种选择方法；取第三个位置的元素有 n2 种选择方法；取第 m 个位置的元素有 nm1 种选择方法。根据乘法原理，从 n 个元素中取出 m 个元素的排列数：Nn(n1)(n2)(nm1)。7当 mn 时，称为“全排列” 。全排列的排列数：Nn(n1)(n2)1n！。式中，n!n(n1)(n2)1，称为 n 的阶乘。一般地说，从 n 个不同的元素(物体、数字)中任意取出 m(mn)个元素(各不相同)，组成一组，叫做从 n 个元素中取出 m 个元素的一个组合。所有组合的个数，叫做从 n 个元素中取出 m 个元素的组合数。因为从 n 个元素中取出 m 个元素，有 n(n1)(n2)(nm1)种排列，而这m 个元素的 m!种排列，如果不考虑顺序，都是一样的，所以，从
