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平方根数列递推公式推导通项公式可以用以下关于数列an的递推公式来计算平方根（a 0）的近似值aan = (an 1 + )（a 0，nN+）12aan 1数列an的初值为 a0，这里 a0可以为任意接近于的有理数。可以证明，对于任意的正数aa，当 n 时，数列an收敛，极限为，因此 a0也可以取为任意正数。a下面根据数列an的递推公式和初值 a0导出an的通项公式 an，推导过程如下an = (an 1 + ) = a12aan 1aan + = (an 1 + ) + = a12aan 1a以上两式作比值可得= ()2为了方便计算，记 bn = ，则 an = ，可得 bn = （nN+） ，于是1 + bn1 bn ab2n 1bn = = ()2 = ()2)2 = = （nN+）b2n 1b2n 2b2n 3b根据数列an的递推公式和 an与 bn之间的关系，可以得到a1 = (a0 + ) = ，b1 = = ()212aa0于是bn = = = （nN+）b因此an = = （nN+）1 + bn1 bn aa因为 a 0，a0 0，容易证明不等式 1 0，nN+）a
