初二数学因式分解知识点经典总结

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1、 整式乘除与因式分解整式乘除与因式分解概概述述定定义义：把把一一个个 多多项项式式化化为为几几个个整整式式的的积积的的形形式式，这这种种变变形形叫叫做做把把这这个个多多项项式式因因式式 分分解解，也也叫叫作作分分解解因因式式。意意义义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之 中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方 法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学 生的思维能力，都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学 习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可

2、以提高学 生综合分析和解决问题的能力。分解因式与整式乘法互为逆变形。 因因式式分分解解的的方方法法因因式式分分解解没没有有普普遍遍的的方方法法 ，初中数学教材中主要介绍了 提公因式法 、公式法。而 在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘 法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法 等。注注意意三三原原则则1 分解要彻底2 最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正（例如： -3x2+x=-x(3x-1)） 基基本本方方法法提提公公因因式式法法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。如果一个多项式的各项有公

3、因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两 个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提提公公因因式式法法 。具具体体方方法法： 当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的 最大公约数 ；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项 式的次数取最低的。如果多项式的第一项是负的，一般要提出 “-”号，使括号内的第一项的系数成为正 数。提提出出“-”号号时时，多多项项式式的的各各项项都都要要变变号号。例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。注意：把 2a2+1/2 变成 2(

4、a2+1/4)不叫提公因式 公公式式法法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。平平方方差差公公式式 ：a2-b2=(a+b)(a-b)；完完全全平平方方公公式式 ：a22abb2(ab) 2；注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两 个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数 (或式)的积的 2 倍。立立方方和和公公式式 ：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； 立立方方差差公公式式 ：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)；完完全全立立方方公公式式 ：a33a2b3ab2b3=(ab) 3公式：a3+b3+c3 =(a

5、+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)例如：a2 +4ab+4b2 =(a+2b) 2。（3）分解因式技巧1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。2.分解因式技巧掌握：等式左边必须是多项式；分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑 。3.提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另

6、一个因式，可用原多项式除以 公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的 每一项，求的剩下的另一个因式；提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。 一一、知识点总结：、知识点总结：1、单项式的概念：、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母 也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。如：的 系数为，次数为 4，单独的一个非零数的次数是 0。bca2222、多项式：、多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项 的次数叫多项式的次数。如：，项有、1，二次项为、

7、，一次项为，122xaba2aab2x2aab2x常数项为 1，各项次数分别为 2，2，1，0，系数分别为 1，-2，1，1，叫二次四项式。 3、整式：、整式：单项式和多项式统称整式。 注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。 4、多项式按字母的升（降）幂排列：、多项式按字母的升（降）幂排列：如：1223223yxyyxx按的升幂排列：x3223221xyxxyy按的降幂排列：x1223223yxyyxx按的升幂排列：y3223221yyxxyx按的降幂排列：y1223223xxyyxy5、同底数幂的乘法法则：、同底数幂的乘法法则：（都是正整数）mnm naaagnm,同底

8、数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。如：235() ()()abababg6、幂的乘方法则：、幂的乘方法则：（都是正整数）mnnmaa)(nm,幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：10253)3(幂的乘方法则可以逆用：即mnnmmnaaa)()(如：23326)4()4(47、积的乘方法则：、积的乘方法则：（是正整数）nnnbaab)(n积的乘方，等于各因数乘方的积。如：（=523)2zyx5101555253532)()()2(zyxzyx8、同底数幂的除法法则：、同底数幂的除法法则：（都是正整数，且nmnmaaanma, 0)nm f同底数幂相除，底数不变，指数相减。

9、如：3334)()()(baababab9、零指数和负指数；、零指数和负指数；，即任何不等于零的数的零次方等于 1。10a（是正整数） ，即一个不等于零的数的次方等于这个数的次方的pp aa1pa, 0pp倒数。如：81)21(23310、单项式的乘法法则：、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于 只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 注意： 积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。 相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。 只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘

10、同样适用。 单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。如：xyzyx32321111、单项式乘以多项式、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即(都是单项式)mcmbmacbam)(cbam,注意： 积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。 运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。 在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。如：)(3)32(2yxyyxx1212、多项式与多项式相乘的法则；、多项式与多项式相乘的法则； 多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相 加。如：)6)(5()3)(23(

11、xxbaba1313、平方差公式、平方差公式：注意平方差公式展开只有两项22)(bababa公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相 反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。如： )(zyxzyx14、完全平方公式：、完全平方公式：2222)(bababa公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一 项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的 2 倍。 注意：abbaabbaba2)(2)(2222abbaba4)()(22222)()()(bababa222)()()(bababa完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加

12、上首尾乘积的 2 倍。 15、三项式的完全平方公式：、三项式的完全平方公式：bcacabcbacba222)(222216、单项式的除法法则：、单项式的除法法则： 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母， 则连同它的指数作为商的一个因式。 注意：首先确定结果的系数（即系数相除） ，然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的 字母，则连同它的指数作为商的一个因式如：bamba24249717、多项式除以单项式的法则：、多项式除以单项式的法则： 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。即：()ambmcmmammbmmcmma

13、bc18、因式分解：、因式分解： 常用方法：提公因式法、公式法、配方法、十字相乘法三、知识点分析：三、知识点分析：1.同底数幂、幂的运算：同底数幂、幂的运算： aman=am+n(m，n 都是正整数). (am)n=amn(m，n 都是正整数).例题例题 1.若，则 a= ；若，则 n= 6422a8)3(327n例题例题 2.若，求的值。125512xxx2009)2(例题例题 3.计算mnxyyx2322练习练习1.若，则= . 32nana62.设 4x=8y-1,且 9y=27x-1,则 x-y 等于 。2.积的乘方积的乘方(ab)n=anbn(n 为正整数).积的乘方，等于把积的每一

14、个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.例题例题 1.1. 计算： 43ppmnnmmn3.3.乘法公式乘法公式平方差公式：22bababa完全平方和公式：2222bababa完全平方差公式：2222bababa例题 1. 利用平方差公式计算：2009200720082例题 2.利用平方差公式计算：22007 20072008 2006 3.（a2b3cd） （a2b3cd）5. 因式分解：因式分解：1.提公因式法：提公因式法：式子中有公因式时，先提公因式。例例 1 把分解因式2105axaybybx分析：分析：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按的降幂排列，x然后从两组分别提出公

15、因式与，这时另一个因式正好都是，这样可以继续提2ab5xy取公因式解：解：21052 (5 )(5 )(5 )(2)axaybybxa xyb xyxyab说明：说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组 的方法本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试例例 2 把分解因式2222()()ab cdabcd分析：分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解 因式解：解：22222222()()ab cdabcdabcabda cdb cd2222()()abca cdb cdabd()()()()ac bcadbd bcadbcad acbd说明：说明：由例 3、例 4 可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用 了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律由此可以看出运算律在因式分 解中所起的作用 2. 公式法：公式法：根据平方差和完全平方公式例题 1 分解因式22925xy3.配方法：配方法：