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1、第二节第二节导数的运算法则导数的运算法则第二章第二章二、典型例题二、典型例题一、主要内容一、主要内容三、同步练习三、同步练习四、同步练习解答四、同步练习解答一、主要内容一、主要内容定理定理2.1的和、 差、 积、 商的和、 差、 积、 商 (除分母除分母为为 0的点外的点外) 也都在点也都在点 x 可导可导, 且且处可导处可导，都在点及都在点及函函数数xxvvxuu)()(= = =)()(xvxu及及)()( )()()1(xvxuxvxu = = )()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu + + = = )()()()()()()()3(2xvxvxuxvxu xvxu =
2、)0)( xv（一）四则运算求导法则（一）四则运算求导法则（二）反函数的求导法则（二）反函数的求导法则定理定理2.2 若函数若函数 x = (y)在某区间在某区间 Iy内单调、可导且内单调、可导且 (y) 0，则其反函数则其反函数 y = f (x) 在对应区间在对应区间 Ix内也可导，且内也可导，且)( )(1)()(xxfyIx yxf = = = 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.小结小结= = )arcsin(x211x = = )arccos(x211x = = )arctan(x211 x+ += = )cotarc(x211 x+ + xx2s
3、ec)(tan= =xxxcotcsc)(csc = = xx2csc)(cot=xxxtansec)(sec= = （三）复合函数求导法则（三）复合函数求导法则?)2(sin= = xxxcos)(sin= = 已知已知问问：xx2cos)2(sin= = 事实上，事实上，)2(sin x)(cos(sin)(cos)(sin2 + + = =xxxx引例引例)cos(sin2 = =xxx2cos2= =)sin(cos222xx = = =xuuyxy2sin2sin= =xy dduuuucosdsind)(sin=从另一个角度看，从另一个角度看，这是巧合吗？这是巧合吗？xu uu d
4、d dsind )2(2cosxuu= = = =不是不是.x2cos2= =在点在点x 0 处 可导处 可导,)(xu一般地，有一般地，有定理定理2.3 = =)(ufy = =在对应在对应)(00xu = =处可导，则处可导，则 复合函数复合函数 fy = =)(x 且且0ddxxxy= =在点在点x 0处可导处可导,点点00dd ddxxuuxu uy=)( )(00xuf = =即因变量对自变量求导即因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量 求导等于因变量对中间变量 求导, 乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导. 复合函数的链式求导法则复合函数的链式求导法则有若有若),(0
5、bax 则可将则可将x0 换成换成x :xy dd即即)()()()(xufxfxu = =xu uy dd dd=注注10ddxxxy= =00dd ddxxuuxu uy=)( )(00xuf = =)()()(xufxu = =2)()()(xfufxu = =记记).()(xfxf 一般地，一般地，如：如：,sin)(uuf= =,2sin)(xxf= = )( xf )(xf ,2)(xxu= = = )2(sin = =xxuuf2)(= = = =注意此记 号的含义注意此记 号的含义x2cos2= =x2cos= =xuu2cos= = =3 推广：推广：复合函数求导法则可推广到
6、多个中间变量复合函数求导法则可推广到多个中间变量 的情形的情形.例如例如,)(, )(, )(xvvuufy = = = = =xy dd)()()(xvuf = =yuvx uy dd vu dd xv dd关键关键:搞清复合函数结构搞清复合函数结构, 由由外外向向内内逐层求导逐层求导.复合函数求导法则称为复合函数求导法则称为链式求导法则链式求导法则.对于复合函数，不能直接用对于复合函数，不能直接用基本初等函数基本初等函数 求导公式求导公式.xxcos)(sin= = 如：如：即即xxxcosdsind= =( 一致一致) 但但,2cos)2(sinxx 事实上事实上4)2(sin x (
7、不一致不一致)xu uu dd dsind=)2(2cosxuu= = = =( 一致一致)xx d2sind= =x2cos2= =(四四) 导数基本公式、初等函数的导数导数基本公式、初等函数的导数1. 常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式= = )(C0= = )( x1 x= = )(sinxxcos= = )(cosxxsin = = )(tanxx2sec= =)(cot xx2csc = = )(secxxxtansec= = )(cscxxxcotcsc = =)(xaaaxln= =)e (xxe= = )(lnxx1= = )(log xaaxln1= =
8、 )(arcsinx211x = = )(arccosx211x = = )(arctanx211 x+ + = = )cot(arcx211 x+ + 3. 函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则;ch)(shxx= = = )hc(arx 112 x= )(vuvu = = )( uCuC = = )( vuvuvu + + ( () )= vu 2vvuvu ( C为常数为常数 )0( v;sh)(chxx2. 双曲函数及反双曲函数的导数公式双曲函数及反双曲函数的导数公式 = = )(th x;ch1 2x= = = )(arshx 112+ +x211)ht(ar
9、xx = =)(=xf1 )(1 yf4. 反函数的求导法则反函数的求导法则dd= =xy或或yx dd1),(, )(xuufy = = = =xy dd)()(xuf = =uy dd xu dd 5. 复合函数的求导法则复合函数的求导法则又如又如,)(, )(, )(xvvuufy = = = = =xy dd)()()(xvuf = = uy dd vu dd xv dd关键:关键: 搞清复合函数结构搞清复合函数结构, 由由外外向向内内 逐层求导逐层求导.二、典型例题二、典型例题解解xsin4+ +1(21)1sin , )1sincos4(3=xxxy.1= = xyy 及求及求=
10、= y)( xx+ +=+=)1sincos4(213xxx23( xx)= = = =1xy1cos4 )1sin43(+ + +1cos21sin27 27+=+=)1sincos4(3xx)1sincos4(3xx例例1).(,sin)(3xfxxxf=求设=求设解解,0时时当当 x)(sinsin)()(331 +=+=xxxxxfxxxxcossin31332 +=+= 0)0()(lim)0( 0 = xfxff x,0时时当当= =xxxx xsinlim30= 例例2xxxx0sinlim30= 010= = = =. 0, 00,cossin31)(332=+= =+= xx
11、xxxxxf注注下列推导不正确下列推导不正确：03310)(sinsin)()()0(=+=+=xxxxxxxff错误原因：错误原因：3x在在x = 0处不可导，故不能用乘积处不可导，故不能用乘积的求导法则的求导法则.例例3.sinln的导数求函数的导数求函数xy = =解解.sin,lnxuuy= = =Qxu uy xy dd dd dd=u1 xx sincos= =xcot= =xcos熟练后，可不写出中间变量：熟练后，可不写出中间变量：)sin(ln = =xy=xsin1xxcossin1=)(sin xxcot= =解解,2ln31)1ln(212+=+=xxyQ+=+=) 1(
12、11 212 2xx例例4.21ln32 的导数求函数的导数求函数 +=+=xxyy ) 2(21 31 xx)2(1 31211 21 2+=+=xxx2ln31 )1ln(212+=+=xx.) 2( 31 12+ += =xxx例例5解解212( )(32)fux= += +.dd,arctan)(),2323( 02= =+=+ = = xxyxxfxxfy求设求设2323 + + = =xxu令令，则则2341+ +=x. 10 = = =ux时，时，又当又当xy dd xuufdd)(=0dd= = xxy3)1( = = f3)1arctan(2=.43 = =三、同步练习三、同
13、步练习,)()(00处可导在处不可导，在若处可导在处不可导，在若xxxvxxxu= = =问：问：处不可导？是否一定在处不可导？是否一定在0)()(xxxvxu= =1.41 )1(43 = =x2.)1( xx)1(43 =x对吗对吗?3. 求下列函数的导数求下列函数的导数.)2(,)1(xbbayxay = =xxxysin223+=+=求的导数求的导数.4.5.xxyln2sin = =求设求设, )()()(的导数的导数.xaxxf = =其中其中)(x 在在ax = =因因)()()()()(xaxxaxxf + + = = 故故).()(aaf =)(af 时时, 下列做法是否正确下列做法是否正确?处连续处连续. 在求在求6. 解解)()()(xaxx + += =).(,0,1e0, )(xfxxxx xfx =求设=求设7.8. 设设),99()2)(1()( = =xxxxxfL).0(f 求求9., )ecos(lnxy =设=设求求.dd xy10.求求,1111 + + + + += =xxxxy.y 11.设设),0( +=+=aaaxyxaaaxa求求.y 12
