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1、【例题精选例题精选】：例例 1：已知：如图，过ABC 的顶点 A，作 AFAB 且 AF=AB，作 AHAC，使AH=AC，连结 BH、CF，且 BH 与 CF 交于 D 点。求证：（1）BH=CF（2）BHCF例例 2：已知，如图：BD、CE 是ABC 的高，分别在高上取点 P 与 Q，使 BP=AC，CQ=AB。求证：AQ=AP例例 3：已知：如图，OA=OB、OC=OD 求证：AE=BE例例 4：已知：如图，ADBC，AE、BE 分别平分DAB 和CBA，DC 过点 E。求证：AB=AD+BC例例 5：已知：如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分BAD、CEAB 于 E，且B+D=18
2、0。求证：AE=AD+BE例：已知：如图，在ABC 中，D 是 BC 的中点，E、F 分别在 AC、AB 边上，EDF=90。求证：BFCEEF例例 1 分析：分析：从图中可观察分析，若证 BH=CF，显然，若能证出ABHAFC，问题就能解决。从已知看，已经知道 AF=AB，AC=AH。这两个三角形已经具备两条边对应相等了。还要证明第三条边相等，显然不可能用“边边边”公理了。只能寻求两对应边的夹角了。从已知看，BAF 和HAC 都是直角。而图中的BAC 显然是公共角，根据等式性质，问题可以顺利解决。证明：（1）AFAB，AHACBAF=HAC=90BAF+BAC=HAC+BAC即FAC=BAH
3、在ABH 和AFC 中 ABAFBAHFACAHAC 已知已证已知ABHAFC（边角边）BH=FC（全等三角形对应边相等）（2）设 AC 与 BH 交于点 P在APH 中HAP=902+3=90（直角三角形中两个锐角互余）1=2（全等三角形对应角相等）3=41+4=2+3=90在PDC 中1+4=90HDC=90BHCF例例 2 分析：分析：从要证的结论 AQ=AP，只有在ABP 和QCA 中找对应原素，不难发现，已经有 BP=AC、CQ=AB，也就是这两个三角形中已经有两条对应边相等。也只有找到其中夹角相等，全等就可以了，问题的关键在于如何找出1=2？再分析已知条件，不难看出，既然 BD、C
4、E 都是高，就有BDA=CEA=90，这样就可看出1 和2 都是BAC 的余角了。根据同角的余角相等这条性质得到1=2，这样问题就可以迎刃而解了。证明：BDAC 于 DCEAB 于 EBDA=CEA=901+BAC=2+BAC=901=2在ABP 和PCA 中 ABCQBPAC 已知已证已知12ABPQCA（边角边）AQ=AP（全等三角形对应边相等）例例 3 分析：分析：从要证明的结论 AE=EB 看，我们不难看出，应当在ADE 和BCE 中去寻找答案，而要证明ADEBCE，比较明显的有一组对顶角相等，即AED=BEC，另外可以通过等式性质得到，OAOD=OBOC，即 AD=BC，那么这两个三
5、角的全等条件仍然差一个，从证明的结论 AE=BE 上分析，不可能再寻找边的对应相等了，那么只有找一组对应角是否相等就可以了，如能否证出A=B（或ADE=BCE） ，A=B 除了是ADE 和BCE 的对应角外，它们还是AOC 和BOD 的对应角，只要AOCBOD，那么就可以推出A=B，这样问题便迎刃而解了，同学们自己分析一下AOC 和BOD 全等条件够吗？证明：在AOC 和BOD 中 OAOBOOOCOD 已知公共角已知AOCBOD（边角边）A=B（全等三角形的对应角相等）OA=OB（已知）OC=OD（已知）AD=BC（等式性质）在ADE 和BCE 中 ABAEDBECADBC已证对顶角相等已证
6、ADEBCE（角角边）AE=BE（全等三角形对应边相等）同学们自己动手试一试，可不可通过证明ADE=BCE 来证明ADEBCE 呢？例例 4 分析：分析：从要证明的结论 AB=AD+BC 上看，显然是两条线段的和与另外一条线段相等，可以考虑，能否在长的AB 边上截一段等于 AD（或 BC） ，利用角平分线的条件证全等。证明（一）：在 AB 上截 AF=AD，连结 EF在ADE 和AFE 中 ADAFDAEFAEAEAE 已作已知公共边ADEAFED=AFE（全等三角形对应角相等）ADBC（已知）D+C=180（两直线平行，同旁内角互补）又D=AFE（已证）BFE=C（等角的补角相等）在BFE
7、和BCE 中 BFECFBECBEBEBE已证已知公共边BFEBCE（角角边）BF=BCAB=AD+BC证明（二）：延长 AE、BC 交于点 F。AE、BE 分别是DAB 和CBA 的平分线。又ADBC1+2+3+4=180（两直线平等，同旁内角互补）2+3=90AEB=90BEF=90在ABE 和FBE 中 3490已知公共边已证BEBEAEBBEFABEFBE （角边角）AB=BFAE=EF在AED 和FEC 中 1FAEEFAEDFEC两直线平等，内错角相等已证对顶角相等AEDFEC AD=FCAB=AD+BC（等量代换）例例 5 分析：分析：从上面例题，可以看出，有时为了证明某两条线段
8、和等于另一条线段，可以考虑“截长补短”的添加辅助线，本题是否仍可考虑这样“截长补短”的方法呢？由于 AC 是角平分线，所以在 AE 上截 AF=AD，连结 FC，可证出ADCAFC，问题就可以得到解决。证明（一）：在 AE 上截取 AF=AD，连结 FC。在AFC 和ADC 中 AFADACAC 已作已知公共边12AFCADC（边角边）AFC=D（全等三角形对应角相等）B+D=180（已知）B=EFC（等角的补角相等）在CEB 和CEF 中 BEFCCEBCEFCECE已证已知公共边90CEBCEF （角角边）BE=EFAE=AF+EFAE=AD+BE（等量代换）证明（二）：在线段 EA 上截
9、 EF=BE，连结 FC（如右图） 。同样也可以证明，同学们自己试一试，证明过程是怎样的，看一看，当推导过程不通时，想一想，还有哪些已知条件没有充分考虑到，或是还有哪些定理，性质用的不熟，自己找一找思维障碍是什么？小结：小结：在几何证明过程中，如果现成的三角形不可以证明，则需要我们选出所需要的三角形，这就需要我们恰到好处的添加辅助线。如例：已知：ABC 中，AD 是 BC 边上的中线求证：ADABAC1 2分析：求证，即可变形为，其结构恰好为中线的 2 倍。小于原三ADABAC1 22ADABAC角形的两边之和，如果添加辅助线，造出一个三角形，使其两边恰与 AB、AC 相等，而另一边正好为 A
10、D 的 2 倍，问题就迎刃而解了。证明：延长 AD 至 E，使 DE=AD，连结 BE。在ADC 和EDB 中 ADDEADCEDBCDBD 所作对顶角相等中线定义ADCEDB（边角边）AC=BE（全等三角形对应边相等）在ABE 中（三角形中，两边之和大于第三边）AEABBEADABAC1 2又如前面的例 4、例 5，证明某两条线段的和等于另一条线段，往往考虑“截长补短” ，有时为了达到某种证明目的，可以考虑“平行移动”即过某点作一直线平行于某已知直线。遇到中线时往往考虑到倍长，达到旋转 180，有时遇有角平分线，还可以考虑添加平行线，能得出等腰三角形。当然，目前由于我们学的知识还不够，有些题
11、目不可能一下子就会遇到，但随着学习的深入，添加辅助线在几何证明过程中，经常要遇到，所以从现在起，遇到类似的问题，就要不断的总结，不断的积累。下面再分析一下下面的例题，以便逐步养成分析问题解决问题的良好的逻辑思维习惯。分析：从要证的结论来看，它们没构成一个三角形，不能利用我们学习过的三角形三边的关系加BFCEEF以证明，D 是中点，可考虑延长，又考虑到EDF 是直角，所以可以达到把 EF 用 EG 代换，而 BF 可以用 CG 代换，问题可以得到解决。证明：延长 FD 到 G，使 DG=FD，连结 EG、CG。在EFD 和EGD 中FDDG EDFEDG EDED 90EFDEGD（边角边）EF
12、=EG（全等三角形对应边相等）在BDF 和CDG 中 BDCDBDFCDGFDGD 已知对顶角相等已作BDFCDG（边角边）CG=BF在CEG 中CECGEGBFCEEF【专项训练专项训练】：1、已知：如图，AD/BC，AD=BC。求证：AB=DC2、已知：如图，AD/BC，AD=BC，AE=CF。求证：B=D3、已知：如图，AC=BD，AE=DF，AEAD 于 A，DFAD 于 F 求证：EBCF4、已知：如图，AB=AC，AD=AE，1=2。求证：CE=BD5、已知：如图，A=D，B=C，BE=CF。求证：AB=DC6、已知：如图，ABBD 于 B，EDBD 于 D，AB=CD，BC=DE
13、。求证：ACCE7、已知：如图，AE=AD，1=2。求证：B=C8、已知：如图，AC=BD，BAC=ABD。求证：AD=BC；CAD=DBC9、已知：如图，ABAC，ADAE，AB=AC，AD=AE。求证：（1）BE=DC（2）BEDC10、已知：如图，AD 是的中线，BEAD 交延长线于 E，CFAD 于ABCF。求证：BE=CF11、已知：如图，AC=CE，AE 交 CF 于 B，EDCB 于ACE90D，AFCF 于 F。求证：（1）ACF=CED（2）DF=CFAF12、已知：如图，AB、CD、EF 互相平分于点 O。求证：AEC=BFD13、已知：如图，中，AD、CE 是的角平分线，相交于ABCB60ABC点 O。求证：AE+CD=AC14、已知：如图，CD=AB，BDA=BAD，AE 是的中线。求证：AC=2AEABC
