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1、1贵阳学院贵阳学院学院学院: 数学与信息科学学院数学与信息科学学院专业：专业： 数学与应用数学数学与应用数学 学号：学号： 090501401037 姓名：姓名： 史开端史开端 指导教师：指导教师：姚廷富姚廷富 2探讨求极限的若干方法探讨求极限的若干方法引言：极限是数学中一项常用的引言：极限是数学中一项常用的“工具工具” ，是学习数学必要掌握的方法之一，是学习数学必要掌握的方法之一， 下面我们就来探讨一下求极限的几种方法：夹逼原理、常用极限法、等价无穷下面我们就来探讨一下求极限的几种方法：夹逼原理、常用极限法、等价无穷 小量与无穷大量法则、洛比达法则、泰勒公式替代法、定积分法、连续性法。小量与
2、无穷大量法则、洛比达法则、泰勒公式替代法、定积分法、连续性法。 求极限有很多方法，还有有关级数方面的求法等，在此不作讨论。求极限有很多方法，还有有关级数方面的求法等，在此不作讨论。1、夹逼原理求极限1夹逼原理：设数列，满足，且， na nb ncnnnabclimlimnnxxaca 则limnxba 例题：求（1）;1lim12nnxnnL(2) 222111lim 12xnnnnL(3) 1 3 521lim2 4 62xn n L L解：（1）因为，1111 1112nnnnnnnnnnnn LLL即；而；所以由夹逼原理得：1112nnnnnnLlim1nxn 1lim121nnxnnL
3、（2）因为， 222221111 121nnnnnnnnn L而 ，所以 2lim1 xnnn 222111lim1 12xnnnnL（3）设，1 3 52113521 2 4 622462nnnunn LLL则有，12422242 235213521nnnunnLL将不等式同乘以得；即有nu2111 2221nunn11 221nunn3而11limlim0221xxnn因此1 3 521lim02 4 62xn n L L2、常用极限法常用极限：（1）；（2） 0sinlim1 xx x1lim 1xxex例题：求（1）；（2）201 coslim xx x2 lim cosnnn解：（1
4、）2 2220002sinsin1 cos1122limlimlim22 2xxxxx x xxx （2）2221cos1 cos1lim coslim 1cos1lim 1cos1nnnn n nxnnnn g又因为；2222 222 sinsin22limcos1limlim122 2nnnnnnn nn 所以222lim cosnnen3、等价无穷法求极限2等价无穷小量：若，则称与是当时的等价无穷小量。 0lim1xxxxfgfg0xx记作 xxfg0xx当时，常用等价无穷小：（）；（）；0x 1xexln 1xx（）；（）；（）sinxx211cos2xx11axax4例题：求（1）；
5、（2） 3202ln 1 3lim 1sinxxxex201tan1 sinlimln 1xxx xxx 解：（1） 3322002ln 1333limlim421sinxxxxx xxex （2） 220020000 200001 tan1 sintansinlimlimln 11 tan1 sinln 11 sin1 cos112limlimlim2ln 1ln 11 tan1 sincos1121limlimlim 114ln 14211xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xx x 1 2x 4、洛比达法则求极限3洛比达法则：设：(1)当时，函数及都
6、趋于零； xa xf xF(2)在点的去心邻域内，及都存在且； a xf xF 0xF (3)当时存在(或为无穷大)，那么 时。xa limxxaxfFxa limlimxxxaxaxxffFF 再设：(1)当时，函数及都趋于零； x xf xF(2)当时及都存在，且； xN xf xF 0xF (3)当时存在(或为无穷大)，那么 时。x limxxxfFx limlimxxxxxxffFF 例题：求（1）；（2）1 1 cos0sinlimxxx xlimxxx 5解：（1） 1 1 cos0002220003sinlnsin1sinlimlnlimlnlim1 cos2cossincoss
7、insin1limlimlimsin33xxxxxxxx xxx xxxxxxxxxxxx xxxx 所以原式1 3e（2）：故原式 lnlim lnlim0xxxxx x 1注：（1）每次在使用 Hospital 法则之前，务必考查它是否属于七种不 定型，否则不能用。（2）一旦用 Hospitol 法则算不出结果，不等于极限不存在。例如：就是如此。这是因为 Hospital 法则只是充分条件，不是必sinlim1cosxxx xx 要条件。（3）用 Hospital 法则求极限时，经常与等价无穷法联用。（4）型的 Hospital 法则使用时，只需检验分母趋向于无穷大即可， 分子不趋向没有关
8、系。5、泰勒公式求极限泰勒公式：若函数在点存在直至阶导数，则有f0xn，即0( )( )() )n nf xT xxx( ) 2000 00000()()()( )()()()()() )1!2!n nnfxfxfxf xf xxxxxxxxxnL令，上式变为（带有佩亚诺余项的）麦克劳林公式00x ( ) 2(0)(0)(0)( )(0)()1!2!n nnffff xfxxxxnL*几个常用的（带有佩亚诺余项的）麦克劳林公式有：（不再一一证明）2 1(1)12!(1)!nx xnxxeexxnn L63521 12(2)sin( 1)()3!5!(21)!m mmxxxxxxm L242 2
9、1(3)cos1( 1)()2!4!(2 )!m mmxxxxxm L 231(4)ln 11()23nnnxxxnxxn L2(1)(1)(1)(5)(1)1()2!nnnxxxxxn LL21(6)1()1nnxxxxx L例题：求（1）; (2) 01lim1cosxxex xx 1 limnannaff 解：（1）原式 220221 2lim311 824xxxxx （2）原式 11limaanf aafnaffnnef 6、定积分的定义求极限定义：设在上可积，则有 xf, a b 1lim inbxanibaffdxn其中常取：i1,2,inL（1）1ibaain（2）ibaain（
10、3）212ibaain例题：求222222lim12nnnn nnnnL7解：设2222222 111 121nn innnannnnni nL此和式可看作函数在上的定积分的一个黎曼和式。即将 21 1xfx0,1区间等分，介点取每个小区间的右端点，所以0,1n12201111limlimarctan0141nnnnidxaxnxi n7、利用连续性求极限定义：若在点连续，则有f0x 0 0limlimxxxxxxff例题：求22limsin nnn 解：22222sinsinsin111nnnnnnn 由于初等函数在有定义的地方皆连续，所以原极限22sinlimsin12111nn 参考文献：1.数学分析上册第五版华东师范大学数学系编高等教育出版社2.高等数学竞赛教程 （第二版） 卢兴江、金蒙伟主编 P6-P10 83.数学分析中的典型问题与方法 （第二版） 裴礼文主编 P44-P46结论结论
