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1、三简单应用能力层次三简单应用能力层次(一一). 计算题（每小题计算题（每小题 5 分）分） 1 求齐次线性方程组解空间的维数和一组基。12341234123432240 320 220xxxx xxxx xxxx 解 对方程组的系数矩阵施以初等行变换：A（2分）分）32241000 3112010012120012A 所以。故解空间的维数是 1。 （3分）分）( )3r A 由上面的阶梯形矩阵可得与原方程组同解的方程（4分）分）12340 0 2x x xx 由此得基。 （5分）分）(0,0,2,1)T2求齐次线性方程组解空间的维数和一组基。123412341234220 320 220xxx
2、x xxxx xxxx 解 对方程组的系数矩阵施以初等行变换：A（2分）分）12211221 31120775 12120011A 所以。故解空间的维数是 1。 （3分）分）( )3r A 由上面的阶梯形矩阵可得与原方程组同解的方程（4分）分）14243417 7 12 7xxxxxx 由此得基。 （5分）分）(17, 12, 7,7)T3求齐次线性方程组解空间的维数和一组基。123412341234220 20 22240xxxx xxxx xxxx 解 对方程组的系数矩阵施以初等行变换：A（2分）分）12211001 1112011122240000A 所以。故解空间的维数是 2。 （3分
3、）分）( )2r A 由上面的阶梯形矩阵可得与原方程同解的方程组（4分）分）14234xx xxx 由此得基，。 （5分）分）1(0,1,1,0)T2(1, 1,0,1)T4设3 231, 1,02,1,33,1,2TTT1中的基为，R RT设12, 3, -5，求它在这组基下的坐标。解：设23,.x x x1在这组基下的坐标为则1123xxx23+由此得方程组 (2 分)123123232312 3 325xxx x xx xx + +求得：=(2,3,-1). （5 分）23,x x x15，为的一组231,1,2,1,0,1,1,2,0,0,3,10,0,1,TTTTt14设向量组：,4
4、R R基，求 t 的范围。解：只要线性无关，即为的一组基， (2 分)1234, ,4R R设矩阵12345,A ,则 =1-3t (4 分)11210310031112011201001A tt0得 (5 分)4 12341,3t 时,为的一组基。R R6设 2 12:1,1,1, 1,TT的两组基R R 12:1,3,3,1,TT(1):求. (5 分) 由基到的过渡矩阵A(2):求. (5 分) 2 3T，分别在这两组基下的坐标解：(1) 12121113,1131BC 设,-1则C =BA, A=B C （2分）对矩阵B C 施以初等行变换：3 11EMM MM-1102 2B C B
5、 C-1 30 1 -1(5 分)1A所以 -1(2) 12122,y yyy设关于的坐标为则由此可得方程组：，解得:12123233yyyy 1273,88yy（2 分） 7 3,8 8即关于的坐标为, 12,x x设关于的坐标为利用坐标变换公式得：1175 2282 1131 82xyAxy 22(5 分) 51,22即关于的坐标为7设 2 12:2,3,4,5,TT的两组基R R 12:1,1,1,3,TT(1):求. (5 分) 由基到的过渡矩阵A(2):求. (5 分) 1, 2T 分别在这两组基下的坐标解：(1) 12122411,3513BC 设,（2 分）-1则C =BA, A
6、=B C 对矩阵B C 施以初等行变换：24 11102 35 1301 22EMM MM-11 7 2B C B C13(5 分)222A 1 7 2所以： 13(2) 12122,y yyy设关于的坐标为则由此可得方程组：，解得:121212yyyy 1211,22yy （2 分） 11,22即关于的坐标为, 12,x x设关于的坐标为利用坐标变换公式得：1113 222 11 2222xyAxy221 7 213(5 分) 3 1,2 2即关于的坐标为8设 3 123:1,1,0,1,0,11,1,1,TTT 的两组基R R 123:1,0,0,0,1,0,2,0,1TTT求:。 由基到
7、的过渡矩阵A解： 12312311 1102101 ,010011001BC 设,（2 分）-1则C =BA, A=B C 对矩阵B C 施以初等行变换：11 1 102100123 101 010010112 011 001001113E MM MM-1B C B C(5 分)123 112 113A 所以： 9 设 3 123:1,1,1,0,1,10,0,1,TTT的两组基R R 123:1,0, 1,1,1,0,0, 1,1TTT求:. 由基到的过渡矩阵A110 101 112 解：123123100110 110 ,011 111101BC 设,（2 分）-1则C =BA, A=B
8、C 对矩阵B C 施以初等行变换：100110100110110011010101111101001112E MMMM-1B C B C(5 分)110 101 112A 所以： 10设 3 123:1,0,0,0,1,00,0,1,TTT的两组基R R 123:1,0,0,1,1,0,1,1,1TTT(1): 求. (5 分) 由基到的过渡矩阵A(2):设 (5 分) 在下的坐标为: 2, -3, -4 ，求在基下的坐标.: 由基到的过渡矩阵A110 101 112 解：(1)123123111 ,011 , 001BC 设,（2 分）-1-1则C =BA, A=B C =B 对矩阵B C
9、施以初等行变换：111 100100110 011 010010011 001 001001001E MM MM-1B E B(5 分)110 011 001A 所以： (2) 123,(2, 3, 4)y yy设关于的坐标为, 123,x x x设关于的坐标为利用坐标变换公式得：113311025 0113100144xyxA yxy 22(5 分) 5,1, 4即关于的坐标为11设向量组3 1232,1, 33,2, 51, 1,1TTT，为的一组基,R R求：. (5 分)4, 3,14.T在这组基下的坐标解：设23,.x x x1在这组基下的坐标为则1123xxx23+由此得方程组 （
10、2 分）123123123234 23 3514xxx xxx xxx 求得：=(2,-1,3). （5 分）23,x x x1123设的基为:R R1231,1,1,1,0, 1,1,0,1TTT求：. 2,5,6.T在这组基下的坐标解：设23,.x x x1在这组基下的坐标为则1123xxx23+由此得方程组 (2 分)12311232 5 6xxx x xxx 求得：=(5,-2,-1). （5 分）23,x x x113。 12123,2,41 2,0,TT设求与,都正交的单位向量解： 11232,00TTTx x x 设且，由此可得方程组： （2 分）123123240,20xxxxx （4 分）1232,2xtxtxt 解得：其中t 为任意实数则。 （5 分）2 123,3 33T t 所求的单位向量为14将下列向量组单位正交化：，。1(1, 2,2)T2( 1,0, 1)T 3(5, 3, 7)T解 （1）利用施密特正交化方法先将其正交化：11(1, 2,2)T21 221 11221(,)333T T T （2分）分）3132 3311 1122(6, 3,6)TT T TT （2）将标准化123, 1113T 2221T 3339T 所以，1 1 112 2( , )33 3T，2 2 2221(
