数形结合思想教案－金锄头文库

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1、合合合合合合【教学目标】1让学生熟练掌握各种图象变换，能迅速作出给定的函数图象； 2让学生了解用数形结合法解决方程、不等式、含参问题的讨论； 3培养学生主动运用数形结合方法解题的意识【教学重点】函数图象的几何变换【教学难点】1各种图象变换之间的区别及灵活应用； 2运用数形结合方法解题【例题设置】例 1（平移易错点剖析），例 2、4（函数作图），例 3（找中心），例 5（图象法解不等式）【教学过程】第第一一课课时时一、复习九种基本函数及圆锥曲线的图象正比例函数，kxy )0,(kRk 反比例函数， xky )0,(kRk0k 0k 其图象是以原点为中心，以直线其图

2、象是以原点为中心，以直线和和为对称轴的双曲线为对称轴的双曲线yxyx 一次函数， bkxy)0,(kRk 一元二次函数)0(2acbxaxy 指数函数且（特征线：（特征线：）,0xyaa1a1x 对数函数且（特征线：（特征线：）0,logaxya1a1y 正弦函数，周期Rxxy,sin2T 余弦函数，周期xycosRx2T 正切函数周期),2( ,tanZkkxxyT一个小结论：在区间一个小结论：在区间上恒有上恒有（证明文科留至三角函数一节再给出，)2, 0(xxxsintan理科用导数证明如下）证明：记，则在上恒成立，故在上( )tanf xxx21( )10cosfxx )2, 0(

3、)f x)2, 0(为增函数，所以，即当时，恒有( )(0)0f xf(0,)2xtan xxyxOyxO 记，则在上恒成立，故在上为增函数，( )sing xxx( )1cos0g xx )2, 0( )g x)2, 0(所以，即当时，恒有( )(0)0g xg(0,)2xsinxx综上所述，在区间上恒有)2, 0(xxxsintan 椭圆X 型：； Y 型： 12222 by ax12222 bx ay 双曲线X 型：； Y 型： 12222 by ax12222 bx ay 抛物线；；pxy22)0(ppxy22)0(p； pyx22)0(ppyx22)0(p 注意：1牢记九种基本

4、函数及圆锥曲线图象是进行函数图象变换的基础，也是提高用数形结合方法解题速度的关键 2理解各种曲线图象的较为精确的画法，这在用数形结合法解题，涉及两个图象之间关系时，才不至于造成误解二、图象的初等变换二、图象的初等变换 A、平移变换 1要作出函数的图象，只需将函数的图象向左或向右)(axfy)(xfy )0(a平移个单位即可)0( a| a2要作出函数的图象，只需将函数的图象向上或向下hxfy)()(xfy )0( h平移个单位即可)0( h| h例 1的图象可由的图象经过如何变换得到？sin(2)3yxsin2yx误解：将的图象往右平移个单位可得到的图象sin2yx3sin(2)3yx点

5、评：该种解法是学生中最常见的一种错误解法，造成这个错误的主因还是对变换规则理解不透，规则中强调的是将换成而必须将中的换成才会得到xxasin2yxx6x，故应是将的图象往右平移个单位可得到的图象sin(2)3yxsin2yx6sin(2)3yxB、局部对称变换 3要作函数的图象，只需将函数在轴左侧的图象擦掉，再将) | ( xfy )(xfy y在轴右侧的图象作关于轴对称，并保留在轴右边部分即可得到)(xfy yy( )yf xy4要作函数的图象，只需将函数的图象轴下方的部分沿着轴对折到| )(|xfy )(xfy xx轴上方，去掉原轴下方部分，并保留的轴上方部分即可得到xx( )yf xx点

7、作关于原点对称即可得到()yfx )(xfy 8要作函数的图象，只需将函数的图象作关于直线对称即可得到1( )yfx)(xfy yx点评：与比较：若值一样，则值相反，故与的)( xfy)(xfy yx)( xfy)(xfy 图象关于轴对称其它同理可知y D、伸缩变换 9要作函数的图象，只需将函数图象上所有点的横坐标缩短缩短)(axfy )0(a)(xfy 或伸长或伸长为为原来的（纵坐标不变）（纵坐标不变）即可（若，还得同时进行关于) 1(a) 10( aa10a轴的翻转变换）y 10要作函数的图象，只需将函数图象上所有点的纵坐标伸长伸长)(xAfy )0(A)(xfy 或缩短或缩短到到原来的

8、倍（横坐标不变）（横坐标不变）即可（若，还要再进行关于) 1(A) 10( AA0A 轴的翻转变换） x 点评：伸缩变换叙述时一定要注意用辞，注意“缩短”与“缩短为”的区别 E、按向量平移11若将函数按向量平移，则可依据向量图象将平移转化为：先向左（）或向( , )am nr0m 右（）平移个单位，再向上（）再向下（）平移个单位如按向量0m |m0n 0n |n平移可转化为先向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位) 1 , 2(a 热身训练1函数的图象按平移后得到的图象的函数解析式为（答2(1)2yx( 1, 2)a r案：）2(2)yx 解析：即向左平移 1 个单位，再先向下平移 2

9、个单位 2利用函数图象变换，快速作出下列函数图象 131xylg()yx -1-1yxO-1-1yxO |tan xy |tan|xy |log2 . 0xy 0.2|log|yx 2sin2yx1cos22xy 例 2 利用函数图象变换，快速作出下列函数图象 2|23|yxx3|22xxy |1|31xy解：|1|1| |31333xxxxyyyyyxOyxO1-1-1yxO1yxO 42yxO yxO1 2413-1yxO-3-41 3-1yxO2-1yxO步骤处，可能会出现与例 1 类似的错误：由变23xy为23xy 231xy 法一：22211131( )1( )( )333xxxx

10、yyy 法二：223133xxxyyy 法三：22231333xxxxyyyy 课后练习 2sin(3)4yx法一：2sin(3)sin(3)sin3sin44yxyxyxyx法二：2sin(3)sin(3)sin()sin444yxyxyxyx 3log (2)1yx 法一：33333log (2)1log (2)log (2)loglog (2)yxyxyxyxyx 法二：33333log (2)1log (2)log (2)loglog ()yxyxyxyxyx 法三： 3333log (2)1log (2)log ()logyxyxyxyx 2| 21yx法一：2| 212| 22|

11、222yxyxyxyx 法二：2| 212| 22222yxyxyxyx 42 21xyx解： 422(21)442221212121 2xxyxxxx222211 22yyyxxx 122-2yxO2yxO1-131yxO-122yx-1yxO【课堂小结】1要牢记九种基本函数与圆锥曲线图象，这是快速作图的基础；2通过图象变换可以解决大部分的函数图象，但还有一些函数（如高次函数、较复杂的复合函数）无法通过变换得到，此时可通过导数的知识作出其草图；3注意各种变换之间的区别，注意各种变换中所改变的量是什么；4利用图象变换作图时，一定要注意所变换的每个步骤都要能够实现【教后反思】第第二二课课时时三

12、、几种中心（或顶点）不在原点的曲线图象的画法1圆圆心：222()()xaybr( , )a b2椭圆中心：1)()(2222 bny amx),(nm3双曲线中心：1)()(2222 bny amx),(nm4抛物线顶点：)(2)(2mxpny),(nm5函数（）中心：axbycxd0c (, )d a c c作图步骤：确定其图象中心（或顶点）；在其图象中心（或顶点）画一个十字架（可当作新坐标系）；在新坐标系中作出其图象小结：1证明可由坐标平移公式容易给出；2类比圆的方程或二次函数，可总结出以下规律：先将其化成为各自对应的2()ya xhk“标准方程形式” ，则减去的分别是中心（或顶点）

13、的横纵坐标xy、例 3 若椭圆按向量平移后所得方程为，则向量等14)2( 9) 1(22 yxa14922 yxa于（ C ）A、B、C、D、)2, 1 ( )2 , 1 ()2 , 1()2, 1(随堂练习椭圆的中心为点，它的一个焦点为，相应于焦点的准线方程为( 1,0)E ( 3,0)F F，则这个椭圆的方程是（答案：）7 2x 2 2(1)15xy函数的图象画法axbycxd 可参照例3，先通过变量分离2bad accydcxc 确定其图象中心，再由的符号确定其图2bad cc象位置解析：依题意，解得252,2acc225,1ab四、无理函数的作图形如或（A0）的函数均可借助解几知识迅

14、速而准确地BAxyCBxAxy2作出，从而为研究函数、方程、不等式等问题提供极大的方便.例 4 作出下列函数图象： 12 xy2246xxy解：易知原函数的值域为，0,)原函数可化为，在直角坐标212()2yx系中作出其图象（如下图所示）解：易知原函数的值域为，0,)原函数可化为，在直角坐标系中作出其图象（如下图所示）小结：作无理函数的步骤：确定原函数的值域（或定义域）；通过两边平方，化掉根式；根据新方程，由圆锥曲线或圆的定义给出图象（根据原函数的值域（或定义域）保留题意的一部分图象）五、利用函数图象解不等式例 5 利用图象解下列不等式： |2|1xx 241xx解：原不等式可化为|2| 1xx 在同一坐标系中分别作出函数与的图象，如下图所|2|yx| 1

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