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1、1高等数学竞赛练习题高等数学竞赛练习题1、单项选择题(1)已知在区间上单调递减，则的单调递减区间是( C )( )f x(,) 2(4)f x A B C D不存在 ,0 , 0(2)设函数,，则 ( B ) ,0 ,xaxf xx 是有理数是无理数10 aA当时，是无穷大 B当时，是无穷小x xfx xfC当时，是无穷大 D当时，是无穷小x xfx xf(3)设函数与在处都没有导数，则和 xf xg0x xgxfxF在处 ( D ) xgxfxG0xA一定都没有导数 B一定都有导数C至少一个有导数 D至多一个有导数(4) 若是的一个原函数，则的另一个原函数是（ A ）ln x( )f x(
2、)f xA. B. C. D. ln ax1ln axaln xa21(ln )2x(5) 设连续，则等于 ( A ) ( )f xsin( )()aax f xfxdx A.0 B. C. D. aa2a（6） 下列命题中正确的命题有几个？ （ A ） （1）无界变量必为无穷大量； (2) 有限多个无穷大量之和仍为无穷大量； （3）无穷大量必为无界变量； (4) 无穷大量与有界变量之积仍为无穷大量. (A) 1 个； (B) 2 个； (C) 3 个； (D) 4 个. （7）. 设 ， 则是间断点的函数是 （ B ）1, 0( )0, 0xf xx1sin, 0( ) 1 , 0xxg x
3、x x 0x (A) ； (B) ； (C) ； (D) .( )( )f xg x( )( )f xg xmax( ), ( )f xg xmin( ), ( )f xg x（8） 设 为在上应用拉格朗日中值定理的“中值” ，则 ( )arctanf xx 0, b（ C ）220lim bb(A) 1； (B) ； (C) ； (D) .1 21 31 4（9） 设连续，当时，与为等价无穷小，令( ) , ( )f xg x0x( )f x( )g x2， 0( )()xF xf xt dt, 则当时，的 （ D ）10( ) () G xx g xt dt0x( ) ( )F xG x是
4、(A) 高阶无穷小； (B) 低阶无穷小； (C) 同阶无穷小但非等价无穷小； (D) 等价无穷小.（10） 设在点的某邻域内连续，且满足 ，),(yxf)0 , 0(220 0( , )(0,0)lim 31sincosx yf x yf xxyy 则在点处 （ A ）),(yxf)0 , 0( (A) 取极大值；(B) 取极小值； (C) 无极值； (D) 不能确定是否有极值.（11）设有连续的一阶导数，则 （ B ）f(1,2)(0,0)()d()df xyxf xyy(A) ； (B) ； (C) ； (D) 0 .102( ) df xx30( ) df xx(3)(0)ff（12）
5、 设任意项级数 条件收敛，将其中的正项保留负项改为 0 所组成的1n na级数记为, 将其中的负项保留正项改为 0 所组成的级数记为，则1n nb 1n nc与（ B ） 1n nb 1n nc(A) 两者都收敛； (B) 两者都发散； (C)一个收敛一个发散； (D) 以上三种情况都可能发生.（13）设存在，则下列四个极限中等于的是（ B ）0()fx0()fx（A）； （B）；000()()lim xf xxf x xVV V000()()lim hf xf xh h（C）； （D）.000()( )lim xxf xf x xx 000()()lim hf xhf xh h（14）是曲线
6、有拐点的（ D ）0()0fx( )yf x00(,()xf x（A）充分而非必要条件； （B）必要而非充分条件；（C）充分必要条件； （D）既非充分又非必要 条件.（15）设，则（ C 2222( , , ),0,0x y z xyzRza IaxdV）( A )； ( B )； ( C )； ( D ) 的符号与有关.0I 0I 0I Ia2、求极限201sinlimln xx xx答案： 22001sin1sinlimlnlimln 1 (1) xxxx xxxx332000sincos1sin1limlimlim366xxxxxxx xxx 3、设，若时，与为等价无穷小，求220( )
7、()( )xF xxtf t dt0x ( )F x2x(0)f 答案：，2200( )( )( )xxF xxf t dtt f t dt，2200( )2( )( )( )2( )xxF xxf t dtx fxx fxxf t dt由，解得0 20002( )( )1limlimlim2( )2(0)xxxxf t dtF xfxfxx1(0)2f 4、求2 200801 (tan )dx x答案：令，则2xt2 200801tandx x200802 2008200802tan 1 cot1tandttdt tt22 200820080021tan21tandtdx tx所以 2 20
8、0801tan4dx x5、设函数，求的极值和单调区间. 10f xt tx dt01x f x答案： 112200( )()()()()xxxxf xt xt dtt tx dttxtdtttx dt31 323xx,令，得.由知21( )2fxx( )0fx2 2x ( )20(01)fxxx为极小值，由知，的单调减区间是，221()263f 21( )2fxx( )f x2(0,)2单调增区间是 2(,1)26、说明级数的敛散性2( 1) ( 1)nn nn 4答案：通项，( 1)( 1) ( 1) ( 1)1( 1)1 1111( 1)nnnnnnnn nnnnnn 而交错级数收敛，调
9、和级数发散，故原级数发散2( 1) 1nnnn 21 1nn7、已知，且，求及20( )( )8fxf x dx(0)0f20( )f x dx( )f x答案：已知为一常数，由，20( )f x dx208( ) ( )fx f x dx 积分得， 再积分得，所以208( ) ( )f xx f x dx 20( )4f x dx ( )2f xx 8、求内接于椭圆，而面积最大的矩形的边长12222 by ax答案：设内接矩形的边长分别为， 则顶点在椭圆上，2 ,2uv( , )u v所以，矩形面积， 22221uv ab22( )44,0bS uuvuauuaa，令，得唯一驻点222 22
10、22224442( )bbub auS uauaaaauau ( )0S u，从而，由实际问题知，当时，有最大面积，2au 2bv 2au ()22aSab这时矩形边长分别为和a22b9、设函数在上连续，在内可导，且，求证在( )f x0,1(0,1)12 33( )(0)f x dxf内至少存在一点 ，使(0,1)c( )0fc答案：由定积分中值定理得，12 32(0)3( )3 ( )(1)( )3ff x dxff其中， 在上应用罗尔定理，至少存在一点，使2130, (0, )(0,1)c( )0fc510、设是单调不减的数列，令，若，试证na12n naaabnLlimnnba .若去
11、掉“单调不减”这个条件，试问这个结论是否成立？（要求说limnnaa 明理由）证：因对任意，故.（夹逼）1,nnn aa12nn nnaaanabannL固定，并令，则nmn1111nknm k mkkn kk namnbaaammm 令，得，从而，令，得m limmnmaba nnaabn limnnaa 若去掉“单调不减”这个条件，则结论不一定成立.例如，取，则，但数列发散.1( 1),1,2,n nan L12limlim0n nnnaaabnL na11、设在上，且在内取得最大值，试证0, (0)a a |( )|fxM( )f x(0, )a|(0)|( )|ffaMa证：因在内取得
12、最大值，由费马定理得存在使.对( )f x(0, )a(0, )ba( )0f b使用拉格朗日中值定理得，( )fx111(0)( )( )( ),(0, )ff bfbbfb 222( )( )()()()(),( , )faf bfabab fb a从而.(0)( )()ffaMbM abMa12、设在上连续（为自然数，） ，试证存在( )f x0, nn2n (0)( )ff n，使,1 0, n ( )(1)ff证：令，则在上连续( )(1)( )g xf xf x( )g x0,1n令，则 0,10,1min( ),max( ) xnxnmg x Mg x ，101( ),0,1,2
13、,1,( )nimg iM inmg iMnL，对函数应用介值定理得，存在，使10( )( )(0)0nig if nf( )g x0,1n6，即存在，使.101( )( )0nigg in,1 0, n ( )(1)ff13、设函数在上可积，且，试证存在区间( )f x , a b( )0baf x dx 使. , , a b ( )0, ,f xx 证：反证法. 若不然，则对于的任何子区间上都有点，使， , a b , ( )0f从而对于的任何分划 T：，在每个子区间 , a b012naxxxxbL上都有点，使.那么由在上的可积性知，1,iixxi( )0if( )f x , a b，矛盾. max01( )lim( )0inbiiaxif x dxfx 14、设在点二阶可导，且，求和的值( )f x0x 0( )lim11 cosxf x x(0),(0)ff (0)f 解： 0( )lim11 cosxf x xQ 0(0)lim( )0 xff x 又 00( )( )1limlim1 cossinx
