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1、FBAF EDAE2高中数学培高中数学培优讲优讲座座第三讲：平面几何证明基本方法分析法、综合法、反证法、同一法（一）分析法、综合法分析法是由命题的结论人手，承认它是正确的，执果索因，寻求在什么情况下结论才是正确的 。这样一步一步逆而推之，直到与题设会合，于是就得出了由题设通往结论的思维过程； 综合法则是由命题的题设人手，通过一系列正确推理，逐步靠近目标，最终获得结论 .无论是分析法还是综合法，都要经历一段认真思考的过程，分析法先认定结论为真，倒推而上，容易启发思考，每一步推理都有较明确的目的，知道推理的依据，了解思维的过程；综合法由题设推演，支路较多，可以应用的定理也较多，往往不知应如何迈步，
2、这是它的缺点，而优点在于叙述简明，容易使人理解解题的步骤.1选择型分析法选择型分析法解题，就是从要求解的结论B 出发，希望能一步步把问题转化，但又难以互逆转化，进而转化为分析要得到结论B，需要什么样 （充分）的条件，并为此在探求的 “三岔口”作方向猜想和方向择优，假设有条件C 就有结论 B，即 C 就为选择找到的使 B 成立的（充分）条件（） ；同样地，再分析在什么样的条件下BC 能选择得到 C，即，最终追溯到此结论成立或原命题的某一充分条件（或充CD 分条件组）恰好是已知条件或已知结论 A 为止.在运用选择型分析法解题时，常使用一系列短语：“只需即可”来刻画，具体来说，若可找到，欲证，只需证
3、即可.BC BA CA 例例题题 1： ：如图，已知，点 B 在 CE 上，CA = CB=CD，过 A，C，D090CDEACE三点的圆交 AB 于 F.求证：F 为CDE 的内心.2可逆型分析法如果在从结论向已知条件追溯的过程中，每一步都是推求的等价（充分必要）条件，那么这种分析法又叫可逆型分析法 。因而，可逆型分析法是选择型分析法的特殊情形，用可逆型分析法证明的命题用选择型分析法一定能证明，反之用选择型分析法证明的命题，用可逆型分析法不一定能证明 .可逆型分析法的证明中，常用符号 “”来表示，或用一系列 “则需证”来表示，并最后指出 “上述每步可逆，故命题成立 ”. 例例题题 2： ：直
4、角ABC 中，a、b 为直角边长，c 为斜边长。求证：.3构造型分析法如果在从结论向已知条件追溯的过程中，在寻找新的充分条件的转化“三岔口”处，需采取相应的构造型措施 ：如构造一些条件，作某些辅助图等，进行探讨、推导，才能追溯到原命题的已知条件 (或稍作变形处理 )的分析法又叫做 构造型分析法 . 例例题题 3： ：如图，AD 是ABC 的中线，任意引直线 CF 交 AB 于 F，交 AD 于 E，求证：.4奠基型综合法在由已知条件着手较cba 2难时，或没有熟悉的模式 可供化归推导时，我们可 倾向于寻找 简单的模式 （特例） ，然后将一般情形化归到这个 简单的模式上来。这样的 综合法称为 奠
5、基型综合法 .例例题题 4： ：如图，由任一点 P 向等边ABC 的三条高 AD、BE、CF 作垂线段，求证：这三条垂线段中最长的一条是其余两条的和.5媒介型综合法当问题给出的已知条件较少且看不出与所求结论的直接联系时，或条件关系松散难以利用时，去有意识地寻找、选择并应用媒介实现过渡，这样的综合法称之为媒介型综合法.例例题题 5： ：（斯特瓦尔特定理）设 D 是ABC 底边 BC 上任一点，求证：.CDBDBCBDACCDABBCAD222类似方法可证：1 （阿波罗尼斯定理）（阿波罗尼斯定理）若 AD 是ABC 的中线，则.)(22222BDADACAB（提示：ADB 和ADC 中用余弦定理）
6、2 （斯库顿定理）（斯库顿定理）在ABC 中，AD 为BAC 的平分线，则. CDBDACABAD2（提示：在CAD 和BAD 中，用）BADCADcoscos 3 （托勒密定理）（托勒密定理）在圆内接四边形 ABCD 中，. BCADCDABBDAC （提示：在BAD 和BCD 中，用；又在ABC 和ACD 中，BCDBADcoscos 用，分别整理出 BD2，AC2的表达式，再相乘即证）ADCABCcoscos6解析型综合法解题时，运用解析法的思想制订解题的大体计划和方向，然后并不真用解析法来实现这个计划，而用综合法来实现，这种综合法我们称之为解析型综合法.例例题题 6： ：如图，在四边形 ABCD 中，已知B 为直角，对角线AC=BD，过 AB、CD 之中点 E、G 作中垂线交于 N；过 BC、AD 之中点 F、H 作中垂线交于 M.求证：B、M、N 三点 共直线. 上面，我们分别介绍了分析法与综合法，在解题时，这两种方法可单独使，也可结合 使用，在分析中有综合，在综合中有分析，交叉使用去论证、求解问用题.
