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1、第五章 1 二次型与对称矩阵二次型与对称矩阵 一、一、二次型及其矩阵二次型及其矩阵 1定义：含有定义：含有个变量的二次齐次函数：个变量的二次齐次函数：n222 1211 122 2(,)nnn nf x xxa xa xa xLL12 1 213 1 3(1)1222nn nna x xa x xaxxL称为二次型。称为二次型。为便于用矩阵讨论二次型，令为便于用矩阵讨论二次型，令，则二次型为：，则二次型为：ijjiaa2 1211 112 1 211(,)nnnf x xxa xa x xa x xLL2 21 2 122 222nna x xa xax xLL L L L L L L L L
2、 L L2 1122nnnnnn na x xax xa xL,1nij ij i ja x x令令， ，111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa LLLLLLL12nx xxx M则则 ，且，且为对称矩阵。为对称矩阵。12(,)T nf x xxx AxLA由于对称矩阵由于对称矩阵与二次型与二次型是一一对应关系，故称对称矩阵是一一对应关系，故称对称矩阵为二为二AfA次型次型的矩阵，也称二次型的矩阵，也称二次型为对称矩阵为对称矩阵的二次型，的二次型，也称为二也称为二ffA( )R A次型次型的秩。的秩。f例例 1 1 设设3132212 32 22 132197532),(xx
3、xxxxxxxxxxf第二章 2 试求二次型矩阵试求二次型矩阵.A解解 , , , , , .111a222a333a25 2112 aa27 3223 aa29 3113 aa于是得于是得，327 292722529 251A11232359122 57( ,)222 97322xfx x xxx 例例 2 2 已知三阶矩阵已知三阶矩阵和向量和向量,其中其中AX, . 233110321 A 321xxxX求二次型求二次型的矩阵的矩阵.AXX解解 由于由于不是对称矩阵不是对称矩阵,故故不是二次型不是二次型的矩阵的矩阵.因为因为AAAXX321321 233110321),(xxxxxxAXX
4、,3231212 32 22 14622xxxxxxxxx故此二次型的矩阵为故此二次型的矩阵为. 223211311二、线性变换二、线性变换1 标准形标准形定义：形如定义：形如的二次型称为二次型的标准形。的二次型称为二次型的标准形。22 222 11nnxdxdxdL显然：其矩阵为对角阵。显然：其矩阵为对角阵。 2线性变换线性变换第二章 3定义：定义： 关系式关系式称为由变量称为由变量到变量到变量111 11221221 122221 122nnnnnnnnnnxc yc yc yxc ycycyxc ycycy LL L L L L L L L L L L L L12,nx xxL的一个线性
5、变量替换，简称线性变换。的一个线性变量替换，简称线性变换。12,ny yyL矩阵矩阵称为线性变换的矩阵。称为线性变换的矩阵。111212122212nnnnnnccc cccCccc L L LLLL L记记 ，则线性变换可用矩阵形式表示为：，则线性变换可用矩阵形式表示为：12nx xxx M12ny yyy MxCy若若，称线性变换为满秩（线性）变换（或非退化变换），称线性变换为满秩（线性）变换（或非退化变换） ，否则，否则，0C 称为降秩（线性）变换（或退化变换）称为降秩（线性）变换（或退化变换） 。，其中，其中12(,)()()TTTTT nCyA Cyy Cf x xACxyyx Ax
6、ByL，TBC AC而而()TTTTBC ACC ACB若线性变换是非退化的，便有：若线性变换是非退化的，便有：1yCx三、矩阵的合同三、矩阵的合同1 定义：设定义：设，为为阶方阵，如果存在阶方阵，如果存在阶可逆矩阵阶可逆矩阵，使得，使得，ABnnCTC ACB则称矩阵则称矩阵与与合同。合同。AB容易知道：二次型容易知道：二次型的矩阵的矩阵与经过非退化线性变换与经过非退化线性变换得到得到( )Tf xx AxAxCy的矩阵的矩阵是合同的。是合同的。TC AC2 合同的性质合同的性质第二章 4 反身性：任一方阵反身性：任一方阵都与它自己合同都与它自己合同A 对称性：如果方阵对称性：如果方阵与与合
7、同，那么合同，那么也与也与合同合同ABBA 传递性：如果方阵传递性：如果方阵与与合同，合同，与与合同，那么合同，那么与与合同合同ABBCAC3 3 定理：若矩阵定理：若矩阵与与合同，则合同，则与与等价，且等价，且。ABAB( )( )R AR B4 定理：任何一个实对称矩阵定理：任何一个实对称矩阵都合同于一个对角阵都合同于一个对角阵（是以是以的的个特个特AAn征根为对角元的对角阵）征根为对角元的对角阵） 。即存在可逆矩阵。即存在可逆矩阵，使得，使得。CTC AC 化二次型为标准形化二次型为标准形 一、正交变换法一、正交变换法定理：任给二次型定理：任给二次型，总有正交变换，总有正交变换使使化化1
8、2(,)T nf x xxx AxLxCyf为标准形：为标准形：（其中（其中是对称是对称222 1 12 2n nfxxxL12,n L矩阵矩阵的特征根）的特征根）A例：例： 求一个正交变换求一个正交变换，化二次型，化二次型xPy为标准形。为标准形。222 1231 21 32 322448fxxxx xx xx x解：二次型的矩阵为：解：二次型的矩阵为：122 224 242A 第二章 5由由，求得，求得的特征根为：的特征根为：，0AEA17 232特征根特征根对应的特征向量为：对应的特征向量为：；17 11 2 2 特征根特征根对应的特征向量为：对应的特征向量为：2322322 1,0 0
9、1 显然显然与与都正交，但都正交，但不正交。不正交。123, 23与正交化：取正交化：取，222 1 0 2322(,) 332(,)2 5 4 5 1 再将再将单位化，得单位化，得 123, 1231221112,1,4353 5205ppp 第二章 6于是正交线性变换为：于是正交线性变换为： 22153 5113 21422353 5 23353 30xy xy xy使原二次型化为：使原二次型化为： 222 123722fyyy 注意：二次型的标准形并不唯一，这与施行的正交线性变换有关。注意：二次型的标准形并不唯一，这与施行的正交线性变换有关。二、配方法二、配方法对任意一个二次型对任意一个
10、二次型，也可用配方法找到满秩变换，也可用配方法找到满秩变换12(,)T nf x xxx AxL，化二次型，化二次型为标准形。为标准形。xCyf1 二次型中含有平方项二次型中含有平方项例：化二次型例：化二次型为标为标222 1231231 21 32 3(,)23444f x xxxxxx xx xx x准形，并求出所用的变换矩阵。准形，并求出所用的变换矩阵。解解 222 12312312323(,)4()4()4()f x xxxxx xxxxx222 22 3332(2)5xx xxx2222 12323233(22)4()2()5xxxxxxxx222 123233(22)2()5xxx
11、xxx令令 ，即，即11232233322yxxx yxx yx 112233122011001yxyxyx 令令，则，则，所求的满秩变换为，所求的满秩变换为1122011001C 120 011 001C 第二章 7，即，即，xCy112233120011001xyxyxy 则原二次型则原二次型化为标准形：化为标准形： Tfx Ax222 12325fyyy2 2 二次型中不含平方项二次型中不含平方项例：用配方法化二次型例：用配方法化二次型为标准形，并求出为标准形，并求出1231 21 32 3(,)f x xxx xx xx x所用的满秩线性变换。所用的满秩线性变换。解：令解：令，则原二次
12、型化为：，则原二次型化为：11221233xyy xyy xy 22 121 32fyyy y再按前例的方法有：再按前例的方法有：22 121 32fyyy y2222 11 33322yy yyyy222 1323()yyyy令令， 则原二次型化为：则原二次型化为：1132233zyyzyzy 222 123fzzz其中的满秩变换为两变换的合成，即：其中的满秩变换为两变换的合成，即：由第一次变换由第一次变换得：得： 11221233xyy xyy xy 112233110110001xyxyxy 第二章 8由第二次变换由第二次变换得：得： 1132233zyyzyzy 112233101010 001yzyz yz
