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1、y高中线性规划基础一、线性规划的基础-二元一次不等式表示区域的结论和证明： 1、 结论：二元一次不等式表示区域，这个个问题，课本上只给出了特例，然后由特殊 到一般地总结出了结论：不等到式 Ax+By+C0(或 Ax+By+C0,121 0 xxx,121 0 yyy消去 x0,y0解出 得：,2211 cByAxcByAx (Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)0 （Ax+By+C）(Ax1+By1+C) 0，即 Ax+By+C 的符号都与(Ax1+By1+C)的值同号。 同理可得与 B 同侧的任何点（x,y）使得 Ax+By+C 的符号都与(Ax2+By2+C)同号。 故有结论： Ax
2、+By+C0 表示直线 Ax+By+C=0 一侧的半平面区域，而 Ax+By+C0 表示的是直线 Ax+By+C=0 另一侧的半平面区域。二、线性规划问题课本例 4 谈 1、 题目（第 63 页例 4）： 要将两种大小不同的钢板截成 A、B、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的 小钢板的块数如下表所示：A 规格B 规格C 规格第一种钢板211第二种钢板123今需要 A、B、C 三种规格的成品，分别为 15、18、27 块，问各截这两种钢板多少张可得 所需的三种规格成品，且使所用钢板张数最少。 2、解题前的准备解释题意： 从表中可以看出：第一种钢板截 A 规格的数多，截 B、C 规格的钢板
3、少，而第二种钢 板截 A 规格的数少，截 B、C 规格的钢板越来越多。这可能吗？ 举例解释：长宽分别为 240、80 的钢板截长宽分别为 80、120 的钢板可得 2 块，截长 宽分别为 90、85 的为 0 张，而长宽分别为 180、170 的钢板截长宽分别为 80、120 的钢板规格类型钢板类型A(x1,y1)B(x2,y2)P(x,y)Cxo可得 2 块，而截长宽分别为 90、85 的可得 4 块。如图：802401701802、解题中的思考： 问题：一般来说，读题后，我们会如下作：设需第一种钢板 X 张，第二种钢板 Y 张，则： 2x+y=15 x+2y=18 x+3y=27求 Z=x
4、+y 的最小值。 x、yN 但这样作无解，无 x、yN 使其满足条件，那就更不能说去求 Z=x+y 的最小值了。 那这个问题该怎么样办？就无解了吗？ 释疑： 有解这是实际问题的答案。因为各取 15+18+27=60 块两种钢板时，能得到满足 条件的 A、B、C 三种规格的钢板。不过，这时得到的 A、B、C 规格的钢板多了。若适当 减少两种钢板的数量时，肯定能得到满足要求的三种规格的钢板，且使 x+y 的值最小。 修改解题策略：将前面从已知列出的等式改为不等式试试就可。问题变为： 求 2x+y15x+2y18 x+3y27时 z=x+y 的最小值。 x、yN 正确解法： 画可行域分析得，z 不在
5、边界处取得最值。 因为边界处可能作为解的两直线的交点不是整点， 所以要再在可行域内去找接近那个交点且为整点 又能满足条件的整点。此时可如下找：x+3y2712x+y152z=x+y3代入解出 x 可得：0.5(3z-27) x15-z,不要中间的 x 得到一个不等到式，解312得 z11.4。令 z=12 代入上面的有两个不等号的不等式中得：4.5 x 3,因 xN，所 以 x=3 或 4。由此可得到满足条件的两解： x=3 或 x=4y=9y=8。由前面的解题过程，可以看出：本题对学生的能力要求相当高，可谓是一个难题。5 这提醒我们在教学中，不要马虎对待它。80 12012090 85908
6、5Axyoxyo三、线性规划问题的意义： 1、 可解决许多实际问题，培养学生应用数学的意识，从而培养学生的学习兴趣，这是当 今教材、高考改革的趋势。 2、 培养学生将实际问题化为数学问题的能力，培养读题、分析问题、解决问题的能力。 3、 培养学生数形结合思想、借助图形解决问题的能力。 4、 培养学生作图、计算能力与灵活运用数学知识的能力。四、线性规划问题的演变改变可行域或改变目标类型例： 例 1：已知 x,y 满足x+2y-50x1 求的最大值，的最小值xy22yx y0 x+2y0 解：画出可行域如图，在可行域内任取一点 P(x,y),则：=2。xyoAoPkk211222222OBOPyx
7、例 2：已知 f(x)=ax2+bx，且 -1f(-1) 2，2f(1) 4,求 f(-2)的取值范围。 解：由已知要可得：-1a-b2 且 2a+b4，求 f(-2)=4a-2b 的取值范围。 故可用线性规划法解，得-1f(-2) 10.例 3：已知 x2+3y21,求|z|=|的最小值。xy 223 如图，椭圆上及其内部的点组成可行域。设 P(x,y)为其内一点，A（0，） ，则：32，所以|z|的最小值为 3。3132 xy kAP1ABk可见，可行域可为直边多边形区域或曲线所围成的区域，目标函数为线性函数可为其 他函数，当然在高中时期这样的目标函数较少。五、线性规划的一般问题-变量增多 见课本章节后的阅读材料，不再多述。六、线性规划在数学中的地位： 从前面可以看出线性规划只是非常特殊的多元函数在简易定义域上的一个简单性质-求 最值的问题。教材将这部分内容安排在高中来，我想主要是因为可用它来解决许多实际问 题，让没机会进一步学数学的人，有机会了解这一部分内容。次要的才是为学习高等数学 打基础。P(x,y)B(1,1)A(1,2)P(x,y)ABxyoxyo
