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1、天天 津津 师师 范范 大大 学学本科毕业论文（设计）本科毕业论文（设计）题目：关于一次同余方程组的历史研究题目：关于一次同余方程组的历史研究学学 院：初等教育学院院：初等教育学院学生姓名：刘润杰学生姓名：刘润杰学学 号：号：09514105专专 业：小学教育专业业：小学教育专业年年 级：级：2009 级级完成日期：完成日期：2013 年年 3 月月指导教师：张悦指导教师：张悦一次同余方程组的历史研究摘要：一次同余方程组从古到今，从小学到大学的数学教学中都有涉及。一次同余方程组是同余问题之一，它具有很强的应用价值。本课题基于对中国剩余定理、秦九韶的大衍求一术和欧拉解法理解和对比，从中发现它们的
2、局限性，进而介绍解一次同余方程组的新方法，使学生能系统全面的掌握一次同余方程组。同时希望通过本课的研究能够展现数学的文化价值，为学生展现数学的文化内涵，也提醒教师们在教学时应有意识的向学生渗透一些与课程有关的数学史，激发学生的学习兴趣，扩宽学生的思维。关键字：一次同余方程组；中国剩余定理；大衍求一术；欧拉Historical Research on the System of Linear Congruence EquationsAbstract: a Congruence Equations since ancient times, ranging from primary school t
3、o university mathematics teaching in. A congruence equation group is a congruence problem, it has very strong application value. The subject of the Chinese remainder theorem, Qin Jiushaos big Yan Shu and Euler method based on a understanding and comparison, find their limitations from, and then intr
4、oduces the solution of system of Linear Congruence Equations, so that the students can systematically grasp a congruence equations. At the same time, hope that through the study of this class to show the value of mathematics culture, mathematics for the students to show the cultural connotation, but
5、 also to remind the teachers in teaching should have the awareness of the infiltration to the students and curriculum history of mathematics related, stimulate students interest in learning, broaden the students thinking.Keywords: Linear Congruence Equations; Chinese remainder theorem; Dayan a Shu;
6、Euler目录一、问题提出及相关的背景.1（一）问题的提出 .1（二）文献综述 .1（三）研究问题与研究目的 .2二、同余概述.3（一）同余的定义及性质 .3（二）一次同余方程组性质 .4三、国内外的历史研究.4（一）国内的研究 .41.中国剩余定理（孙子定理）.42.秦九韶的“大衍求一术”.6（二）国外研究 .81.高斯的研究.82.欧拉的研究.8（三）意义 .9（四）局限性 .10四、解一次同余方程组的新方法.10（一）逐步调整法（找找法） .10（二）同余法 .11（三）补数法 .12五、研究总结.12参考文献141一、问题提出及相关的背景（一）问题的提出数学史对数学教育的积极作用已经得
7、到数学教育界的普遍认同。现今基础教育课程改革中提出在数学课程中要体现数学的文化价值，从而激发学生学习数学的兴趣，让学生体会前人的探索过程，并尝试着利用前人的思想方法去解决相关的问题。同余问题在数论中占有重要地位，其中对于一次同余方程组就有不同的解法，例如我国古代的“中国剩余定理” （又称孙子定理） ，秦九韶的“大衍求一术” ，还有西方的欧拉、费马以及高斯等人对其的研究，但他们的研究都存在一定的局限性。如果在教学中，教师向孩子渗透关于一次同余方程组的历史研究过程及其不足，这样可以使孩子更好的理解一次同余方程组，从而找到更好的方法解决数学问题，也利于开阔他们的思维。（二）文献综述同余是初等数论中一
8、个基本概念，它是数学家高斯在算数研究中引入的。国内外许多学者都研究过一次同余方程组。在中国古代，出现了大批的数学著作，其中有较多著作一直流传到现在。而这些著作中介绍一次同余方程解法的有孙子算经中“孙子定理” （又称中国剩余定理）和秦九韶九章算术中 “大衍求一术” 。在 20 世纪 30 年代中国也涌现了许多数学大家研究一次同余方程组。例如华罗庚在华罗庚文集（数论卷 2） 第二章就介绍了同余式。闵嗣鹤在初等数论 （第三版）的第三、四章分别介绍同余与同余式。柯招、孙琦的数论讲义 （上册，第 2 版）第二章系统的介绍同余式相关问题。陈景润在初等数论（1） 的第四章介绍了一次同余式及其解法。除此之外，
9、还有一些作者也对此问题研究过，如钱克仁中国剩余定理和大衍求一术 、万哲先孙子定理和大衍求一术 、姜春艳中国剩余定理探析 、李兆华孙子定理和潘天骥论述中国剩余定理的形成及其影响运用通俗易懂的语言详细的介绍了中国剩余定理（又称孙子定理）和秦九韶的大衍求一术关于一次同余方程组的解法。2在西方，也有大量的数学家研究一次同余方程组。例如古希腊的两位数学家欧几里得和丢番图，分别在其著作几何原本和算术中都有介绍相关问题。十七世纪法国的费马（费马大定理，费马小定理） 、十八世纪的瑞士的欧拉、拉格朗日、十九世纪德国数学家高斯的算术研究第二章介绍了一次同余方程的相关问题。狄克松的数论史第二卷中指出：欧拉(Eule
10、r)、拉格朗日(Lagra-nge)等数学家都对一次同余式间题进行过研究。法国的勒让德在数论方面也对此进行了研究。与此同时，还有一些作者就国内国外两种研究进行对比，例如沈康身秦九韶大衍术与高斯算术探讨 比较秦九韶和高斯在一次同余方面的的研究，主要包括三方面，第一高斯探讨中的一次同余论；第二秦九韶的大衍术；第三对两大师一次同余论工作的比较。王翼勋一次同余式组的欧拉解法和黄宗宪反乘率新术介绍了一次同余式组的欧拉解法。尽管，在其他的期刊、报纸以及书籍上也有关于一次同余方程组的研究，但内容都不够全面。所以，本文将系统的介绍一次同余式组的“中国剩余定理”秦九韶的“大衍求一术”和“欧拉解法”三者进行对比并
11、找出它们的局限性，同时对三种方法进行改性，总结出更简便的方法。（三）研究问题与研究目的本课题的研究内容是：关于一次同余方程组的历史研究。具体思路是：首先介绍同余的概念及其性质，然后，比较我国与外国关于一次同余方程组的历史研究，找出它们的局限性，其次，找出新方法弥补前人的不足，最后，对本课题研究的内容进行总结概括。本课题研究目的是：希望通过本次研究，使学生了解一次同余方程组的发展史，对其产生有一定的认识，对国内外的研究进行对比，并提出一些改进的办法，使教师在教学中能更好的将数学史渗透到教学中，在数学课程中体现数学的文化价值，为学生展现数学的文化内涵。二、同余概述（一）同余的定义及性质定义1：设为
12、正整数，称为模。如果用去除任意两个整数与所得的mmab3余数相同，则称两个整数，对模同余。记作。如果余数不同，abmmodabm则称两个整数，对模不同余。由同余定义可知，有如下性质1：abm性质 1：若为正整数，为任意整数，则（反身性）mamodaam性质 2：若为正整数，为整数，若，则。mabmodabmmodbbm（对称性）性质 3：设为正整数， 为整数，若，mabcmodabmmodbcm则。 （传递性）modacm性质 4：设为正整数，为整数，若，m1,2,1,2a a b b11modabm，则 （可加性）22modabm1212modaabbm性质 5：设为正整数，为整数，若，m1,2,1,2a a b b11modabm，则 （可减性）22modabm1212modaabbm性质 6：设为正整数，为整数，若，m1,2,1,2a a b b11modabm，则（可乘性）22modabm1212moda ab bm性质 7：若为正整数，为整数，为整数，若，则mabnmodabm（可乘方性）(mod)nnabm性质 7：设为正整数，为整数，若，mab1aa d1bb d,1m d ，则 （可化简性）modabm11modabm性质 8：若，则1modabm2modabm3modabm（最小公倍性）1,2
