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1、高中数学概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结高中数学概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结高考数学必胜秘诀在哪?概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结基本概念、公式及方法是数学解题的基础工具和基本技能,为此作为临考前的高三学生,务必首先要掌握高中数学中的概念、公式及基本解题方法,其次要熟悉一些基本题型,明确解题中的易误点,还应了解一些常用结论,最后还要掌握一些的应试技巧。本资料对高中数学所涉及到的概念、公式、常见题型、常用方法和结论及解题中的易误点,按章节进行了系统的整理,最后阐述了考试中的一些常用技巧,相信通过对本资料的认真研读,一定能大幅度地提升高考数学成绩。一、集合与简易逻辑1.集合元
2、素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时,尤其要注意元素的互异性,如(1)设 P、Q 为两个非空实数集合,定义集合 P+Q= ,若 , ,则 P+Q 中元素的有_个。 (答:8)(2)设 , , ,那么点 的充要条件是_(答: ) ;(3)非空集合 ,且满足“若 ,则 ” ,这样的 共有_个(答:7)2.遇到 时,你是否注意到“极端”情况: 或 ;同样当 时,你是否忘记 的情形?要注意到 是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。如集合 , ,且 ,则实数 _.(答: )3.对于含有 个元素的有限集合 ,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为 如满足 集合 M 有_个。 (
3、答:7)4.集合的运算性质: ; ; ; ; ; ; .如设全集 ,若 , , ,则 A_,B_.(答: , )5. 研究集合问题,一定要理解集合的意义抓住集合的代表元素。如: 函数的定义域; 函数的值域; 函数图象上的点集,如(1)设集合 ,集合 N ,则 _(答: ) ;(2)设集合 , ,则 _(答: ) 6. 数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具,在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况,补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如已知函数 在区间 上至少存在一个实数 ,使 ,求实数 的取值范围。 (答: )7.复合命题真假的判断。 “或命题”的真假特点是“一真即
4、真,要假全假” ;“且命题”的真假特点是“一假即假,要真全真” ;“非命题”的真假特点是“真假相反” 。如在下列说法中:“ 且 ”为真是“ 或 ”为真的充分不必要条件;“ 且 ”为假是“ 或 ”为真的充分不必要条件;“ 或 ”为真是“非 ”为假的必要不充分条件;“非 ”为真是“ 且 ”为假的必要不充分条件。其中正确的是_(答:)8.四种命题及其相互关系。若原命题是“若 p 则 q” ,则逆命题为“若 q 则 p” ;否命题为“若p 则q” ;逆否命题为“若q 则p” 。提醒:(1)互为逆否关系的命题是等价命题,即原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等
5、价;(2)在写出一个含有“或” 、 “且”命题的否命题时,要注意“非或即且,非且即或” ;(3)要注意区别“否命题”与“命题的否定”:否命题要对命题的条件和结论都否定,而命题的否定仅对命题的结论否定;(4)对于条件或结论是不等关系或否定式的命题,一般利用等价关系“ ”判断其真假,这也是反证法的理论依据。 (5)哪些命题宜用反证法?如(1) “在ABC 中,若C=900,则A、B 都是锐角”的否命题为(答:在 中,若 ,则 不都是锐角) ;(2)已知函数 ,证明方程 没有负数根。9.充要条件。关键是分清条件和结论(划主谓宾) ,由条件可推出结论,条件是结论成立的充分条件;由结论可推出条件,则条件
6、是结论成立的必要条件。从集合角度解释,若 ,则 A 是 B 的充分条件;若 ,则 A 是 B 的必要条件;若 A=B,则 A 是 B 的充要条件。如(1)给出下列命题:实数 是直线 与 平行的充要条件;若 是 成立的充要条件;已知 , “若 ,则 或 ”的逆否命题是“若 或 则 ” ;“若 和 都是偶数,则 是偶数”的否命题是假命题 。其中正确命题的序号是_(答:) ;(2)设命题 p: ;命题 q: 。若p 是q 的必要而不充分的条件,则实数 a 的取值范围是 (答: )10. 一元一次不等式的解法:通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为 的形式,若 ,则 ;若 ,则 ;若 ,则当
7、时, ;当 时, 。如已知关于 的不等式 的解集为 ,则关于 的不等式 的解集为_(答: )11. 一元二次不等式的解集(联系图象) 。尤其当 和 时的解集你会正确表示吗?设 , 是方程 的两实根,且 ,则其解集如下表:或 或 R RR 如解关于 的不等式: 。 (答:当 时, ;当 时, 或 ;当 时, ;当 时, ;当 时, )12. 对于方程 有实数解的问题。首先要讨论最高次项系数 是否为0,其次若 ,则一定有 。对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中含有参数时,你是否注意到同样的情形?如:(1) 对一切 恒成立,则 的取值范围是_(答: ) ;(2)关于 的方程 有解的条件是什么?(
8、答: ,其中 为 的值域),特别地,若在 内有两个不等的实根满足等式 ,则实数 的范围是_.(答: )13.一元二次方程根的分布理论。方程 在 上有两根、在 上有两根、在 和 上各有一根的充要条件分别是什么?( 、 、 ) 。根的分布理论成立的前提是开区间,若在闭区间 讨论方程 有实数解的情况,可先利用在开区间 上实根分布的情况,得出结果,再令 和 检查端点的情况如实系数方程 的一根大于 0 且小于 1,另一根大于 1 且小于 2,则 的取值范围是_(答:( ,1) )14.二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗?二次方程 的两个根即为二次不等式 的解集的端点值,也是二次函数 的图象
9、与 轴的交点的横坐标。如(1)不等式 的解集是 ,则 =_(答: ) ;(2)若关于 的不等式 的解集为 ,其中 ,则关于 的不等式 的解集为_(答: ) ;(3)不等式 对 恒成立,则实数 的取值范围是_(答: ) 。高考数学必胜秘诀在哪?概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结二、函 数1.映射 : A B 的概念。在理解映射概念时要注意:A 中元素必须都有象且唯一;B 中元素不一定都有原象,但原象不一定唯一。如(1)设 是集合 到 的映射,下列说法正确的是 A、 中每一个元素在 中必有象 B、 中每一个元素在 中必有原象 C、 中每一个元素在 中的原象是唯一的 D、 是 中所在元素的象的集
10、合(答:A) ;(2)点 在映射 的作用下的象是 ,则在 作用下点 的原象为点_(答:(2,1) ) ;(3)若 , , ,则 到 的映射有 个, 到 的映射有 个, 到 的函数有 个(答:81,64,81) ;(4)设集合 ,映射 满足条件“对任意的 , 是奇数” ,这样的映射 有_个(答:12) ;(5)设 是集合 A 到集合 B 的映射,若 B=1,2,则 一定是_(答: 或1).2.函数 : A B 是特殊的映射。特殊在定义域 A 和值域 B 都是非空数集!据此可知函数图像与 轴的垂线至多有一个公共点,但与 轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个。如(1)已知函数 , ,那么集合 中所
11、含元素的个数有 个(答: 0 或 1) ;(2)若函数 的定义域、值域都是闭区间 ,则 (答:2)3. 同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域,值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定,因此当两个函数的定义域和对应法则相同时,它们一定为同一函数。如若一系列函数的解析式相同,值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“天一函数” ,那么解析式为 ,值域为4,1的“天一函数”共有_个(答:9)4. 求函数定义域的常用方法(在研究函数问题时要树立定义域优先的原则):(1)根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零,分母不能为零,对数 中 且 ,三角形中 , 最大角 ,最小角 等。如(1)函数
12、的定义域是_(答: );(2)若函数 的定义域为 R,则 _(答: );(3)函数 的定义域是 , ,则函数 的定义域是_(答: );(4)设函数 ,若 的定义域是 R,求实数 的取值范围;若 的值域是 R,求实数 的取值范围(答: ; )(2)根据实际问题的要求确定自变量的范围。(3)复合函数的定义域:若已知 的定义域为 ,其复合函数 的定义域由不等式 解出即可;若已知 的定义域为 ,求 的定义域,相当于当 时,求 的值域(即 的定义域) 。如(1)若函数 的定义域为 ,则 的定义域为_(答: ) ;(2)若函数 的定义域为 ,则函数 的定义域为_(答:1,5) 5.求函数值域(最值)的方法
13、:(1)配方法二次函数(二次函数在给出区间上的最值有两类:一是求闭区间 上的最值;二是求区间定(动) ,对称轴动(定)的最值问题。求二次函数的最值问题,勿忘数形结合,注意“两看”:一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系) ,如(1)求函数 的值域(答:4,8) ;(2)当 时,函数 在 时取得最大值,则 的取值范围是_(答: ) ;(3)已知 的图象过点(2,1) ,则 的值域为_(答:2, 5)(2)换元法通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数,其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型,如(1) 的值域为_(答: ) ;(2) 的值域为_(答: )(令 , 。运用
14、换元法时,要特别要注意新元 的范围) ;(3) 的值域为_(答: ) ;(4) 的值域为_(答: ) ;(3)函数有界性法直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定所求函数的值域,最常用的就是三角函数的有界性,如求函数 , , 的值域(答: 、 (0,1) 、 ) ;(4)单调性法利用一次函数,反比例函数,指数函数,对数函数等函数的单调性,如求 , , 的值域为_(答: 、 、 ) ;(5)数形结合法函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离、直线斜率、等等,如(1)已知点 在圆 上,求 及 的取值范围(答: 、 ) ;(2)求函数 的值域(答: ) ;(3)求函数 及 的
15、值域(答: 、 )注意:求两点距离之和时,要将函数式变形,使两定点在 轴的两侧,而求两点距离之差时,则要使两定点在 轴的同侧。(6)判别式法对分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但这类题型有时也可以用其它方法进行求解,不必拘泥在判别式法上,也可先通过部分分式后,再利用均值不等式: 型,可直接用不等式性质,如求 的值域(答: ) 型,先化简,再用均值不等式,如(1)求 的值域(答: ) ;(2)求函数 的值域(答: ) 型,通常用判别式法;如已知函数 的定义域为 R,值域为0,2,求常数 的值(答: ) 型,可用判别式法或均值不等式法,如求 的值域(答: )(7)不等式法利用基本不等式 求函数的最值,其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。如设 成等差数列, 成等比数列,则 的取值范围是_.(答: ) 。(8)导数法一般适用于高次多项式函数,如求函数 , 的最小值。 (答:48)提醒:(1)求函数的定义域、值域时,你按要求写成集合形式了吗?(2)函数的最值