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1、“三角变换与解三角形三角变换与解三角形”的技巧性应用的技巧性应用湖南津市一中湖南津市一中 周毅周毅【编者按】三角变换与解三角形是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试的热点跟增长点，无论是期中、期末还是会考、高考，都是高中数学的必考内容之一。因此，马博士教育网数学频道编辑部特意针对这两个部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们，让同学们有更多、更好、更快的方法解决数学问题。好了，下面就请同学们跟我们一起来探讨下集合跟常用逻辑用语的经典解题技巧。首先，解答三角变换与解三角形这两个方面的问题时，先要搞清楚以下几个方面的基本概首先，解答三角变换与解三角形这两个方面
2、的问题时，先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题，同学们应该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题：念性问题，同学们应该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题：1 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式。2 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式。3 能利用两角差的余弦公式导出两角各的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。4 能运用和与差、二倍角的三角函数公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆） 。5 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。6
3、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些测量和几何计算有关的实际问题。好了，搞清楚了三角变换与解三角形的上述内容之后，下面我们就看下针对这两个内容的好了，搞清楚了三角变换与解三角形的上述内容之后，下面我们就看下针对这两个内容的具体的解题技巧。具体的解题技巧。一、三角变换及求值一、三角变换及求值考情聚焦：考情聚焦：1 1利用两角和差的三角函数公式进行三角变换、求值是高考必考内容。2 2该类问题出题背景选择面广，解答题中易出现与新知识的交汇题。 3 3该类题目在选择、填空、解答题中都有可能出现，属中、低档题。解题技巧：解题技巧： 1 1在涉及两角和与差的三角函数公式的应用时，常用到如下变形（
4、1）21 sin(sincos)22；（2）角的变换()； （3）22sincossin()abab。2 2利用两角和与差的三角函数公式可解决求值求角问题，常见有以下三种类型：（1） “给角求值” ，即在不查表的前提下，通过三角恒等变换求三角函数式的值；（2） “给值求值” ，即给出一些三角函数值，求与之有关的其他三角函数式的值；（3） “给值求角” ，即给出三角函数值，求符合条件的角。例例 1 1：已知向量)2, 1 (),cos,(sinnAAmrr , ,且0nmrr()求 tanA 的值； ()求函数( )cos2tansin (f xxAx xR R)的值域 解析解析：（）由题意得
5、mn=sinA-2cosA=0,因为 cosA0,所以 tanA=2. （）由（）知 tanA=2 得2213( )cos22sin1 2sin2sin2(sin).22f xxxxxx 因为 xR,R,所以sin1,1x .当1sin2x 时，f(x)有最大值3 2， 当 sinx=-1 时，f(x)有最小值-3 所以所求函数 f(x)的值域是33,.2二、正、余弦定理的应用二、正、余弦定理的应用考情聚焦：考情聚焦：1 1利用正、余弦定理解决涉及三角形的问题，在近 3 年新课标高考中都有出现，预计将会成为今后高考的一个热点。2 2该类问题多数是以三角形或其他平面图形为背景，考查正、余弦定理及
6、三角函数的化简与证明。3 3多以解答题的形式出现，有时也在选择、填空题中出现。解题技巧：解题技巧：1 1在三角形中考查三角函数式变换，是近几年高考的热点，它是在新的载体上进行的三角变换，因此要时刻注意它重要性：一是作为三角形问题，它必然要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解决问题的思路；其二，它毕竟是三角形变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一” ，即“统一角、统一函数、统一结构” ，是使问题获得解决的突破口。2 2在解三角形时，三角形内角的正弦值一定为正，但该角不一定是锐角，也可能为钝角（或直角）
7、，这往往造成有两解，应注意分类讨论，但三角形内角的余弦为正，该角一定为锐角，且有惟一解，因此，在解三角形中，若有求角问题，应尽量避免求正弦值。例例 2 2：（20102010辽宁高考理科辽宁高考理科1717）在ABC 中，a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边，且2 sin(2)sin(2)sin.aAacBcbC（）求 A 的大小；（）求sinsinBC的最大值.【命题立意】考查了正弦定理，余弦定理，考查了三角函数的恒等变换，三角函数的最值。【思路点拨】 （I）根据正统定理将已知条件中角的正弦化成边，得到边的关系，再由余弦定理求角（II）由（I）知角 C60-B 代入 sinB+
8、sinC 中，看作关于角 B 的函数，进而求出最值【规范解答】 （）由已 知，根据正弦定理得22(2)(2)abc bcb c即 222abcbc 由余弦定理得 2222cosabcbcA故 1cos2A ，A=120 （）由（）得： sinsinsinsin(60)BCBB31cossin22 sin(60)BBB故当 B30时，sinB+sinC 取得最大值 1。【方法技巧】(1)利用正弦定理，实现角的正弦化为边时只能是用 a 替换 sinA，用 b 替换 sinB,用 c替换 sinC。sinA,sinB,sinC 的次数要相等，各项要同时替换，反之，用角的正弦替换边时也要这样，不能只替
9、换一部分。(2)以三角形为背景的题目，要注意三角形的内角和定理的使用。象本例中 B+C60 三、三角函数的实际应用三、三角函数的实际应用考情聚焦：考情聚焦：1 1有关解三角形及实际应用在高考中有时出现。2 2该类问题以实际问题为背景，其建模后为解三角形问题，与三角函数及三角变换等知识交汇。3 3多以解答题的形式出现，题目不会太难。例例 3 3：（20102010江苏高考江苏高考7 7）某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位：m） ，如示意图，垂直放置的标杆 BC 的高度 h=4m，仰角ABE=，ADE=。(1)该小组已测得一组、的值，算出了 tan=1.24，tan=1.20，请据此算出
10、 H 的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m） ，使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为 125m，试问 d 为多少时，-最大？【命题立意】本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。【思路点拨】 （1）分别利用, ,H 表示 AB、AD、BD，然后利用 ADAB=DB 求解；（2）利用基本不等式求解.【规范解答】 （1）tantanHHADAD，同理： tanHAB， tanhBD。ADAB=DB，故得 tantantanHHh，解得：tan4 1.24124tantan1.24 1.20hH 。因此，算出的电视塔的高度
11、 H 是 124m。（2）由题设知dAB，得tan,tanHHhHh dADDBd，2tantantan()()1tantan()1HHh hdhdd HHhH HhdH Hhdddd()2()H HhdH Hhd， （当且仅当()125 12155 5dH Hh时，取等号）故当55 5d 时，tan()最大。因为02，则02，由tanyx的单调性可知：当55 5d 时，-最大。故所求的d是55 5m。例例 4 4 （20102010福建高考文科福建高考文科2 2）计算201 2sin 22.5的结果等于（ ）A.1 2B.2 2C.3 3D.3 2【命题立意】本题考查利用余弦的倍角公式的逆用
12、，即降幂公式，并进行三角的化简求值。【思路点拨】 直接套用倍角公式的逆用公式，即降幂公式即可。【规范解答】选 B，20021 2sin22.5cos 452。 【方法技巧】对于三角公式的学习，要注意灵活掌握其变形公式，才能进行灵活的恒等变换。如倍角公式：sin2x2sinx cosx，2222cos2x1 2sin x2cos x1cos xsin x 的逆用公式为“降幂公式” ，即为1sinx cosxsin2x2，221 cos2x1 cos2xsin x,cos x22，在三角函数的恒等变形中，降幂公式的起着重要的作用。例例 5 5 （20102010 海南宁夏高考海南宁夏高考理科理科
13、T16T16）在ABC中，D 为边 BC 上一点，BD=1 2DC,ADB=120，AD=2，若ADC的面积为33，则BAC= .【命题立意】本题主要考查了余弦定理及其推论的综合应用.【思路点拨】利用三角形中的余弦定理极其推论。列出边与角满足的关系式求解.【规范解答】设BDx，则2CDx，由ADC的面积为33可知1sin60332CD ADogg，可得31x ，由余弦定理可知2222cosABADBDAD BDADBg6，所以6AB 2222cosACADDCAD DCADCg24 12 3，所以6( 31)AC 由222 cos2ABACBCBACAB ACg，及6,6( 31),3( 31
14、)ABACBC可求得60BACo【答案】60【方法技巧】熟练三角形中隐含的角的关系，利用余弦定理或正弦定理找边与角的关系，列出等式求解.例例 6 6 （20102010天津高考理科天津高考理科7 7）在ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c，若223abbc，sin2 3sinCB，则 A= ( )（A）030 （B）060 （C）0120 （D）0150【命题立意】考查三角形的有关性质、正弦定理、余弦定理以及分析问题、解决问题的能力。【思路点拨】根据正、余弦定理将边角互化。【规范解答】选 A，根据正弦定理及sin2 3sinCB得：2 3cb2222222()33cos222
15、2bcacaccbcAbcbcbcQ，0000180 ,30AAQ。【方法技巧】根据所给边角关系，选择使用正弦定理或余弦定理，将三角形的边转化为角。例例 7 7 （20102010天津高考理科天津高考理科7 7）已知函数2( )2 3sin cos2cos1()f xxxxxR（）求函数( )f x的最小正周期及在区间0,2 上的最大值和最小值；（）若006(),54 2f xx ，求0cos2x的值。【命题立意】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦公式、函数sin()yAx的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力。 【思路点拨】化成一个角的三角函数的形式；变角002266xx，【规范
