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1、求空间距离的问题求空间距离的问题高考要求高考要求 空间中距离的求法是历年高考考查的重点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为 基础，求其他几种距离一般化归为这三种距离 重难点归纳重难点归纳 1.空间中的距离主要指以下七种 (1)两点之间的距离 (2)点到直线的距离 (3)点到平面的距离 (4)两条平行线间的距离 (5)两条异面直线间的距离 (6)平面的平行直线与平面之间的距离 (7)两个平行平面之间的距离 七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离 七种距离之 间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平 行线面间的距离或平行平面间的距离都
2、可转化成点到平面的距离 在七种距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点 求点到平面的距离 (1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长 (2)转移法，转化 成求另一点到该平面的距离 (3)体积法 (3)向量法 求异面直线的距离 (1)定义法，即求公垂线段的长 (2)转化成求直线与平面的距离 (3)函数极值法，依据是两条异面直线的距离是分别在两条异面直线上两点间距离中最小的 2.用向量法求距离的公式：异面直线之间的距离：, a b，其中。|AB n dn uuu rrr,na nb Aa Bbrr直线与平面之间的距离：a，其中。是平面的法向量。|AB n dn uuu rrr
3、,Aa Bnr两平行平面之间的距离：, ，其中。是平面的法向量。|AB n dn uuu rrr,ABnr点 A 到平面的距离：，其中，是平面的法向量。|AB n dn uuu rrrBnr点 A 到直线的距离：a，其中，是直线的方向向量。22|AB adABa uuu rruuu r rBaara两平行直线之间的距离：, a b，其中，是的方向向量。22|AB adABa uuu rruuu r r,Aa Bbara典型题例示范讲解典型题例示范讲解 例例 1 把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起成直二面角，点 E、F 分别是 AD、BC 的中点， 点 O 是原正方形的中心，求 (1)EF
4、 的长； (2)折起后EOF 的大小 技巧与方法 建系方式有多种，其中以 O 点为原点，以、的方向分别OBuuu rOCuuu rODuuu r为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向最为简单 解 如图，以 O 点为原点建立空间直角坐标系 Oxyz, 设正方形 ABCD 边长为 a,则 A(0，a,0),B(a,0,0),C(0, a,0),22 22 22D(0,0, a),E(0,a, a),F(a, a,0)22 42 42 4222222222233(1)|(0)()(0),444442 2222(2)(0,),(,0)4444 22220()()044448|,|,cos,22|EFaaa
5、aaEFaOEaa OFaaaOE OFaaaaaaOE OFOEOFOE OFOE uuu ruuu ruuu ruuu r uuu ruuu r uuu ruuu ruuu ruuu r uuu ruuu r1 2|OF uuu rEOF=120 例例 2 正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，求异面直线 A1C1与 AB1间的距离 技巧与方法 求异面直线的距离，有时较难作 出它们的公垂线，故通常采用化归思想，转化为求 线面距、面面距、或由最值法求得 解法一 如图，在正方体 AC1中，A1C1AC,A1C1平面 AB1C， A1C1与平面 AB1C 间的距离等于异面直线 A1C1与
6、 AB1间的距离 连结 B1D1、BD，设B1D1A1C1=O1,BDAC=OGD1C1B1A1o1oD C BAACBD，ACDD1，AC平面 BB1D1D 平面 AB1C平面 BB1D1D， 连结 B1O，则平面 AB1C平面 BB1D1D=B1O 作 O1GB1O 于 G，则 O1G平面 AB1CO1G 为直线 A1C1与平面 AB1C 间的距离，即为异面直线 A1C1与 AB1间的距离 在 RtOO1B1中，O1B1=，OO1=1，OB1= 222 112 1BOOO26O1G=，即异面直线 A1C1与 AB1间距离为 331111 OBBOOO 33解法二 如图，在 A1C 上任取一
7、点 M，作 MNAB1于 N，作 MRA1B1于 R，连结 RN， 平面 A1B1C1D1平面 A1ABB1，MR平面 A1ABB1，MRAB1 AB1RN，设 A1R=x,则 RB1=1x C1A1B1=AB1A1=45，MR=x,RN=NB1=)1 (22x31)31(23)1 (2122222xxxRNMRMNQ(0x1)当 x=时，MN 有最小值即异面直线 A1C1与 AB1距离为 31 33 33解法三（向量法）如图建立坐标系，则111(1,0,0),(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1)AABC111(0,1,1),( 1,1,0)ABACuuuruuuu r设 MN 是直
8、线 A1C1与 AB1的公垂线， 且 1111(0, , ),(, ,0)ANABAMAC uuu ruuuruuuu ruuuu r则 11(, ,0)(0,0, 1)(0, , )MNMAA AAN uuu u ruuuu ruuu ruuu r-( ,1), 从而有 11100MN ACMN ABuuu u r uuuu rguuu u r uuurg2 203 211 3 RNMD1C1B1A1D C BANMD1C1B1A1D C BAxzy 1 1 13( , )|3 3 33MNMNuuu u ruuu u r例例 3 3 如图，已知 ABCD 是矩形，AB=a,AD=b,PA平
9、面 ABCD，PA=2c,Q 是 PA 的中点 求 (1)Q 到 BD 的距离； (2)P 到平面 BQD 的距离 解 (1)在矩形 ABCD 中，作 AEBD，E 为垂足 连结 QE，QA平面 ABCD，由三垂线定理得 QEBE QE 的长为 Q 到 BD 的距离 在矩形 ABCD 中，AB=a,AD=b, AE= 22baab在 RtQAE 中，QA=PA=c21QE=2222 2 babacQ 到 BD 距离为 2222 2 babac(2)解法一 平面 BQD 经过线段 PA 的中点，P 到平面 BQD 的距离等于 A 到平面 BQD 的距 离 在AQE 中，作 AHQE，H 为垂足B
10、DAE,BDQE,BD平面 AQE BDAH AH平面 BQE，即 AH 为 A 到平面 BQD 的距 离 在 RtAQE 中，AQ=c,AE= 22baabAH= 22222)(bacbaabcP 到平面 BD 的距离为 22222)(bacbaabc解法二 设点 A 到平面 QBD 的距离为 h，由VABQD=VQABD,得SBQDh=SABDAQ31 31h= 22222)(bacbaabc SAQSBQDABD LQPDCBAH EQPDCBA学生巩固练习学生巩固练习 1 正方形 ABCD 边长为 2，E、F 分别是 AB 和 CD 的中 点，将正方形沿 EF 折成直二面角(如图)，M
11、 为矩形 AEFD 内 一点，如果MBE=MBC，MB 和平面 BCF 所成角的正切值为，那么点 M 到直线 EF 的距离为( )21A B 1 C D 2 23 21 22 三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1=1，AB=4，BC=3，ABC=90,设平面 A1BC1与平 面 ABC 的交线为 l，则 A1C1与 l 的距离为( )A B C 2.6 D 2.410113 如左图，空间四点 A、B、C、D 中，每两点所连线段的长都等于 a，动点 P 在线段 AB 上，动点 Q 在线段 CD 上，则 P 与 Q 的最短距离 为_ 4 如右上图，ABCD 与 ABEF 均是正方形，如果二面角 E
12、ABC 的度数为 30，那么 EF 与平面 ABCD 的距离为_ 5 在长方体 ABCDA1B1C1D1中， AB=4，BC=3，CC1=2，如图 (1)求证 平面 A1BC1平面 ACD1； (2)求(1)中两个平行平面间的距离； (3)求点 B1到平面 A1BC1的距离 6 已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1，点 E 在棱 D1D 上，截面EACD1B 且面 EAC 与底面 ABCD 所成的角为 45,AB=a,求 (1)截面 EAC 的面积； (2)异面直线 A1B1与 AC 之间的距离； (3)三棱锥 B1EAC 的体积 7 如图，已知三棱柱 A1B1C1ABC 的底面是边长为 2
13、 的正三角形， 侧棱 A1A 与 AB、AC 均成 45角，且 A1EB1B 于 E，A1FCC1于 F (1)求点 A 到平面 B1BCC1的距离； (2)当 AA1多长时，点 A1到平面 ABC 与平面 B1BCC1的距离相等 8 如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，ABC=,AB= AD=a,2 31ADC=arccos,PA面 ABCD 且 PA=a 552(1)求异面直线 AD 与 PC 间的距离； (2)在线段 AD 上是否存在一点 F，使点 A 到平面 PCF 的距离为 36参考答案 1 解析 过点 M 作 MMEF,则 MM平面 BCFMBE=MBC BM为EBC 为角平分线
14、，MABCDCBFEABCD QPABCDGFED1C1B1A1DCBAED1C1B1A1DCBAEC1 B1FCBAABCDPEBM=45,BM=,从而 MN=222答案 A 2 解析 交线 l 过 B 与 AC 平行，作 CDl 于 D，连 C1D，则 C1D 为 A1C1与 l 的距离，而 CD 等于 AC 上的高，即 CD=,RtC1CD 中易求得 C1D=2.6512 513答案 C 3 解析 以 A、B、C、D 为顶点的四边形为空间四边形，且为正四面体，取 P、Q 分别为 AB、CD 的中点，因为 AQ=BQ=a,PQAB,22同理可得 PQCD，故线段 PQ 的长为 P、Q 两点间的最短距离，在 RtAPQ 中，PQ=a22)2()23(2222aaAPAQ答案 a224 解析 显然FAD 是二面角 EABC 的平面角，FAD=30,过 F 作 FG平面 ABCD 于 G，则 G 必在 AD 上，由 EF平面 ABCD FG 为 EF 与平面 ABCD 的距离，即 FG= 2a答案 2a5 (1)证明 由于 BC1AD1，则 BC1平面 ACD1 同理，A1B平面 ACD1，则平面 A1BC1平面 ACD1 (2)解 设两平行平面 A1BC1与 ACD1间的距离为 d，则 d 等于 D1到平面 A1BC1的距离 易求 A1
