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1、Y9 0 2 2 1 5单位代码! 塑3 学号G 2 0 0 3 2 8 4西弗虫謦高校教师硕士学位论文拓扑空间中的K K M 定理与不动点定理论文作者：王彤指导教师：邓磊教授学科专业：课程与教学论( 数学)研究方向：泛函分析及应用提交论文日期：2 0 0 6 年4 月8 日论文答辩日期：2 0 0 6 年5 月2 5 曰学位授予单位：西南大学中国重庆2 0 0 6 年4 月拓扑空间中的K K M 定理与不动点定理本文主要对非线性泛函分析中的一些热点问题在一些广义凸空间( M c 一空间，G 一凸空间，F c 一空间) 中作了进一步的分析和研究，推广了近期文献中一些已知结果( 1 ) 用较弱的
2、强制条件，在非紧的M C 空间中建立了不动点定理，将一些已知的不动点定理推广到M C 一空间；( 2 ) 在G - 凸空间中证明了一个广义K K M 定理。并给出了F 抽K y 极小极大定理在G - 凸空间的推广；( 3 ) 结合最佳容许映象口o x ) 以及L 1 优化映象，在F c 一空间中引入了F C B - 优化映象，并进一步给出其极大元的存在定理关键词tM D 空间；聚合不动点定理；G 一凸空间；恤G 一凸泛函；极小极大定理；F C - 空间；F c B 一优化映象；极大元K K MT h e o r e m sa n dF i ) ( e dP i ) ( e dP o i n t
3、T h e o r e m si nT o p o l o g i c 甜S p a c e sT h bp a p e rm a i n l yf u n h e r8 t u d i e ss e v e r a lo c l l 9p r o b l e m 8o fn o n l i e a rf u n c t i o n a la I l a l y s i si ng e n e r -a l i z e dc o n v e ) cs p a c 鹊，a dg e n e r a l i z e 8s o m ek n o w nr e s u l t si nr e c e
4、n tl i t e r a t u r e ( 1 ) s o m ef e dp o i n tt h e o r e m sw i t hw 朗k e rc o e r c i v ec o n d i t i o n si nM c - s p a 嘲a r ep r o v e d T h e s et h e o r e m si n c I u d e 跚ek n o w n 矗x e dp o i n tt h e o r e m s ( 2 ) A 菪啦e r a u z e dK K Mt h e o r 咖i sp r o v e d ，a dK yF 抽m i n i
5、m a xt h e o r e mi 8g e l l e r a l i z e di nG - c o n V e xs p a c e 8 ( 3 ) B yt 1 8 i n gt h eb e t t e ra d m j 髂i b l ec l a 船口( y Ix ) a n d 工r m a j o r i z e dm 印p i n 铲，F C b m a j o r i z e dm a p p i n 牮舢e 眦m d u c e di nF ( s p a c e sa n d v e r a le ) 出t e n c et h e o r e 瑚0 fm a 岫a
6、 le l e I n e n t sf o rF C 日一m a j o r i z e dm a p p i 铲a r ep r o v e d K e yw o r d s ：M o s p a c e s ；c o l l e c t i v e l y 矗x e dp o i n tt h e o r e m s ；G - o o T l v e xs p a c 髓；皿- G c o n 眦f u n c t i o n ；m i n i m a xt h e o r e m ；F G s p a c 船；F ( b m a j o r i z e dm a p p i n g s
7、 ；m a 撕m “e x e m e n t sI I独创性声明Y9 0 2 2 l S学位论文题目：堑圭L 窒闷主鲍! 幽庭理生丕边。量塞堡本人声明所呈交的学位沦文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西南大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。学位论文作者：签字日期：年月日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论
8、文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：耐不保密，口保密期限至年月止) 。学位论文作者签事：曼吟导师签名：孓? 菇， 签字日期：撕6 年匕月cz ，日签字日期：加巾占年弘月r 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位：重迭塞通堂瞳电话：! ! ! ! ! ! Z 2通讯地址：重鏖塞逼堂瞳基型叠邮编：! Q Q Q ! !第一章前言及预备知识1 1 前言二十世纪三十年代，波兰数学家K n 硇t e r ，K u r a
9、t o w s l 【i 和M a z u r l 【i e w i c z 揭示了关于单形的一个深刻的性质，开创了对K K M 理论的研究K K M 理论在处理许多非线性问题中起着极为重要的作用，并逐渐形成一种独具特色的K K M 技巧它不仅在变分不等式理论、不动点理论，而且在非线性分析的诸多领域，特别是对控制理论、数理经济、对策理论、优化理论、非线性规划等理论和应用学科都有广泛的应用自从H o r 、，a t h 将拓扑线性空间中集合的凸包用诸如拟凸和可缩等拓扑性质加以描述之后，许多学者提出了以拓扑性质描述的抽象凸空间，比如G 凸空间，厶凸空间，M C 一空间，F D 空间等等在抽象的凸空
10、间中研究K K M 定理，极大极小不等式，不动点定理以及极大元定理等是必要的，这将促进K K M 技巧的更广泛应用1 9 9 1 年，胁a f d a r 首先在拓扑空间的非空紧凸子集的乘积空间上建立了聚合不动点定理其后，许多学者对其作了不同形式的推广本文第二章将在非紧M C - 空间的乘积空间中，利用连续单位分解技巧和T y c l l o n 咀不动点定理，去证明一些较弱强制条件下的聚合不动点定理本文第三章首先将线性空间中凸子集上凸( 凹) 泛函的概念在G 一凸空间中推广，给出了霍一G 凸( 凹) 泛函的定义，然后利用本章中较弱条件下的广义K K M 定理，证明关于皿G 凸( 凹) 泛函的
11、极小极大定理2 0 0 2 年P a r k 在G - 凸空间中引入最佳容许映象类B ( K x ) ，它包含了P a r k 和K i I n 的础( F x )以及C h 柚g 和Y e n 的K K M ( Kx ) 作为真子类2 0 0 3 年丁协平在G - 凸空间中引入G B 映象( G B -优化映象) ，推广了D e g I l i r e ，和Y u 柚的L s - 映象( L I - 优化映象) 2 0 0 5 年丁协平引入有限连续拓扑空间( F C 空间) 的概念，这一无任何凸结构的拓扑空间类包含了G 一凸空间类作为其真子类本文第四章将在F D 空间中给出F C I B 映
12、象( F C k 一优化映象) 的概念，并讨论其极大元定理1 2 预备知识本文中所有拓扑空间均被假设为H a u s d o r f f 空间设x 为非空集，分别用2 x 和厂( x ) 表示x 的所有子集簇和所有非空有限子集簇设x 为非空集，对每一A ，) ，用I A I 表示A 的基数n 表示顶点为e 0 ，e l ，e n 的n - 维标准单形记R = R U + ) c l ( x ) 表示x 的闭包c l x ( A ) 表示 关于x 的闭包i n t X 表示x 的内部i n t x ( A ) 表示A 关于x 的内部2第二章M G 空间内的不动点定理2 1 引言及预备知识1 9
13、9 1 年，嘶a f d ”【1 】首先在拓扑空间的非空紧凸子集的乘积空间上建立了如下聚合不动点定理定理设 ：a n 是拓扑向量空间E ；的一簇非空的紧凸子集，其中I 是一指标集设x = n 五对每一a ，设集值映象死：x + 2 。满足 D ( 1 ) 对每一。x ，死( z ) 是的非空凸子集；( 2 ) 对每一z 。，E 。1 ( z 。) = x ：z 。咒( ) ) 包含x 的一相对开子集0 ：。，使得Uo 。= x ( 仉。不必非空) 口五。 则存在点z x ，使得$ T ( z ) = 兀死( z ) a J到目前为止，上述聚合不动点定理已被许多学者所推广，如1 9 9 2 年T
14、 a r a f d a r 【2 l 将定理推广到紧日_ 空间，1 9 9 9 年P ”k ( 3 J 将定理推广到紧G 凸空间，2 0 0 0 年S i n g h 等减弱对紧性的要求而推广定理，2 0 0 2 年丁协平| 5 】等将定理推广到了非紧。凸空间，等等1 9 9 4 年L 1 m f 6 】第一次提出了下面的一种抽象凸结构，他称之为M D 结构本章的目的是在非紧的M G 空间上用较弱的强制条件建立聚合不动点定理定义2 1 1设x 是拓扑空间，称x 为M o 空间，如果对x 中的任一非空有限集 = 咖，口l ，d 。 ，存在日= b ，h ，k ) x 及一映象簇掣：x 【o ，
15、l 】_ + x ，i = o ，1 ，n ，满足( 1 ) 对所有x ，掣( 。，o ) = z 且掣( z ，1 ) = “；( 2 ) G ：【o ，1 P _ + x ：G ，1 ，f 。一1 ) = 甜( ( f 尝l ( 砑( o 。，1 ) ，t ，1 ) ，如) 对每一，t 1 ，一，t 。1 ) 【0 1 】8 连续注2 1 1如果掣( z ，t ) 关于t 连续，那么掣( 孔【0 ，1 】) 是连接。和以的一条连续路径记P 竹一l = 雅1 ( 6 。，t ，- ) ，则P n 一是连接6 。与6 。一的路径上一点；R 一2 = j 尝2 ( R 一- ，。一2 ) 是连接
16、j k l 与6 。一2 的路径上的一点等等因此G ( 【0 ，1 l “) 可看作所有这些路径的全体设( x ，n ) 是一个日空间，则对任一A = 口0 ，口1 ，n 。 ，) ，存在z j x 及连续映象耳 ：r 【0 ，1 】- + x ，使得对任意r 有日 ( 2 o ) = z ，H ( 。，1 ) = z j 任取“r ，并令3掣：x 【o ，1 】_ + xt 咐，= 矬H 执嚣蛩则掣( $ ，o ) = H A ( 。，o ) = ，掣( 毛1 ) = 旦A ( 6 ，o ) = 6 ，且由粘结原理目4 ( ) 关于t 连续从而G ( t o ，t 1 ，一，h 一1 ) = 毋
