初等数学常用公式

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1、初等数学常用公式初等数学常用公式一、乘法公式与二项式定理（1）222222()2;()2abaabbabaabb（2）3322333223()33;()33abaa babbabaa babb（3）01122211()nnnnkn kknnnn nnnnnnabC aC abC abC abCabC bL（4）；abccbabcacabcbacba3)(333222（5）2222222abcabcabacbc二、因式分解（1）22()()abab ab（2）；33223322;abab aabbabab aabb（3）121.nnnnnababaabb三、分式裂项（1） （2）111 (1)1

2、x xxx1111()()()xa xbba xaxb 四、指数运算（1） （2） （3）1(0)n naaa01(1)aa(0)m nmnaaa（4） （5） （6）mnm na aamnm naaa()mnmnaa（7） （8） （9）( )(0)n n nbbaaa()nnnaba b2aa五、对数运算（1） （2） （3）logNaaNloglognbbana1loglognbbaan（4） （5） （6）log1aa 1log0a ()logloglogMNMNaaa（7） （8） （9）logloglogM MNNaaa1loglogb aablglog10 ,lnlogaaaae

3、六、排列组合（1） （约定）!(1)(1)()!m nnPn nnmnmL0! 1（2） （3）! !()!m mn nPnCmm nmmn m nnCC（4） （5）1 1mmm nnnCCC 0122nn nnnnCCCCL第一节第一节 绝对值绝对值 比和比例比和比例 平均值平均值一条件充分性判断一条件充分性判断 两个命题 A B,.:ABABABABMBA若称为的充分条件若则是的必要不充分条件中此类题的特点解题说明： 本大题要求判断所给出的条件能否充分支持题干中陈述的结论。阅读条件（1）和条件（2）后选 择： （A） 条件（1）充分，但条件（2）不充分 （B） 条件（2）充分，但条件（1

4、）不充分 （C） 条件（1）和（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分 （D） 条件（1）充分，条件（2）也充分 （E） 条件（1）和（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分2:2150 (1)03(2)4(5)(3)035,(1),(2).xx xxxxx 例1 不等式成立所以条件充分充分例 2、成立11a（1） （2）1a 1a 注意：注意：很多同学在解这类题型的时候，习惯于受传统解题思维的影响，往往从题干的结论出 发，这样得出来的条件往往是必要条件，而不是充分的，如果刚巧得出来的必要条件就是充要条 件的话，那么可能会得出正确答案，如果不是充要条件的话，答

5、案就可能不正确了。二、绝对值二、绝对值 1、定义实数的绝对值记作。aaa,0 0,0 ,0aa a aa 当时 当时 当时2、几何意义一个实数在数轴上所对应的点，到原点的距离就是这个数的绝对值。4 84 76aa 0 x 总条件 结论 论 （1） （2）题干条件3、性质（1）非负性 0a （2）等价性 2aa（3）对称性 aa 4、常用的运算法则（1）aba;b(0);aabbb（2）(0);ab bbab (0);ab babab 或（3）abab当且仅当时，成立，当且仅当时，成立。0ab abab0ab abab（4），当且仅当 时，等式成立。abab0,abab（5）22()aa5、非负

6、数（1）0a （2）20a （3）若有意义，则且a0,a 0a 非负数有下面两个易见的性质，在解题时常常要用到： （1）有限个非负数之和仍然是非负数； （2）如果有限个非负数之和等于零，则每一个非负数都必须等于零，即若其中则0,abcd L0,0,0,abdL0abcdL例 1成立2ab ab （1） （2）0a 0b 例 2已知求的值。21(2)0,xyxylogxy222220)30(40)0,0(20)30(40)0203040 20304030abcabcabcabc abc Q例3. 已知（求：的值解： 已知式中各项均为非负数且它们的和为例 4 实数满足条件则（ ）, ,x y z2

7、214521,2xxyyzy (410 )zxy（A） （B） （C） （D） （E）162126126162166解：由已知条件有221(2 )(21)02xyyyz即221(2 )(1)02xyyz所以，从而，答案为 C20210111022xyxyyzz (410 )zxy126例 5 关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是（ ）x32xxaa（A） （B） （C） （D） （E）1a 1a 1a 1a 1a 解：，即使时，原不等式仍然无解，32(3)(2)1xxxx1a 故时解集为，答案为 B1a 例 6 等式成立242xx（1） （2）2x 4x 解：用baba24(2)(4)2(

8、2) (4)0“24xxxxxxx时成立解得显然条件（1） 、 （2）单独都不充分，联合起来充分，故选 C三、比和比例三、比和比例1、比的意义：两个数相除，又叫做这两个数的比，把和的比（记为 a:b 或ab)0b的比值比的值叫baba ba,2、 比的性质： tbatbammbma bambmam ba)0()0(3、 百分比：把比值表示为分母 100 分数，这个比叫百分比（百分率）比如：1：2=50%4、 比例：两个比相等的式子叫做比例。 记为 a.d 为比例外项，c,d 为比例):(dcbadc ba内项。若 b=c 则有此时 b 叫做比例中项2bad5、 比例的性质:）然成立内外项交换位

9、置等式依对于()2() 1 (db ca ac bdcdaddc ba（3） （4）（分比定理）合比定理(ddc bba ddc bba（5）)(合分比定理dcdc baba 6、 正比例和反比例： 正比例：如果变量 X 和 Y ，适合下面的关系，Y=KX（K0 是比例系数） ，则 X 与 Y 成正 比例。反比例：如果变量 X 和 Y，适合下面的关系，Y，是比例系数） ，则 X 与 Y 成0(KXK反比例。例 1：且 x+y+z=74 求 y 的值。6:5:41:1:1zyx设111111456456 1111174120120244565tttxyzxyztttytttt解：设 则 则故例

10、2： 一批产品中，一等品与二等品的比为 4：1，又知二等到品与三等品的比为 5：3，一等品 与二等品为合格品，求这一批产品的合格率。 解：一等品：二等品=4:1=20:5二等品：三等品=5:3一等品：二等品：三等品=20：5：3合格率为%892825 3520520例 3：已知的值求zyxzyxzyx 432解：设=t x=2t y=3t z=4t432zyx99 432432 tt tttttt例 4：已知 y=成正比，与 x 成反比例，当 x=1 或 x=-2，y 的值为 15，求当xyyy与且 121y2X=2 时，Y 的值是多少？解： 22 112112 122 1211515(1)

11、430(2)1522kkyk xyyk xxx kkkk kkkk （2）- （1）得：11234515,30kkk 1523015yxxxy时当分数和百分数应用题分数和百分数应用题 1、某工程队原计划用 6 天时间挖水渠 800 米，结果前两天就完成了计划的 40%，按照这个进度 施工，则可以提前（ ）天完工。 A5 B4 C3 D2 E1 2、某商品单价上调 10%后，再降为原价，则应下降的百分比为（ ） A9% B11% C13% D15% E17% 3、某车间生产一批机器，原计划每天生产 32 台，10 天可以完成任务，实际提前 2 天完成了任务， 则平均每天增产了（ ） A20% B

12、25% C30% D35% E40% 解：从题中可知，这批机器的总量为 320 台，实际只用了 8 天时间，所以每天平均生产了 40 台，比原计划每天多生产了 8 台，故增产了即 25%，答案为 B80.25,324、甲、乙两个储煤仓库的库存煤量之比为10: 7. 要使这两仓库的库存煤量相等, 甲仓库需向乙仓库搬入的煤量占甲仓库库存煤量的A. 10% B. 15% C . 20% D . 25% E. 30%四、平均值四、平均值 1算术平均值：123 12311n nni innxnxxxxxxxxx LLL L个数的算术平均值为记为2.几何平均值：1231231n nnnni inGxxxx

13、xxxxxL LLL个正数的几何平均值为记为简单性质：如果 N 个数据彼此都相等 则axxxxnLL321aGx可以证明：3 321321 2121 3;2xxxxxxxxxx以上各式中为xxx321R例 1、某笔厂生产三种不同规格的圆珠笔一批，其中有 6000 支单价为 3 元，3000 支单价为 5 元， 1000 支单价为 10 元，求这批圆笔平均价格。 6000 33000 510001063135104.3600030001000101010 6311101010 解：加权平均数注意例 2、某班同学外语平均成绩为分，男生人数比女生人数多，而女生平均分比男生多 ，求女生的平均成绩。解：设女生人数为，则男生人数为x1.8x女生平均分为,男生平均分为1.2yy则有： 1.2xy+1.8xy=75(1.8x+x) 3xy=210x 70y故女生均分为 1.270=84 分 例 3、车间共有 40 人，某次技术操作考核的平均成绩为 80 分，其中男工平均成绩为 83 分，女工 平均成绩为 78 分，该车间有女工（ ）人。 A16 B18