《小学数学奥数基础教程(五年级) 30讲全（49）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《小学数学奥数基础教程(五年级) 30讲全（49）（49页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、小学奥数基础教程（五年级）- 1 -小学奥数基础教程小学奥数基础教程( (五年级五年级) )第第 1 1 讲数字迷（一）讲数字迷（一）第第 2 2 讲讲 数字谜数字谜( (二二) )第第 3 3 讲讲 定义新运算定义新运算( (一一) )第第 4 4 讲讲 定义新运算定义新运算( (二二) )第第 5 5 讲讲 数的整除性数的整除性( (一一) )第第 6 6 讲讲 数的整除性数的整除性( (二二) )第第 7 7 讲讲 奇偶性（一）奇偶性（一）第第 8 8 讲讲 奇偶性（二）奇偶性（二）第第 9 9 讲讲 奇偶性（三）奇偶性（三）第第 1010 讲讲 质数与合数质数与合数第第 1111 讲讲
2、 分解质因数分解质因数第第 1212 讲讲 最大公约数与最小公倍数最大公约数与最小公倍数（一）（一）第第 1313 讲最大公约数与最小公倍数讲最大公约数与最小公倍数（二）（二）第第 1414 讲讲 余数问题余数问题第第 1515 讲讲 孙子问题与逐步约束法孙子问题与逐步约束法第第 1616 讲讲 巧算巧算 2424第第 1717 讲讲 位置原则位置原则第第 1818 讲讲 最大最小最大最小第第 1919 讲讲 图形的分割与拼接图形的分割与拼接第第 2020 讲讲 多边形的面积多边形的面积第第 2121 讲讲 用等量代换求面积用等量代换求面积第第 2222 用割补法求面积用割补法求面积第第 23
3、23 讲讲 列方程解应用题列方程解应用题第第 2424 讲讲 行程问题（一）行程问题（一）第第 2525 讲讲 行程问题（二）行程问题（二）第第 2626 讲讲 行程问题（三）行程问题（三）第第 2727 讲讲 逻辑问题（一）逻辑问题（一）第第 2828 讲讲 逻辑问题（二）逻辑问题（二）第第 2929 讲讲 抽屉原理抽屉原理( (一一) )第第 3030 讲讲 抽屉原理抽屉原理( (二二) )第第 1 1 讲讲 数字谜（一）数字谜（一）数字谜的内容在三年级和四年级都讲过，同学们已经掌握了不少方法。例如用猜想、拼凑、排除、枚举等方法解题。数字谜涉及的知识多，思考性强，所以很能锻炼我们的思维。这
4、两讲除了复习巩固学过的知识外，还要讲述数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。例例 1 1 把+，-，四个运算符号，分别填入下面等式的内，使等式成立（每个运算符号只准使用一次）：（5137）（179）=12。分析与解分析与解：因为运算结果是整数，在四则运算中只有除法运算可能出现分数，所以应首先确定“”的位置。当“”在第一个内时，因为除数是 13，要想得到整数，只有第二个括号内是 13 的倍数，此时只有下面一种填法，不合题意。（513-7）（17+9）。当“”在第二或第四个内时，运算结果不可能是整数。当“”在第三个内时，可得下面的填法：（5+137）（17-9）=12。例例 2 2 将 19 这九
5、个数字分别填入下式中的中，使等式成立：=5568。解：解：将 5568 质因数分解为5568=26329。由此容易知道，将 5568 分解为两个两位数的乘积有两种：5896 和 6487，分解为一个两位数与一个三位数的乘积有六种：12464， 16348， 24232，29192， 32174， 48116。显然，符合题意的只有下面一种填法：17432=5896=5568。例例 3 3 在 443 后面添上一个三位数，使得到的六位数能被 573 整除。分析与解分析与解：先用 443000 除以573，通过所得的余数，可以求出应添的三位数。由443000573=77371推知， 443000+（
6、573-71）=443502 一定能被 573 整除，所以应添 502。例例 4 4 已知六位数 3344 是 89的倍数，求这个六位数。分析与解分析与解：因为未知的数码在中间，所以我们采用两边做除法的方法求解。先从右边做除法。由被除数的个位是 4，推知商的个位是 6；由左下式知，十位相减后的差是 1，所以商的十位是 9。这时，虽然8996=8544，但不能认为六位数中间的两个内是 85，因为还没有考虑前面两位数。再从左边做除法。如右上式所示，a 可能是 6 或 7，所以 b 只可能是 7或 8。由左、右两边做除法的商，得到商是 3796 或 3896。由379689=337844， 3896
7、89=346744知，商是 3796，所求六位数是337844。例例 5 5 在左下方的加法竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，请你用适当的数字代替字母，使加法竖式成立。分析与解分析与解：先看竖式的个位。由Y+N+N=Y 或 Y+ 10，推知 N 要么是 0，要么是 5。如果 N=5，那么要向上进位，由竖式的十位加法有 T+E+E+1=T或 T+10，等号两边的奇偶性不同，所以 N5，N=0。此时，由竖式的十位加法T+E+E=T 或 T+10， E 不是 0 就是 5，但是 N=0，所以 E=5。竖式千位、万位的字母与加数的千位、万位上的字母不同，说明百位、千位加法都要
8、向上进位。因为 N=0，所以 I0，推知 I=1，O=9，说明百位加法向千位进 2。再看竖式的百位加法。因为十位加法向百位进 1，百位加法向千位进2，且 X0 或 1，所以R+T+T+122，再由 R，T 都不等于 9知，T 只能是 7 或 8。若 T=7，则 R=8，X=3，这时只剩下数字 2，4，6 没有用过，而 S 只比F 大 1，S，F 不可能是 2，4，6 中的数，矛盾。小学奥数基础教程（五年级）- 2 -若 T=8，则 R 只能取 6 或 7。R=6时，X=3，这时只剩下 2，4，7，同上理由，出现矛盾；R=7 时，X=4，剩下数字 2，3，6，可取F=2，S=3，Y=6。所求竖式
9、见上页右式。解这类题目，往往要找准突破口，还要整体综合研究，不能想一步填一个数。这个题目是美国数学月刊上刊登的趣题，竖式中从上到下的四个词分别是 40， 10， 10， 60，而 40+10+10 正好是 60，真是巧极了！例例 6 6 在左下方的减法算式中，每个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字。请你填上适当的数字，使竖式成立。分析与解分析与解：按减法竖式分析，看来比较难。同学们都知道，加、减法互为逆运算，是否可以把减法变成加法来研究呢（见右上式）？不妨试试看。因为百位加法只能向千位进 1，所以 E=9，A=1，B=0。如果个位加法不向上进位，那么由十位加法 1+F=10，得 F=9
10、，与 E=9矛盾，所以个位加法向上进 1，由1+F+1=10，得到 F=8，这时 C=7。余下的数字有 2，3，4，5，6，由个位加法知，G 比 D 大 2，所以 G，D 分别可取 4，2 或 5，3 或 6，4。所求竖式是解这道题启发我们，如果做题时遇到麻烦，不妨根据数学的有关概念、法则、定律把原题加以变换，将不熟悉的问题变为熟悉的问题。另外，做题时要考虑解的情况，是否有多个解。练习练习 1 11.在一个四位数的末尾添零后，把所得的数减去原有的四位数，差是621819，求原来的四位数。2.在下列竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字。请你用适当的数字代替字母，使竖式成立：
11、3.在下面的算式中填上括号，使得计算结果最大：123456789。4.在下面的算式中填上若干个（ ），使得等式成立：123456789=2.8。5.将 19 分别填入下式的中，使等式成立：=3634。6.六位数 391是 789 的倍数，求这个六位数。7.已知六位数 7888 是 83 的倍数，求这个六位数。第第 2 2 讲讲 数字谜（二）数字谜（二）这一讲主要讲数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。例例 1 1 在下面的算式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相分析与解分析与解：这道题可以从个位开始，比较等式两边的数，逐个确定各个（100000+x）3=10x+1，300000+3x
12、=10x+1，7x=299999，x=42857。这种代数方法干净利落，比用传统方法解简洁。我们再看几个例子。例例 2 2 在内填入适当的数字，使左下方的乘法竖式成立。求竖式。例例 3 3 左下方的除法竖式中只有一个 8，请在内填入适当的数字，使除法竖式成立。解：解：竖式中除数与 8 的积是三位数，而与商的百位和个位的积都是四位数，所以 x=112，被除数为989112=110768。右上式为所求竖式。代数解法虽然简洁，但只适用于一些特殊情况，大多数情况还要用传统的方法。例例 4 4 在内填入适当数字，使下页左上方的小数除法竖式成立。分析与解分析与解：先将小数除法竖式化为我们较熟悉的整数除法竖
13、式（见下页右上方竖式）。可以看出，除数与商的后三位数的乘积是 1000=2353的倍数，即除数和商的后三位数一个是 23=8 的倍数，另一个是 53=125 的奇数倍，因为除数是两位数，所以除数是 8 的倍数。又由竖式特点知a=9，从而除数应是 96小学奥数基础教程（五年级）- 3 -的两位数的约数，可能的取值有96，48，32，24 和 16。因为，c=5，5 与除数的乘积仍是两位数，所以除数只能是 16，进而推知 b=6。因为商的后三位数是 125 的奇数倍，只能是 125，375，625 和 875 之一，经试验只能取 375。至此，已求出除数为 16，商为 6.375，故被除数为6.3
14、7516=102。右式即为所求竖式。求解此类小数除法竖式题，应先将其化为整数除法竖式，如果被除数的末尾出现 n 个 0，则在除数和商中，一个含有因子 2n（不含因子 5），另一个含有因子 5n（不含因子 2），以此为突破口即可求解。例例 5 5 一个五位数被一个一位数除得到下页的竖式（1），这个五位数被另一个一位数除得到下页的竖式（2），求这个五位数。分析与解分析与解：由竖式（1）可以看出被除数为 10*0（见竖式（1），竖式（1）的除数为 3 或 9。在竖式（2）中，被除数的前两位数 10 不能被整数整除，故除数不是 2 或 5，而被除数的后两位数*0 能被除数整除，所以除数是 4，6 或
15、8。当竖式（1）的除数为 3 时，由竖式（1）知， a=1 或 2，所以被除数为 100*0 或 101*0，再由竖式（2）中被除数的前三位数和后两位数分别能被除数整除，可得竖式（2）的除数为 4，被除数为 10020；当竖式（1）的除数为 9 时，由能被 9 整除的数的特征，被除数的百位与十位数字之和应为 8。因为竖式（2）的除数只能是 4，6，8，由竖式（2）知被除数的百位数为偶数，故被除数只有 10080，10260，10440 和10620 四种可能，最后由竖式（2）中被除数的前三位数和后两位数分别能被除数整除，且十位数不能被除数整除，可得竖式（2）的除数为 8，被除数为 10440。
16、所以这个五位数是 10020 或10440。练习练习 2 21.下面各算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的2.用代数方法求解下列竖式：3.在内填入适当的数字，使下列小数除法竖式成立：第第 3 3 讲讲 定义新运算（一）定义新运算（一）我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运算，它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。除此之外，还会有什么别的运算吗？这两讲我们就来研究这个问题。这些新的运算及其符号，在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号，但学习讨论这些新运算，对于开拓思路及今后的学习都大有益处。例例 1 1 对于任意数 a，b，定义运算“*”： a*b=ab-a-b。求 12*4 的值。分析与解分析与解：根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则
