《重金属污染分析扩散模型_2011建模》由会员分享，可在线阅读，更多相关《重金属污染分析扩散模型_2011建模（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2011 数学建模扩散模型数学建模扩散模型承承 诺诺 书书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从 D/E/F 中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果
2、赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年 月 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2011 重庆邮电大学数学建模第二次模拟重庆邮电大学数学建模第二次模拟编编 号号 专专 用用 页页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评 阅 人评 分备 注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：放射性气体扩散浓度预估模型放射性气体扩散浓度预估模型【摘要摘要】本文是以日本地震引起的福岛核电站的核泄
3、漏为背景，并以给出的数 据为基础，研究某一假设核电站的核泄漏问题。我们通过收集相关的资料，并 结合题目给出的数据，建立了高斯模型、连续点源高斯扩散模型解决了题目提 出的四个问题。 针对问题一：考虑到泄漏源是连续、均匀和稳定的，我们运用散度、梯度、 流量等数学概念，通过“泄漏放射性物质质量守恒” 、 “气体泄漏连续性定理” 、 Guass 公式及积分中值定理得到了无界区域的抛物线型偏微分方程，然后再通 过电源函数解出空间任意一点的放射性物质浓度的表达式，把此表达式定为模 型一的前身。鉴于放射性物质的扩散受到诸多因素的影响，如：泄漏源的实际 高度、地面反射等。我们以泄漏口为坐标原点建立三维坐标系，
4、通过“像源法” 处理地面反射对放射性物质浓度的影响，并由此对模型一的前身进行修正完善， 得到模型一：高斯模型，即放射性物质浓度的预测模型。最后我们模拟了放射 性物质无风扩散仿真图。 针对问题二：当风速为 k m/s 时，我们根据放射性核素云团在大气中迁移和 扩散的数值计算的基本方法和步骤，并以泄漏点源在地面的投影点为坐标原点， 以风向方向为轴，铅直方向为轴，与轴水平面垂直方向为轴建立三维坐xzxy 标系，地面的反射作用同样利用“像源法”进行处理，得到连续点源高斯扩散 模型。考虑到地面反射、烟云抬升、放射性物质自身的沉降及雨水的吸附等对 浓度的影响，我们对连续点源高斯扩散模型进行了修正，建立了修
5、正的连续点 源高斯扩散模型。最后利用大气稳定度确定了扩散参数，进而求解了模型。 针对问题三：经分析，问题三的提出是以问题二为基础的，模型三的建立 只需要将模型二加以调整即可。我们以风速方向为轴正方向，将风速与放射x性物质的扩散速度进行矢量运算，此问题则转化为求和两点处( ,0, )Lz(,0, )Lz的放射性物质浓度，由此建立模型三，即上风和下风公里处放射性物质浓度L 浓度的预测模型。 针对问题四：首先，我们通过网络收集了相关数据，然后，我们结合模型 二、模型三对数据进行整理代入，算出了日本福岛核电站泄漏的放射性物质扩散到中国东海岸和美国西海岸的浓度分别为、334.2429 10/g m。43
6、2.3854 10/g m关键词：关键词：高斯模型 连续点源高斯扩散模型 核泄漏 一一 问题的重述问题的重述1.11.1 问题背景 目前，核电站的发展能带来巨大的经济效益和社会效益，但核电站一旦发 生核泄漏，将会给人们的生命健康和周边环境带来巨大的危害性影响。2011 年 3 月日本的福岛核电站的放射性气体的核泄漏事件更让我们关注放射性气体泄 漏时的浓度问题。因此，正确的测出大气中放射性物质的浓度在环境监测和安 全评估中具有重要意义1.21.2 问题提出有一座核电站遇自然灾害发生泄漏，浓度为的放射性气体以速度 m kg/s0p匀速排出，在无风的情况下，以速度 s m/s 匀速在大气中向四周扩散
7、. 1） 在无风的情况下，建立一个描述核电站周边不同距离地区、不同时段放射 性物质浓度的预测模型。 2） 当风速为 k m/s 时，给出核电站周边放射性物质浓度的变化情况。 3） 当风速为 k m/s 时，分别给出上风和下风 L 公里处，放射性物质浓度的预 测模型。 4） 将建立的模型应用于福岛核电站的泄漏，计算出福岛核电站的泄漏对我国 东海岸，及美国西海岸的影响。 计算所用数据可以在网上搜索或根据具体情况自己模拟。二二 符号说明符号说明(, , )iix y z空间任意一点的放射性物质的扩散系数( , , , )C x y z t空间任意一点的放射性物质浓度s放射性气体的扩散速度, m/ s
8、0Q泄漏源泄漏的放射性物质总量空间域V空间域其体积S一规则的球面面积1Q在内通过的流量( ,)t tt2Q内放射性物质的增量t任意扩散时刻H泄漏源距地面的实际高度H烟云抬升高度h泄漏源有效高度u泄漏源高度处的平均风速，m/ sQ源强，/kg s,xyz用浓度标准差表示的轴上的扩散参数, ,x y zsv放射性气体出口流速,m/sD泄漏源出口的有效内径HQ泄漏源的热排放率，kwsT泄漏源出口处温度，KaT环境大气平均温度，KsV沉降速度，/m s空气的动力粘性系数雨水吸附系数0h太阳高度角三三 模型假设模型假设1、扩散过程中浓度在、轴上的变化分布是高斯分布。yz 2、放射性物质的扩散看作是空间某
9、一连续点源向四周等强度地瞬时释放放射性 物质，放射性物质在无穷空间扩散过程中不发生性质变化，且不计地形影响。 3、放射性物质扩散服从扩散定律，即单位时间通过单位法向面积的流量与它的 浓度梯度成正比。 4、放射性物质在穿过降雨区域时，其强度由于雨水的吸收而减少，减少比率为 常数。 5、假设地面对放射性气体起全反射作用，地面和海面对放射性气体没有吸附， 将海面视为平原地区6、假设风向为水平风向，且风向风速不随时间变化。 7、扩散过程中不考虑泄漏点内部温度的变化对气体扩散的影响。四四 问题的分析问题的分析4.1 问题（问题（1 1）的分析）的分析一座核电站遇自然灾害发生核泄漏，浓度为放射性气体以速度
10、 m kg/s 匀0p速排除，这近似于放射性物质源是连续均匀稳定的。在无风情况下，放射性气 体以速度 s m/s 匀速在大气中向四周扩散，放射性气体的扩散服从扩散定律，即 单位时间通过单位法向面积的流量与它的浓度梯度成正比。在这些条件下，我 们明确了要研究的问题是点源连续泄漏的扩散问题，题给条件中明确要求不考 虑风力的影响，但为了使建立的模型更加贴近实际，需考虑地面反射、核泄漏 源的实际高度、降雨等因素对浓度分布的影响。由“扩散定律” “放射性物质质 量守恒定律” “气体泄漏连续性定理”可得出无界区域的抛物线型偏微分方程。 再通过假设条件建立未考虑地面反射、核泄漏源的实际高度、降雨等浓度影响
11、因素的初步模型，然后从这些影响因素对模型进行完善，最终得出核电站周边 不同距离地区、不同时段放射性物质浓度的预测模型。4.2 问题（问题（2）的分析）的分析 本问是探究风速为时，核电站周边放射性物质浓度的变化情况。当环/km s 境中空气流动产生风力时，在均匀湍流场中，扩散参数与下风向距离的关系是 明确的，核泄漏泄漏时间较长时，可认为扩散是稳定的。在下风向的湍流扩散 相对于风力引起的移流相可忽略不计，在流动方向建立 x 轴，不考虑横向速度 和垂直速度。根据假设，空间中放射性物质的浓度服从高斯分布，可利用连续 点源放射性物质的高斯扩散模型。放射性物质在大气中扩散受诸多因素影响， 考虑泄漏源有效高
12、度、放射性物质自身重力产生的重力沉降、雨水的吸附等因 素对放射性物质浓度的影响是必要的，通过这些影响因素对高斯模型进行修正， 然后利用修正后的高斯模型探究核电站周边放射性物质浓度的变化情况。4.3 问题（问题（3）的分析）的分析 本问是要求当风速为时，建立上风和下风公里处的放射性物质浓度/km sL 的预测模型。经分析，此问是问题（2）的延伸，我们只需建立合适的坐标系， 将此问题转化为求具体两处的放射性物质的浓度，便能得出上风和下风公里L 处的放射性物质浓度预测模型。4.4 问题（问题（4）的分析）的分析 本问要求将之前建立的模型应用于日本福岛核电站的泄泄漏，计算出福岛 核电站的泄漏中国东海岸
13、和美国西海岸的影响，此问实际上是将模型二、模型 三具体化。通过收集求解模型的相关数据，利用模型和数据模拟日本福岛核泄 露对中国东海岸和美国西海岸的影响。五五 模型的建立与求解模型的建立与求解5.1 模型一的建立与求解模型一的建立与求解 5.1.1 模型一的初步建立模型一的初步建立以核泄漏点正下方的地面为坐标原点，平均风向为 X 轴、指向下风(0,0,0)方向，铅直方向为 Z 轴，水平垂直于风向轴（X 轴）为 Y 向，建立空间坐标系，则核电站泄漏点距有效地面的高度为，则泄漏点位置坐标为。OH(0,0,)OH图一：空间坐标系示意图 将气体从泄漏源泄漏时刻记作 t=0，时刻 t 无穷空间中任意一点坐
14、标为 （x,y,z）的浓度记为 C（x,y,z,t）,根据假设 2，单位时间通过单位法向面积的流 量与浓度梯度成正比，则：iqgradC r（1）是扩散系数，表示梯度，负号表示由浓度高向浓度低的地(, , )iix y zgrad方扩散。 考察空间域，其体积为，包围的曲面为，为一规则的球面，外VSSS法线向量为。则在内通过的流量为：(-,-,1)xynzzr( ,)t tt（2）1ttt sQq nd dtr r内放射性物质的增量为：（3）2 ( , , ,)( , , , )VQC x y z ttC x y z t dV从泄漏源泄漏的放射性物质的总量为：（4）00tt tQp dVdt根据
15、“质量守恒定律”和“气体泄漏连续性原理” ，单位时间内通过所选曲面的向外扩散的放射性物质的量与曲面内放射性物质增量之和，等于泄漏SS源在单位时间内向外泄漏的放射性物质。则：（5）012QQQ即：（6）0 ( , , ,)( , , , )tttt tt VsC x y z ttC x y z t dVq nd dtp dVdtr又根据曲面积分的 Gauss 公式：(其中是散度记号) （7）sVq nddivqdVr rrdiv0( , , ,)( , , , )tttt tt VVC x y z ttC x y z tt dVdivqdVdtp dVdttr00()( , , ,)( , , , )limlimtttttkdiv gradC dtCC x y z ttC x y z t ttt 由以上两式得：0VVCdVtdivqdVtp dVtt r即为： （8）0VVVCdVdivqdVp dVt
