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1、1第十三章第十三章 幂级数幂级数1 幂级数的收敛半径和收敛区域幂级数的收敛半径和收敛区域111.(2 )(1);!2!2limlim0,.(1)!21nnnnnnx nn nn 求下列各幂级数的收敛域：解：那么原级数的收敛域为1111ln(1)(2);1ln(2)1ln(1)( 1) ln(1)lim1,2ln(1)111,1 .nnnnnnnxnnnnn nnnn 解：由于并且发散而收敛因此原收敛域为221(1) 211(3);2limlim,0.11nnnnn nnnnxnnnexnn 解：因此可知原级数的收敛域为22212121(1)1(4);22limlim,1,;1222,1,1,1
2、 .nn nnnnnnnnnxxxxx xx 解：由达朗贝尔判别法可知当时级数收敛因此只要原级数就收敛又因为当时级数也收敛因此原级数的收敛域为12121 1112121 1113( 1)(5);11,43( 1)lim3( 1)12,;424213( 1)12,( 4)2421nn nnnn nnnnknk nkknnknk nkkxnrnnkknkk 解：幂级数的收敛半径为由于前者发散后者收敛因此发散前者发散后者收,;1 1,.4 4敛因此发散因此可知原级数的收敛域为2111113( 2)(6)(1) ;11,33( 2)lim3( 2)13( 2) ( 1)( 1)1 2,33342,.3
3、3nn nnnn n nnnnnnnnnnn nnnnxnrnnnnn 解：幂级数的收敛半径为又因为级数发散而级数收敛因此可知原级数的收敛域为1(2 )!(7);(21)! (22)!(21)!22limlim1,1;(23)! (2 )!23(2 )! (23)!2311,lim1lim1,(21)!(22)!222(2 )!nnnnnnnxn nnnrnnnnnnxnnnnnn 解：由于于是原级数的收敛半径为当时由于故由拉阿比判别法可知级数3 2 8(9)11!;(21)!(2 )!(2 )!lim0,( 1),(21)!(21)!1,1 .npT nnnnnn nn发散由于因此由莱布尼兹
4、判别法可知级数收敛于是可知原级数的收敛域为22211(8)1;111lim1lim 1,.1,lim 110,.n nnnnn nnn nnxnrennexeee en 解：由于于是可知原级数的收敛半径为当时由于因此可知原级数的收敛域为111( 1)(9);( 1)( 1)lim1,1;,1,1, 1 .n nnnnnn nnnnnnxn nrn nn nn n解：由于因此可知原级数的收敛半径为由于级数收敛而级数发散因此可知原级数的收敛域为31(10);57117lim,7,lim10,57757 7,7 .nnn nnnnnnnnnxr 解：由于因此可知原级数的收敛半径为由于因此可知原级数的
5、收敛域为2122221221( !)(11);(2 )(1)(2 )(1)1limlim,4;(22) ( !)(22)(21)4( !) 44,(2 )( !) 4(22)(22)(2lim1lim(2 )(1)!4nnnnnnnnnnnxnnnnrnnnnnxnnnnnnnnn ！解：由于因此可知原级数的收敛半径为！当时级数由于！2221221)11lim14(1)4(1)2( !);( 4)(2 )4,4 .nnnnn nnn n 那么由拉阿比判别发可知级数发散但是对于级数由莱布尼兹判别法可知收敛。！综上可知原级数的收敛域为1111(12)1;2, 1111112111lim1lim1l
6、im1,1111111221,1, 1 .nnnnnnxnnnnnnnnr LLLL解：由于调和级数发散于因此可知于是原级数的收敛半径为则可知原级数的收敛域为11(13); lim1,1, 1 .nnnnnxn 解：由于于是可知级数的收敛域为 21121221(2)(14);(21)!,(2)(21)!(2)limlim0,(21)! (2)21 2,.nnnnnnx nxxnx nxnn 解：对于任意确定的有那么由达朗贝尔判别法可知原级数的收敛域为221(15),01;01limlim0,.nnnnnnnna xaaaa 解：由于可知因此可知原级数的收敛域为41(16);:1limlim1,
7、(1)111.0,1,1,1 ;1 0,1,1,1 ;1 np npppnnx nn nnrpxxpxp 解由于因此原级数的收敛半径为当时可以知道级数在处都发散那么此时级数的收敛域为发散当时可以知道级数那么此时级数的收敛域为收敛当1,1,1,1 .x 时可以知道级数在处都收敛那么此时级数的收敛域为0020002 00 0022 00 002.,(1); (2); (3).(1),;,nn nn nnnnn nnnnn nnnnn nn nnnn nn nna xRb xQa xabxa b xa xRxRa xxRa xa x设幂级数的收敛半径为的收敛半径为讨论下列级数的收敛半径：解：由于幂级
8、数的收敛半径为那么对于任意级数收敛对于任意级数发散因此可知幂级数000 0000 00000;(2),.,.min nn nnnn nnnn nnnnn nnnn nnrRRQxRabxxRabxa xb xabxRRQabxQr的收敛半径设则对于可知级数收敛对于可知级数发散。因此此时级数的收敛半径为同理当级数的收敛半径为于是可知原级数的收敛半径为 2 002 0 0000 0n( ,).(3),0,1 .;,.nnnn nnnn nnn nn nR QxRQxRQa b xa b R QxRQa b xrRQ对于可知那么利用达朗贝尔判别法可知级数收敛当我们无法判别级数是否收敛因此可知原级数的
9、收敛半径511 100111 1111 03.,0,1,2,0,(1); (2).(1)( ),( ),( );0,( ),0,n k k knn nn nnnnn nk nnnkn kkn nn na xM nxxa xa xMxA xa xB xa xMA xxxxB xa xx L设求证：当时收敛证明：取由于即一致有界而数列单调下降趋于零那么由狄理克雷判别法可知函数项级数在区间一致收1 01111 01111 011 001.0,(2),.0,;.;.n n nkk kk kknn kk kk kkknn kk kk kkxxa xixxa xa xMiia xa xMxxiiia xa
10、 xxx阿贝尔变换敛于是对于当时收敛。我们利用数学归纳法证明这里我们用到了阿贝尔变换：由于因此显然成立设1111 00111110111111.kknnkn lk lk klkkknnnnkxxa xa xxxxxxxxMMMxxxxxg综上可知所证成立。2 幂级数的性质幂级数的性质1001000100101.( ),1( ),10,( ).1,1nnn n nnrnnnn n nxnnnnnnaf xa xxrrn af x dxrna xxraxrf t dtxrn axxrn 设当时收敛那么当收敛时有不论在时是否收敛。证明：由题意可得对于有且其收敛半径仍为由于在点收敛110001000,
11、lim( )lim,11( ).1xnnnnxrxrnnrnnnraaf t dtxrnnaf x dxrn 故在上连续因此于是有61201112 11111201ln(1)12.ln(1)1ln(1),1ln(1)11,.nnnnnnnnnxdxxnxxxxxxnxnnnxxdxxn 利用上题证明：证明：由于因此有显然-在时收敛且-在处收敛因此由上题有13.(1)ln(1);nnxxn 用逐项微分或逐项积分求下列级数的和： 1 2 11111(2)1 ;1(1)nnnnnnnnxnxxnxxxxxxxx g1(1)1(1)1212(2)00111(2)(2)10011(3)(1);( )(1
12、),( )(1)( ),( )1( )111nnnnxxnnnnnnxxnnnnn nxSxn nxSt dtn nt dtnxxnxx SxSxxSt dtntdtxx 解：设则对逐项积分可得 2 (1)2(2)2 202222 (1) 244 1;( )( ),11212 122(1)( ). 111xnnxxxSt dtx Sxxxxxxx xxxxn nxSx xxx因此可知于是81 211 211 2111 2211( 1)(4);(21)( 1)( ),(21)( )( 1) 22 (21)( )( 1)( 1)22 (21)21n nnn nnn nnnn nnnnxnnS xxnnS xxnnS xxxnnn 解：设那么11 211222 2 110200( )( 1)1( 1)( 1);2211( )arctan ,21( )arctan2n nnnnnnnnxxS xxxxnxS xdtxtS xtdt 因
