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1、 http:/ 快乐学习，尽在中小学教育1例说例说“分类讨论分类讨论”及其应用及其应用尹建堂所谓分类讨论，即对问题中的各种情况进行分类，或对所涉及的范围进行分割，然后分别 研究和求解，最后整合得答案，即有“分”有“合”，先“分”后“合”的一种解题策略。 它既是一种数学思想，也是一种逻辑方法，故称分类讨论的思想方法。应用分类讨论解题既要弄清引发分类的原因，又要掌握科学分类的原则，即不重复，不遗 漏。本文拟就引发分类的常见原因、求解方法例说如下。一、由数学概念引发的分类讨论一、由数学概念引发的分类讨论数学中的有些概念是分类定义的，如绝对值、分段函数等；有些有一定的限制，如直线斜率中，等。解题时就要
2、从所给定义的概念来进行分类讨论。k tan2例例 1. 解方程。41211xx |分析：分析：去掉绝对值符号是关键，由此引发分类讨论，显然应从的正负来分类。12x解：解：（1）当，即时，原方程化为120xx 0，即，42111xx()21 241 42x解得 21 241 2x而0，无解；21 241 2x又由知，舍去。21 241 21xx 0（2）当，即时，原方程化为，120xx 042111xxhttp:/ 快乐学习，尽在中小学教育2即，()21 249 42x解得21 27 2x 可见 ，无解；21 27 20x 而由 ，得21 27 2x x log23综上知，原方程的解为。x lo
3、g23例例 2. 已知，解不等式。f xxx( ) 1010，xx()2f x()25分析：分析：分段函数本身就是一种分类讨论，需对函数的每一段情况分别进行研究。依题意本 题要以的正负来分类求解。x 2解：解：当时，原不等式可化为x 20解是xx25， 23 2x当时，原不等式可化为x 20，解得。xx()25x 2综上知，原不等式的解集为。(，3 2二、由运算要求引发的分类讨论二、由运算要求引发的分类讨论有的数学运算有严格的限制，解题时必须按要求进行。如除法运算中除式不能为零；在实 数范围内开偶次方被开方数必为非负数；解方程、不等式时，两边分别乘同一个数是否为零、 是正数还是负数等都需要按不
4、同的运算要求分类讨论。例例 3. 解不等式。xx aaaaxlog()9 2201，且 分析：分析：因未知数出现在指数位置时常取对数（这里显然以 a 为底），但不等号的方向如何 确定？需要分类讨论。http:/ 快乐学习，尽在中小学教育3解：解：因，则原不等式等价于a20。 （*）axxax29 2log（1）当时，（*）的两边取以 a 为底的对数，得a 1，29 2294022(log)log(log)logaaaaxxxx解出 loglogaaxx1 24或所以或。0 xaxa4（2）当时，则有01a( log)(log)2140aaxx解得1 24logax所以。axa4所以原不等式的解
5、集为：；axxaxa104时，或 |。014ax axa时， |三、由定理、公式的限制条件引发的分类讨论三、由定理、公式的限制条件引发的分类讨论有些定理、公式在不同条件下有着不同的结论，故在应用时须进行分类讨论。如等比数列 前 n 项和公式应分 q1，q1 来讨论；二次函数的条件最值需要对相应的抛物线开口方向、极值点与约束条件的位置关系分类讨论。x0tt12，例例 4. 首项为 1，公比为 q（）的等比数列前 n 项和为，设q 0Snn1，2，求。TS Snnn1，limnTnhttp:/ 快乐学习，尽在中小学教育4解：解：等比数列an的公比为，首项，则q q() 0a11（1）当 q1 时，
6、Snann1所以limlimlimnnnTS Sn nnnn111（2）当 q1 时，Saq qq qnnn 11 11 1()所以。TS Sq qq qq qnnnnnnn 1111 11 11 1：为确定其极限，再对 q 作二级讨论：若，则；01qlimnTn 10 101若，则q 1limlimlim( )( )nnnTq qqqqqqnnnnn 1 111110 011综上知，lim()()nqqq1 0111评注：评注：本题也可减少分类层次，按 q1，来分类讨论。011qq，例例 5. 已知函数，设，求f xxa axxRxa( )() 1， g xxxa f x( )|() ( )
7、|2的最小值。g x( )分析：分析：先将原函数化为，然后去掉绝对值符号分成两段；g xxxaxa( )|()|()21再对每段的一元二次函数就 a 进行二级分类讨论，求出各段上的最小值；结合图象再求出整 个函数的最小值。http:/ 快乐学习，尽在中小学教育5解：解：g xxxaxa( )|()|()21（1）时，有xaxa1且 。g xxxaxa( )() 2211 23 4如果，即时，由函数在区间上的图象可a 11 2a 1 2g x( )()aaa 1，及，知，；g xg aa( )()()min112如果时，由函数在区间上的图aaa 11 21 21 2，即()()aa 10，及，象
8、可知，。g xga( )()min1 23 4（2）当时，xa1。g xxxaxa( )() 2211 25 4如果时，aa11 23 2，即；g xga( )( )min1 25 4如果时aa11 23 2，即g xg aa( )()()min112又当时，a 3 2()()()aaa15 43 2022当时，a 3 2()()()aaa13 41 2022综上知，当时，；a 3 2g xa( )min5 4当；1 23 2a时，g xg aa( )()()min112http:/ 快乐学习，尽在中小学教育6当时，；a 1 2()a 1 2g xga( )()min1 23 4当时，无最小值
9、。a 1 2g x( )四、由函数性质引发的分类讨论四、由函数性质引发的分类讨论对于涉及函数定义域、值域及性质的问题，要根据函数性质来分类讨论。例例 6. 已知函数在 R 上是减函数，求 a 的取值范围。f xaxxx( ) 3231分析：分析：本题是以导数为工具，研究函数单调性的问题，所以求导数是必不可少的步骤。求出恒小于零时 a 的范围，因由已知的解析式知，故需对 a 的取值范围分类讨论。fx( )aR解：解：求函数的导数，得f x( )fxaxx( ) 3612当时，是减函数。fxxR( )()0f x( )。361003612032axxxRaaa ()且所以当时，由，知是减函数。a
10、3fx( ) 0f x xR( )()所求范围只是所求取值范围的一部分，是它的充分条件。还需对 a 的取值范()，3围进行分类，再对每一类研究是否是 R 上的减函数。f x( )因为由已知解析式可知 a 的取值范围是全体实数，所以再划分为3 与两类() 3，来讨论。（1）当时，。a 3f xxxxx( )() 33131 38 9323由函数的单调性及图象的平移变换，可知当 a3 时，是减函数；yx3f x xR( )()http:/ 快乐学习，尽在中小学教育7（2）当时，在 R 上总存在一个区间，其上有，所以当时，函数a 3fx( ) 0a 3不是减函数。f x xR( )()综上知，所求
11、a 的取值范围是（。，3评注：评注：本题的分类与整合完全是由教材中学习的函数单调性与导数的关系定理是非充要的 所引发的，先求出所求取值范围的一个充分条件，然后再分类研究。应当注意的是，本题是对 a 的取值范围的分类，而不是对的正、负、零的分类，弄清楚分类对象是至关重要fx( )的。五、由图形位置不同引发的讨论五、由图形位置不同引发的讨论有些涉及图形的问题，根据已知条件不能唯一确定图形的位置时，在求解过程中，要根据 可能出现的不同位置进行讨论。例例 7. 已知两异面直线 a、b 所成的角为，它们的公垂线段 AA1的长度为 d，在 a、b 上 分别取 E、F，设 A1Em，AFn，求 EF 的长。分析：分析：由于 F 在 b 上的位置不同，故应分两种情况讨论求解。解：解：如图 1 所示，过 A 作 ca，作 EGc 于 G，连 FG，则 EGGF。图 1所以。EFEGFG222因 F 在 b 上的位置不同，FAG 可能等于，也可能等于，故有（1）当FAG时，在FAG 中，由余弦定理，得FGmnmn2222cos所以EFdmnmn2222cos（2）当FAG时，类似地，得http:/ 快乐学习，尽在中小学教育8。EFdmnmn2222cos综上，EFdmnmn2222cos
