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1、导数应用的题型与解题方法导数应用的题型与解题方法值得拥有的资料是来自平时学习积累总结的有问题的地方肯定有的还请大家批评指正！导数应用的题型与解题方法一、考试内容导数的概念导数的几何意义几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式利用导数研究函数的单调性和极值函数的最大值和最小值二、考试要求了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义理解导函数的概念熟记基本导数公式：c, x (m 为有理数)的导数掌握两个函数四则运算的求导法则会求某些简单函数的导数了解可导函数的单调性与其导数的关系了解可导函数在某点取得极值的必要条件和
2、充分条件（导数要极值点两侧异号）会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值三、双基透视导数是微积分的初步知识是研究函数解决实际问题的有力工具在高中阶段对于导数的学习主要是以下几个方面:1导数的常规问题：（1）刻画函数（比初等方法精确细微） ；（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线） ；（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高而导数方法显得简便）等关于次多项式的导数问题属于较难类型2导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型也是高考中考察综合能力的一个方向应引起注意3曲线的切线用割线的极限位置来定义了曲线的切线切线方程由曲线上的切点坐标确定设为曲线上一点过点的切
3、线方程为：4瞬时速度用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度5导数的定义对导数的定义我们应注意以下三点：(1)x 是自变量 x 在 处的增量(或改变量)(2)导数定义中还包含了可导的概念如果x0 时有极限那么函数 y=f(x)在点处可导才能得到 f(x)在点处的导数(3)由导数定义求导数是求导数的基本方法必须严格按以下三个步骤进行：(a)求函数的增量；(b)求平均变化率；(c)取极限得导数6导数的几何意义函数 y=f(x)在点处的导数就是曲线 y=(x)在点处的切线的斜率由此可以利用导数求曲线的切线方程具体求法分两步：(1)求出函数 y=f(x)在点处的导数即曲线 y=f(x)在点处
4、的切线的斜率；(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下求得切线方程为特别地如果曲线 y=f(x)在点处的切线平行于 y 轴这时导数不存在根据切线定义可得切线方程为7、 导数与函数的单调性的关系与为增函数的关系能推出为增函数但反之不一定如函数在上单调递增但是为增函数的充分不必要条件时与为增函数的关系若将的根作为分界点因为规定即抠去了分界点此时为增函数就一定有当时是为增函数的充分必要条件与为增函数的关系为增函数一定可以推出但反之不一定因为即为或当函数在某个区间内恒有则为常数函数不具有单调性是为增函数的必要不充分条件函数的单调性是函数一条重要性质也是高中阶段研究的重点我们一定要把握好以上三个关系用导数
5、判断好函数的单调性因此新教材为解决单调区间的端点问题都一律用开区间作为单调区间避免讨论以上问题也简化了问题但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题要谨慎处理单调区间的求解过程已知 （1）分析 的定义域； （2）求导数 （3）解不等式解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式解集在定义域内的部分为减区间函数单调区间的合并函数单调区间的合并主要依据是函数在单调递增在单调递增又知函数在处连续因此在单调递增同理减区间的合并也是如此即相邻区间的单调性相同且在公共点处函数连续则二区间就可以合并为一个区间8、已知 （1）若恒成立 为上 对任意 不等式 恒成立（2）若恒成立 在上 对任意不等式 恒成立四、热点题型
6、分析题型一：利用导数定义求极限例 1已知 f(x)在 x=a 处可导且 f(a)=b求下列极限：（1） ； （2）题型二：利用导数几何意义求切线方程例 2 已知曲线曲线直线与都有相切求直线的方程题型三：利用导数研究函数的单调性、极值、最值例 3 已知函数的切线方程为 y=3x+1 （）若函数处有极值求的表达式；（）在（）的条件下求函数在31上的最大值；（）若函数在区间21上单调递增求实数 b 的取值范围 例 4：已知三次函数在和时取极值且(1) 求函数的表达式；(2) 求函数的单调区间和极值；(3) 若函数在区间上的值域为试求、应满足的条件例 5：已知函数 f(x)=x33x2axb 在 x(
7、1f(1)处的切线与直线 12xy10 平行（1）求实数 a 的值；（2）求 f(x)的单调递减区间；（3）若 f(x)在区间22上的最大值为 20求它在该区间上的最小值例 6：已知函数在处取得极值（1）用表示；（2）设函数如果在区间上存在极小值求实数的取值范围.例 7：已知(1)当时, 求证在内是减函数;(2)若在内有且只有一个极值点, 求 a 的取值范围.例 8：设函数（1）若的图象与直线相切切点横坐标为且在处取极值求实数 的值；（2）当 b=1 时试证明：不论 a 取何实数函数总有两个不同的极值点 题型四：导数与解析几何、立体几何的结合例 9： 所以如图所示曲线段 OMB 是函数的图像轴
8、于 A曲线段 OMB 上一点处的切线 PQ 交 x 轴于 P交线段 AB 于 Q.（1）试用 t 表示切线 PQ 的方程；（2）设QAP 的面积为若函数在上单调递减试求出 m 的最小值；（3）试求出点 P 横坐标的取值范围.例 10：用长为 90cm,宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转 90角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?题型五：利用单调性、极值、最值情况求参数取值范围例 11：设函数（1）求函数的单调区间、极值.（2）若当时恒有试确定 a 的取值范围.例 12：（2006 全国卷）设为实数函
9、数在和都是增函数求的取值范围例 13：已知函数其中是的导函数（）对满足的一切的值都有求实数的取值范围；（）设当实数在什么范围内变化时函数的图象与直线 只有一个公共点例 14 （2006 年江西卷）已知函数 f（x）x3ax2bxc 在x与 x1 时都取得极值（1）求 a、b 的值与函数 f（x）的单调区间（2）若对 x?12不等式 f（x）?c2 恒成立求 c 的取值范围题型六：利用导数研究方程的根例 15：已知平面向量=(,1). =(,).（1）若存在不同时为零的实数 k 和 t使=+(t23)=-k+t试求函数关系式 k=f(t) ；(2) 据(1)的结论讨论关于 t 的方程 f(t)k
10、=0 的解的情况.例 16：设为实数函数（）求的极值；（）当在什么范围内取值时曲线与轴仅有一个交点例 17： 已知函数.（）讨论函数的单调性；（）若曲线上两点 A、B 处的切线都与 y 轴垂直且线段 AB 与 x 轴有公共点求实数 a 的取值范围.题型七：导数与不等式的综合 例 18：已知函数设记曲线在点处的切线为（）求的方程；（）设与轴的交点为证明：；若则例 19：设在上是单调函数.（1）求实数的取值范围；（2）设11且求证：.例 20：已知为实数函数（1）若函数的图象上有与轴平行的切线求的取值范围（2）若（）求函数的单调区间（）证明对任意的不等式恒成立例 21：设是曲线在点处的切线方程并设
11、函数（I）用表示；（II）证明：当时；题型八：导数在实际中的应用例 22：某工厂每月生产 x 吨高附加值产品的总成本包括不变成本和可变成本两部分不变成本为 800（万元）可变成本为 20x（万元） 市场对这种商品的需求函数为p=100x（0x100）其中 p 为这种商品的单价（单位：万元）x 为市场对这种商品的需求量（单位：吨）假设每月生产的产品能全部售出（产销平衡） （1）把月利润 y（万元）表示为产量 x（吨）的函数（利润销售收入成本） ；（2）每月生产多少吨时能获得最大利润？此时产品的单价为多少？题型九：导数与向量的结合例 23：设平面向量若存在不同时为零的两个实数 s、t 及实数 k使（1）求函数关系式；（2）若函数在上是单调函数求 k 的取值范围?文科培优资料 作者：谢立荣益阳市箴言中学 1 （共 12 页）
