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1、1高中不等式习题精选精解一、求取值范围1、已知，求的取值范围。31 , 11yxyxyx3解： )(*2)(*13yxyxyx根据已知条件：731 , 3*2132*11yxyx所以的取值范围是yx3 7 , 12、已知，且，求的取值范围。cba0cbaac/解：由已知条件，显然0, 0ca2/1/, 0, 02,acacbacacbQQ2/, 0,2, 02,acaaccbacabaQQ综上所述的取值范围是ac/2/1, 2 3、正数满足，求的最小值。yx,12 yxyx/1/1解：2/2/1)/1/1)(2()/1/1 (*1/1/1xyyxyxyxyxyx（为正数）223)/2)(/(2
2、3xyyxyx,Q4、设实数满足，当时，求的取值范围。yx,1) 1(22 yx0cyxc解：方程表示的是以点（0，1）为圆心的圆，根据题意当直线1) 1(22 yx（为常数）与圆在第二象限相切时，取到最小值；（此时，切点的坐标0cyxcc满足，其它圆上的点都满足（因为在直线的上方） ，当),(yx0cyx0cyx增大，直线向下方平移，圆上的全部点满足，c0cyx因此：12, 0)21 (0minmincc所以的取值范围是c , 12xy25、已知函数满足，求的取值2( )(0)f xaxbx a1( 1)2f2(1)5f( 3)f 范围。解：由习已知得：52 , 21baba设： 6339)
3、()(39)3(nmnmnmbanbambaf27)3(12),1 (*3) 1(*6)3(ffff所以的取值范围是)3(f27,126、已知：、都是正数，且，求的最小值ab1ab1aa1bb解：是正数，ba,Q41,41 22 abbaab5111)11()(11ababba bababbaa的最小值是 5， （当且仅当时） 。2/1 ba7、已知集合与，若，求045|2xxxA022|2aaxxxBAB 的取值范围。a解：41 |, 41 , 0) 1)(4(452xxAxxxxx设（*）L222aaxxy当，即方程（*）无解，显然成立，由得BAB 0，解得0)2(442aa) 1 (21
4、La当，且成立，即： 根据图像得出：BAB 41 |21xxxxxx，解得 4221024*24021*2122aaaaa)2(7181L a综合（1） （2）两式，得的取值范围为。a7/18, 1o1 4X1 x2 xy38、若关于的方程有实数解，求实数的取值范围。x0124aaxxa解一：设，原题转换为求方程在上有解。xt20, 02txQ012aatt, 0共有两种情况，一种是有两个根，一种是只 有一个根（如图所示） ，由二次函数的图像和性质，得方程在上012aatt, 0有实数解的充要条件为：注：两组不等式分别对应两个图 01)0(0) 1(401)0(020) 1(422afaaaf
5、aaa或解得222, 12221aaa即或所以的取值范围是a222 , 解二：由方程得012aatt)0(112 ttta函数的值域就是的取值范围。)0(11)(2 ttttfa222)222(212) 1(12) 1(12) 1( 1122 tttttt tta所以的取值范围是a222 , 二、解不等式1、032)2(2xxx解：不等式与或同解，也可以这样理解：0)()(xgxf 0)(0)(xgxf0)(xg符号“”是由符号“” “=”合成的，故不等式可转化为0)()(xgxf或。0)()(xgxf0)()(xgxfoyxoyx4解得：原不等式的解集为13|xxx或2、.0322322 x
6、xxx解：0322322 xxxx0320)32)(23(222xxxxxx，用根轴法（零点分段法）画图如下： 0) 1)(3(0) 1)(3)(2)(1( xxxxxx原不等式的解集为。3211|xxx或3、)0( , 112aaxx解：原式等价于axx112，即 注：此为关键11, 112axxQ0ax原不等式等价于不等式组解得：0, 0xaQ 0)1 (122xaxx 0|1120|102xxaaaxxa时，原不等式解集为当时，原不等式解集为当4、0)2)(2(axx解：当时，原不等式化为，得；0a02 x2x当时，原不等式化为，得；0a0)2)(2(axx22 xa当时，原不等式化为，
7、得；10 a0)2)(2(axxaxx22 或当时，原不等式化为，得；1a0)2(2x2x当时，原不等式化为，得1a0)2)(2(axx22xax或213-1+ -5综合上面各式，得原不等式的解集为： MLL5、关于的不等式的解集为，求的解集。x0bax, 102 xbax解：由题意得：，且0aba 则不等式与不等式组同解02 xbax 020)2)(xxbax得所求解集为21|xxx或6、已知且，关于的不等式的解集是，解关于的不等式0a1a x1xa 0x x x的解集。1log ()0axx解：关于的不等式的解集是，Qx1xa 0x x 1a 或1011115log ()012xx axx
8、xxx 1512x原不等式的解集是。1515( 1,)(1,)22U三、证明题1、已知，求证：cba222222cabcabaccbba证一：)()()(222222accacbbcbaabcabcabaccbba)()()()()()()(bacacbcacbbcbaababbccacbbcbaab)( , 0)()()()(cbacacbbaabcbccbbaaQ，证毕。222222cabcabaccbba证二：)()()(222222222bacacbcbacabcabaccbba)()()()()(2222222bcbabacbbacabbcbcba0)()()()()()(cacbb
9、acbcbbababacb6，证毕。222222cabcabaccbba2、设,为偶数,证明 0abn11nnnnba ab 11 ab证： .11nnnnba ab 1111()() ()nnnnnabab abab当时, ,0 ,0,0ab()0nab(nnab11)()nnab0 ,故 ;11()() ()nnnnnabab ab11nnnnba ab 11 ab当有一个负值时,不妨设,且,即 ., a b0,0ab0ab|ab为偶数时,0 ,且n(nnab11)()nnab()0nab0 ,故 .11()() ()nnnnnabab ab11nnnnba ab 11 ab综合可知,原不
10、等式成立注：必须要考虑到已知条件，分类讨论，否则不能直接得出0ab0 (nnab11)()nnab3、求证： 2216(4)36aa2 29证：设向量 ,由 ,得( ,4),(4,6)paqau rr| |pqpqu rru rr2216(4)36aa|pqu rr|pqu rr|( ,4)(4,6)| |(4,10)|16 1002 29aa注意：当时，即，、方向相同，取等号。pu rqr8a )48(，p)6 ,12(qpq当利用公式证明时，会得：|qpqp2216(4)36aa|pqu rr的错误结论，因为这里取等号| |( ,4)(4,6)| |(4, 2)|1642 5pqaau r
11、r的条件是，且、方向相反，根据题设条件，时，方向相同，故取不到等号，pu rqrpqpu rqr计算的结果也使不等式范围缩小了。74、求证： （）nn121 31 211222L2n证一：（）nnnnn1 11 ) 1(112Q2nnnnn121 11)31 21()21 11(11 31 211222LL原不等式成立，证毕。证二：当时，原不等式为：，显然成立；2n2122112假设当取-1 时，原不等式成立，即成立，则nk112) 1(1 31 211222kkL2222222) 1(121 1121 ) 1(1 31 211kkkk kkkkL，即取时原不等式也成立。kkkkkkkkkk1
12、2) 1(112) 1(1 ) 1() 1(2222nk综上，对于任意（）原不等式成立，证毕。 n2n注意：此类证明方法称为数学归纳法 5、设，实数满足，求证： 213f xxxa1xa 21f xf aa证：| )(|1313| )()(|2222axaxaaxxafxf=| 12)( | 1| ) 1)( |aaxaxaxax当，0ax) 1|(|2|2| 12)( | )()(|aaaaxafxf当，0ax) 1|(|2| 12| 12)( | )()(|aaaaxafxf当，0ax) 1|(|2|)|1 (2| 12)( | )()(|aaxaaaxafxf综合式情况，原不等式成立。证毕注：式的最后一步省略了对的详细分析，正式解题时不能省。分析过程用0, 0, 0aaa同号ba,|;|babababa异号ba,|babababa6、已知：，求证：xyyxyxyxyx22, 0, 0且341yx8证：由已知得：，即xyyxyx2)()()(2yxyxxyL，及基本不等式，代入式得：yx Q22yxxy)()(222 yxyxyx 解得；34 yx，由式得，0, 0, 0xyyxQ0)()(2yxyx1yx综上得：。
