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1、初 中数学竞赛精品标准教程及练习(9)一元一次方程解的讨论一、内容提要一、内容提要1，方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元方程 的解也叫做根。 例如：方程 2x60， x（x-1）=0, |x|=6, 0x=0, 0x=2 的解 分别是： x=3, x=0 或 x=1, x=6, 所有的数，无解。2，关于 x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程 ax=b 后，讨论它的解：当 a0 时，有唯一的解 x=ab； 当 a=0 且 b0 时，无解； 当 a=0 且 b0 时，有无数多解。 （不论 x 取什么值，0x0 都成立） 3, 求方程 ax=b(a0)
2、的整数解、正整数解、正数解当 ab 时，方程有整数解； 当 ab，且 a、b 同号时，方程有正整数解； 当 a、b 同号时，方程的解是正数。 综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程 ax=b 二、例题二、例题例 1a 取什么值时，方程 a(a2)x=4(a2) 有唯一的解？无解？ 有无数多解？是正数解？解：当 a0 且 a2 时，方程有唯一的解，x=a4当 a=0 时，原方程就是 0x= 8，无解； 当 a=2 时，原方程就是 0x=0 有无数多解由可知当 a0 且 a2 时，方程的解是 x=a4,只要 a 与 4 同号，即当 a0 且 a2 时，方程的解是正数。例 2k 取什么
3、整数值时，方程k(x+1)=k2（x2）的解是整数？ （1x）k=6 的解是负整数？ 解：化为最简方程（k2）x=4 当 k+2 能整除 4，即 k+2=1，2，4 时，方程的解是整数k=1，3，0，4，2，6 时方程的解是整数。 化为最简方程 kx=k6，当 k0 时 x=kk6=1k6，只要 k 能整除 6, 即 k=1，2，3，6 时，x 就是整数 当 k=1,2,3 时，方程的解是负整数5，2，1。 例 3 己知方程 a(x2)=b(x+1)2a 无解。问 a 和 b 应满足什么关系？ 解：原方程化为最简方程： (ab)x=b 方程无解，ab=0 且 b0a 和 b 应满足的关系是 a
4、=b0。例 4 a、b 取什么值时，方程（3x2）a+（2x3）b=8x7 有无数多解？ 解：原方程化为最简方程：（3a+2b8）x=2a+3b7，根据 0x0 时，方程有无数多解，可知当 07320823 baba时，原方程有无数多解。解这个方程组得 12 ba答当 a=2 且 b=1 时，原方程有无数多解。 三、练习（三、练习（9） 1, 根据方程的解的定义，写出下列方程的解： (x+1)=0, x2=9, |x|=9， |x|=3, 3x+1=3x1, x+2=2+x2,关于 x 的方程 ax=x+2 无解，那么 a_3,在方程 a(a3)x=a 中， 当 a 取值为时，有唯一的解； 当
5、 a时无解；当 a时,有无数多解； 当 a时,解是负数。 4， k 取什么整数值时，下列等式中的 x 是整数？ x=k4x=16 kx=kk32 x=123 kk5， k 取什么值时，方程 xk=6x 的解是 正数？ 是非负数？ 6， m 取什么值时，方程 3（m+x）=2m1 的解 是零？ 是正数？7， 己知方程221463ax的根是正数，那么 a、b 应满足什么关系？8， m 取什么整数值时，方程mmx 321) 13(的解是整数?9， 己知方程axxb 231) 1(2有无数多解，求 a、b 的值。1.三、练习（三、练习（9）参考答案：）参考答案：1 3 9 无解 无解 无数多个解2. a=1 3. a3,a0；a=3；a=0； a0 8. 化为最简方程 mx=m+3, 当 m=1,3 时，有整数解 9.化为最简方程(3ab)x=b+2当 0203 bba时方程无解，解得 232ba
