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1、2014 年北京联合大学第四届数学建模竞赛年北京联合大学第四届数学建模竞赛承承 诺诺 书书我们仔细阅读了北京联合大学数学建模竞赛章程 。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权北京联合大学数
2、学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C 中选择一项填写）： B 所属学院（请填写完整的全名）： 应用文理学院 参赛队员（打印并签名）：1. 肖会改 2. 李季红 3. 李金玲 （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上 内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评 奖资格。）日期： 2014 年 5 月 7 日1L Leslie 模型分析海龟种群繁殖增长规律摘要本文主要分析海龟种群繁殖问题，在分析了解海龟种群繁殖的规律的基
3、础上通 过计算分析预测海龟种群数量未来的发展趋势。首先，根据海龟种群不同繁殖阶段 和生长类型，利用差分方程组思想，建立相应数学模型，描述海龟种群各阶段繁殖 变化规律。 考虑到海龟不同阶段的数量、海龟的自然死亡以及所处环境等的约束条件，通 过建立 Leslie 模型分析海龟种群各个阶段的繁殖规律，发现海龟种群不同阶段数 量差异较大，其中幼年期数量最多，初次繁殖、第一年迁徙并繁殖数量很少。其数 量多少也与其所在不同生长阶段持续时间长短有关系。 最后，通过数学归纳法，统计分析海龟种群不同时段的繁殖规律，进一步判断 是否需要通过人工方法使海龟种群能够合理的繁殖下去。得出结论：海龟种群数量 逐渐减少，最
4、终在大约 270 年左右种群灭亡。 考虑到自然界的生物多样性，从保持生态平衡的角度出发，需要对该海龟物种 进行人工培养，科学地管理。关键字：关键字：种群繁殖规律；差分方程；Leslie 模型；Matlab；归纳法21 问题简述与分析1.1问题简述 J. I. Richardson 经过为期20年的观察，记录了美国乔治亚州小坎伯兰岛的海龟 生态学资料，N. B Frazer 在此基础上，制作出一个年龄细分的生命统计表我们将 Frazer 加工后的海龟种群数据再简化为七个阶段：（1）第一年（海龟卵和雏龟）， （2）幼年期，（3）青年期，（4）初级成熟期，（5）初次繁殖，（6）第一年迁 徙并繁殖，和
5、（7）成熟繁殖期表 1 给出了海龟类型以及在每一阶段的年存活率 和年繁殖量。表表1 基于基于 Frazer 数据的海龟种群阶段生命统计表数据的海龟种群阶段生命统计表阶段类型长度(cm)持续时间(year)年生存率()i年产卵量()iF1海龟卵和雏龟87.010.8091127 6第一年迁徙并繁殖87.010.80914 7成熟繁殖期87.0300.809180（1） 建立数学模型描述海龟种群各阶段繁殖变化规律 （2） 预测该海龟种群未来将继续繁衍，还是会在不久的将来慢慢消亡？1.2 问题分析 这是一个根据海龟种群各阶段生命特征，总结其不同生长阶段繁殖规律，进而 预测种群未来存亡问题。2 数据处
6、理 简化数据，将表格中数据简化如表 2：表表2海龟种群阶段生命统计简表海龟种群阶段生命统计简表阶段持续时间(year)年生存率()i年产卵量()iF110.67470 270.78570 380.67580 460.74250 510.8091127 610.80914 7300.8091803 模型建立 3.1 模型假设 (1) 假设种群通过雌性个体的繁殖而增长，所以用雌性个体数量的变化为研究 对象； (2) 假设种群的繁殖率和死亡率不随时段变化，只于年龄组有关；3(3) 假设海龟成熟繁殖期的持续时间为 30 年。 3.2 模型建立 3.2.1 海龟种群各阶段繁殖变化规律的数学模型 将海龟按
7、生长期不同阶段分成 n=7 个年龄组。与之相对应，时间也分成与年龄 组区间大小相等的时段，记时段 k 第 i 年龄组的种群数量为 nikkxi,.2 , 1,.,2 , 1 , 0),(种群数量的变化规律由 2 个基本关系得到： kxi时段 k+1 第 1 年龄组的数量是各年龄组在时段 k 的繁殖数量之和； 时段 k+1 第 i+1 年龄组（i=1，2，n-1）的数量是时间段 k 第 i 年龄组存活 下来的数量。由此得到： ,.2 , 1 , 0,111 kkxbkxniii（1） 1.,.2 , 1,.,2 , 1 , 0,11nikkxskxiii （2）（1） ， （2）是差分方程组。记
8、种群数量在时段 k 按年龄组的分布向量为： ，2, 1 ,0k,.,n21Tkxkxkxkx （3）假设di表示第 i 个阶段的持续时间，表示该阶段的每年存活率，那么可以i证明，在第i阶段可以存活到下一年的比例是：id id i iii p 111（4） 种群可以存活且在次年进入下一阶段的比例是：iid iid i iq 11（5） 记表示第i阶段的成员 1 年内产卵的平均数，则构造矩阵：iF7665544332217654321000000000000000000000000000000pqpqpqpqpqpqFFFFFFpL（6 ）4公式(1)、(2)可以表示为： ,.2 , 1 , 0)
9、,() 1(kkLxkx当矩阵 L 和按年龄组的初始分布已知时，可以预测种群数量在时段 k 按年)0(x 龄组的分布为：0k kxL x （8）那么L可以用来预测未来几年每阶段的种群数。由（3） 、 （6） 、 （7）给出的模 型称为 Leslie 模型。 3.2.2Leslie 模型的稳态分析 利用所得 Leslie 模型的稳态分析研究时间充分长以后（即 k） ，种群的年 龄结构和数量的变化。 首先，不加证明的叙述关于 L 矩阵的两个定理。 定理 1 L 矩阵有唯一的单重正特征根 1 和正特征向量（9）Tn n1 11212 12111*/.,.,/,/1x ，其他特征根 k 满足nkk,.
10、,3 , 2,1（10） 该定理表明，L 矩阵的特征方程（11）0.112112 121 1 nnnnnnnFFFF只有一个正单根 1，且同意验证公式* 1*xLx定理 2 若 L 矩阵第 1 行有 2 个顺次的，大于 0，则定理 1（10）式中仅不等号成iF1iF立，且（8）式表示的 x（k）满足 *1limcxkxkk （12）其中 c 是由，和 x（0）决定的常数。iFi对于 Leslie 模型，定理 2 的条件通常是成立的，由此可对 k 充分大以后种群 的年龄结构和数量 x（k）做出如下分析（为方便起见 1 以下记作 ）： 1）由（12）式直接有 充分大kxckxk,* （13）表明种
11、群的年龄结构趋向稳定，各年龄组的数量占总量的比例与（9）的特征 向量一致故可称为稳定分布，它与初始分布无关*x*x 2）由（13）式又有充分大kkxkx),(1 （14）即nikkxkxi,.2 , 1,),(1i充分大 （15）（7）5表明种群年龄组的数量也趋向稳定，都是上时段同一年龄组的 倍。显然 1 时种群各年龄组的数量递增，1 时递减， 称为固有增长率。3.3 问题求解 3.3.1 海龟种群各阶段繁殖变化规律 根据表格中数据，我们得到模型的 Leslie 矩阵是：8088. 08091. 000000008091. 000000000518. 00000006907. 00147. 0
12、0000006611. 00486. 00000007371. 06747. 08041270000L假设每阶段的初始种群数分别是 =200000，=300000，=25000，=20000，=1000，=500，=5000，用1a2a3a4a5a6a7a向量 x0来表示，1 年后每阶段的种群数可以如下计算：5000500100020000250003000002000008088. 08091. 000000008091. 000000000518. 00000006907. 00147. 00000006611. 00486. 00000007371. 06747. 08041270000
13、01Lxx55.44481 .80910365 .141815 .31107356070529000为了得到 2 年后的种群数，再用矩阵 L 乘一次。 2 210xLxL x由此可知，k年后的种群数由公式给出0k kxL x6 5000500100020000250003000002000008088. 08091. 000000008091. 000000000518. 00000006907. 00147. 00000006611. 00486. 00000007371. 06747. 080412700000kkxLkx即为所求海龟种群各阶段繁殖变化规律数学模型。 3.3.2 海龟种群数
14、量未来发展趋势问题求解 根据所建数学模型代入数据即可得：T 6 12 11* /0.8091*0.8091*0.7425*0.6758*0.7857*0.6747,./0.7857*0.6747,/6747. 01x ，00.8091*0.8091*0.7425*0.6758*0.7857*0.6747*80*7425. 0*6758. 0*7857. 0*6747. 0*4*7425. 0*6758. 0*7857. 0*6747. 0*12722 nn s利用 MATLAB 软件求得特征根 =0.94501，只有一个正单根，且同意验证公式。1* 1*xLx 所以，初步预测，该海龟种群数量可能呈递减状态发展。3.3.3 归纳法研究海龟种群数量未来发展趋势 分别计算出 k=10,20,100 时，海龟种群各阶段数量，得到如下表格：表表3海龟种群阶段海龟种群阶段10年间隔数量变化表年间隔数量变化表阶段阶段初始种群初始种群10 年年20 年年30 年年40 年年50 年年60 年年
