难点24物理解题中的数学应用

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1、难点 24 物理解题中的数学应用 数学作为工具学科，其思想、方法和知识始终渗透贯穿于整个物理学习和研究的过程 中，为物理概念、定律的表述提供简洁、精确的数学语言，为学生进行抽象思维和逻辑推 理提供有效方法.为物理学的数量分析和计算提供有力工具.中学物理教学大纲对学生应用数 学工具解决物理问题的能力作出了明确要求. 难点磁场 1.(1998 年上海)用质量为 M 的铁锤沿水平方向将质量为 m、长为 L 的铁钉敲入木板， 铁锤每次以相同的速度 v击钉，随即与钉一起运动并使钉进入木板一定距离.在每次受击 进入木板的过程中，钉所受到的平均阻力为前一次受击进入木板过程所受平均阻力的 k 倍 (k1).

2、(1)若敲击三次后钉恰好全部进入木板，求第一次进入木板过程中钉所受到的平均阻力. (2)若第一次敲击使钉进入木板深度为 L，问至少敲击多少次才能将钉全部敲入木板? 并就你的解答讨论要将钉全部敲入木板，L必须满足的条件. 2.(1999 年全国)图 24-1 中，虚线 MN 是一垂直纸面的平面与纸面 的交线，在平面右侧的半空间存在一磁感应强度为 B 的匀强磁场， 方向垂直纸面向外.O 是 MN 上的一点，从 O 点可以向磁场区域发射 电量为、质量为 m、速率为 v 的粒子.粒子射入磁场时的速度可 在纸面内向各个方向.已知先后射入的两个粒子恰好在磁场中给定的 P 点相遇，P 到 O 的距离为 L，

3、不计重力及粒子间的相互作用. (1)求所考查的粒子在磁场中的轨道半径. (2)求这两个粒子从 O 点射入磁场的时间间隔. 案例探究 例 1 （）一弹性小球自 m 高处自由下落，当它与水平地面每碰撞 一次后，速度减小到碰前的 7/9，不计每次碰撞时间，计算小球从开始下落到停止运动所经 过的路程和时间. 命题意图：考查综合分析、归纳推理能力.B 级要求. 错解分析：考生不能通过对开始的几个重复的物理过程的分析，归纳出位移和时间变 化的通项公式致使无法对数列求和得出答案. 解题方法与技巧：（数列法） 设小球第一次落地时速度为 v，则：v m/s02gh那么第二，第三，第 n次落地速度分别为：vv，v

4、（）v，vn（）nv97 97 97小球开始下落到第一次与地相碰经过的路程为 m，小球第一次与地相碰 到第二次与地相碰经过的路程是：Lv（)gv 22 1 g2)97(297小球第二次与地相碰到第三次与地相碰经过的路程为 L，L（）gv 22 2 97图 24-1由数学归纳法可知，小球第 n 次到第 n次与地相碰经过的路程为 Ln：Ln（）n97故整个过程总路程为： +（LLLn）10（）（）（）n97 97 97可以看出括号内的和为无穷等比数列的和.由等比无穷递减数列公式 Sn得：qa 1110 m20.3 m22)97(1)97(小球从开始下落到第一次与地面相碰经过时间：t002 gh小球

5、第一次与地相碰到第二次与地相碰经过的时间为：tgv1 97同理可得：tn（）n 97tttttn（）（）（）n97 97 97（）.97197例 2 （）如图 24-2 所示，轴右方向有方向垂直 于纸面的匀强磁场，一个质量为 m，电量为的质子以速度 v 水平 向右通过轴上 P 点，最后从轴上的 M 点射出磁场.已知 M 点到 原点 O 的距离为 H，质子射出磁场时速度方向与轴负方向夹角 ，求： (1)磁感应强度大小和方向. (2)适当时候，在轴右方再加一个匀强电场就可以使质子最终能沿轴正方向做匀速 直线运动.从质子经过 P 点开始计时，再经多长时间加这个匀强电场?电场强度多大?方向如 何? 命

6、题意图：依质子在复合场中运动为背景，设置命题，考查综合运用数学知识解决物 理问题的能力.B 级要求. 错解分析：考生无法运用几何关系来确定带电粒子匀速圆周运动的圆心位置，进而没图 24-2能据几何关系求出半径，无法画出所求示意图，致使无法对整个物理过程作深刻的分析求 解. 解题方法与技巧：(1)先找圆心.过 M 点和 P 点的切线作垂线，其交点即为粒子做匀速 圆周运动的圆心，则由几何关系，设粒子运动半径为，有：cos，得32又由，B，方向垂直于纸面向里.qBmv qrmv Hqmv 23(2)沿轴正方向做匀速直线运动，说明 v应沿方向，由左手定则，F洛水平向左 (沿方向).则应水平向右(沿方向

7、).这样方向不受力，粒子做匀速直线运动，满足Bv，所以应从点经时加这个匀强电场，其场强 E：周期 41 qBm2 vH 34经 t v Bv41 vH 3 TH 34 Hqmv 232锦囊妙计 一、高考命题特点 高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用，借助物理知识渗透考查数学能力 是高考命题的永恒主题.可以说任何物理试题的求解过程实质上是一个将物理问题转化为数 学问题经过求解再次还原为物理结论的过程. 二、数学知识与方法 物理解题运用的数学方法通常包括方程(组)法、比例法、数列法、函数法、几何(图形 辅助)法、图象法、微元法等. 1.方程法 物理习题中，方程组是由描述物理情景中的物理概念

8、，物理基本规律，各种物理量间 数值关系，时间关系，空间关系的各种数学关系方程组成的. 列方程组解题的步骤 (1)弄清研究对象，理清物理过程和状态，建立物理模型. (2)按照物理情境中物理现象发生的先后顺序，建立物理概念方程，形成方程组骨架. (3)据具体题目的要求以及各种条件，分析各物理概念方程之间、物理量之间的关系， 建立条件方程，使方程组成完整的整体. (4)对方程求解，并据物理意义对结果作出表述或检验. 2.比例法 比例计算法可以避开与解题无关的量，直接列出已知和未知的比例式进行计算，使解 题过程大为简化.应用比例法解物理题，要讨论物理公式中变量之间的比例关系，清楚公式 的物理意义，每个

9、量在公式中的作用，所要讨论的比例关系是否成立.同时要注意以下几点：(1)比例条件是否满足：物理过程中的变量往往有多个.讨论某两个量比例关系时要注意 只有其他量为常量时才能成比例. (2)比例是否符合物理意义：不能仅从数学关系来看物理公式中各量的比例关系，要注意每个物理量的意义(例：不能据 R认定为电阻与电压成正比).IU(3)比例是否存在：讨论某公式中两个量的比例关系时，要注意其他量是否能认为是不变量，如果该条件不成立，比例也不能成立.(例在串联电路中，不能认为中，PRU2与 R 成反比，因为 R 变化的同时，U 随之变化而并非常量) 3.数列法 凡涉及数列求解的物理问题具有多过程、重复性的共

10、同特点，但每一个重复过程均不 是原来的完全重复，是一种变化了的重复，随着物理过程的重复，某些物理量逐步发生着 “前后有联系的变化”.该类问题求解的基本思路为： (1)逐个分析开始的几个物理过程 (2)利用归纳法从中找出物理量的变化通项公式(是解题的关键)，最后分析整个物理过 程，应用数列特点和规律解决物理问题；无穷数列的求和，一般是无穷递减等比数列， 有相应的公式可用. 4.圆的知识应用 与圆有关的几何知识在物理解题中力学部分和电学部分均有应用，尤其带电粒子在匀 强磁场中做圆周运动应用最多，其难点往往在圆心与半径的确定上，其方法有以下几种： (1)依切线的性质定理确定：从已给的圆弧上找两条不平

11、行的切线和对应的切点，过切 点做切线的垂线，两条垂线的交点为圆心，圆心与切点的连线为半径. (2)依垂径定理(垂直于弦的直径平分该弦，并平分弦所对的弧)和相交弦定理(如果弦与 直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项)来确定半径：如图 24-3. 由 BCCE（RC）得 RCEEB 222CE也可用勾股定理得到： B（CC）B，R2（RC）B得，R.CEEB 222CE此两种求半径的方法，常用于带电粒子在匀强磁场中运动的习题中. 歼灭难点训练 1.（）如图 24-4 所示，三块完全相同的木块，紧挨着固定在水 平地面上，一颗水平飞来的子弹穿过三块木块后速度恰好恒定，子弹所受

12、阻力恒定.若以 t、t、t分别表示穿过第 1、2、3 块木块所用的时间，则 ttt的比值为 A. B. 132C.（）（）322D. 2.（）如图 24-5 所示，两光滑斜面的总长度相等，高度 也相等，两球由静止从顶端下滑，若球在图上转折点无能量损失，图 24-3图 24-4则有 A.两球同时落地 B.球先落地 C.两球落地时速率相等 D.球先落地3.（）(比例法)如图 24-6 所示，光滑的半球形物体固定在 水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，轻绳的一端系一小球， 靠放在半球上的 A 点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止.现 缓慢地拉绳，在使小球沿球面由 A 到 B 的过程中，半球

13、对小球的支持 力 N 和绳对小球的拉力 T 的大小变化情况是 A.N 变大，T 变小 B.N 变小，T 变大 C.N 变小，T 先变小后变大D.N 不变，T 变小 4.（）当交叉路口的绿信号灯开亮时，一辆轿车以 2 m/s2的恒定加速度由静 止开行，同一时刻，有一辆货车以 10 m/s2的恒定速度从它旁边开过（不计车身长）.求轿 车追上货车前何时两车相距最远？ 5.（）如图 24-7 所示，小球从长为 L 的光滑斜面顶 端自由下滑，滑到底端时与挡板碰撞并反弹而回，若每次与挡板碰 撞后的速度大小为碰撞前的 4/5，求小球从开始下滑到最终停止于 斜面下端时，物体一共通过的路程. 6.（）如图 24

14、-8 所示，离子枪射出方向为长度的 平行金属板 MN 和 PQ 之间的中线，离子枪距金属板水平距离为， 整个装置处在磁感应强度为 B 的方向向里的匀强磁场之中，初速为 零的负离子经过电势差为 U 的电场加速后，从离子枪 T 中水平射入磁场.(不考虑重力作用)求：离子荷质比（、m 分别是离子的电mq量与质量）在什么范围内，离子才能打在金属板上? 难点 24 物理解题中的数学应用 难点磁场1.（1） (2),L1(1-)L222 02)(2)1 (LkmMkkvMkkLL1lg)11 (-lg11k12.(1)R= (2)t=arccos()qBmv qBm4 mvqBL 2歼灭难点训练 1.C图

15、 24-5图 24-6图 24-7图 24-82.此题根据机械能守恒定律，判断选项 C 是正确的比较容易， 但其他三项用公式计算方法来求解是比较复杂的.以下用图象法来讨论. 如图 24-1 所示，因为 a、两球运动的路程相同，所以，两条运动折线与横坐标所围的面积相等.末速度的大小相同，为，两条折线的顶点一样高.加速度开始比 a 大，gh2在转折点时比 a 大，最后两个小球的速度大小要相等，所以，球的折线始终在 a 球折 线的上面，要使两个折线所围的面积相等，必须 tta，得答案 B. 3.D 4.5 s 5.物体在斜面上下滑和反弹而回的加速度相等，设为 a.物体第一次碰撞前后速度及反 弹路程分别为：v v1v L（）LaL254 av 22 1 54物体第二次碰撞前后速度及反弹路程分别为：v v2v. L（）L.物体第 n 次碰撞12aL5412aL54 av 22 2 54前后