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1、佳洁空间向量与立体几何空间向量与立体几何一、选择题和填空题一、选择题和填空题1 （海淀（海淀理科理科题题 5） （海淀（海淀文科文科题题 6）一个体积为的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为（ ）12 3A B C D6 388 312主 5 主【解析解析】A； 设该三棱柱底面边长为，高为，则左视图面积为由三视图可得：ah2 3h，解得2312 34 32 32a ha 4 3a h 于是为所求2 36 3h 2 （丰台（丰台理科理科题题 10） （丰台（丰台文科文科题题 9） 若一个正三棱柱的三视图及其尺寸如下图所示（单位：） ，cm主 主 主主 主 主主 主 主32 6则
2、该几何体的体积是 3cm【解析解析】；24 322332 6324 344sin60VS hah3 （石景山（石景山理理题题 4） （石景山（石景山文文题题 4）一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：）为（ ）2cm A B C D80604020佳洁【解析解析】A；几何体如图，是正四棱锥，底边长 ，侧面底边上的高为，因此侧面积为8518 54802 4 （西城（西城理理题题 8）如图，平面平面，=直线 ，是内不同的两点，是内不同的两点，且Il,AC,BD直线 ，分别是线段的中点下列判断正确的是（ ）,ABCDl,MN,ABCDA当时，两点不可能重合| 2|CDAB,MNB两
3、点可能重合，但此时直线与 不可能相交,MNAClC当与相交，直线平行于 时，直线可以与 相交ABCDAClBDlD当是异面直线时，直线可能与 平行,ABCDMNllNMDCBA【解析解析】B； 若两点重合，由知，从而平面，故有，,MN,AMMBCMMDACBDACACl 故 B 正确5 （西城（西城文文题题 8）如图，平面平面，=直线 ，是内不同的两点，是内不同的两点，且Il,AC,BD直线 ，分别是线段的中点下列判断正确的是（ ）,ABCDl,MN,ABCDA当时，两点不可能重合| 2|CDAB,MN佳洁B当时，线段在平面上正投影的长度不可能相等| 2|CDAB,ABCDC两点可能重合，但此
4、时直线与 不可能相交,MNAClD当与相交，直线平行于 时，直线可以与 相交ABCDAClBDllNMDCBA【解析解析】C；若两点重合，由知，从而平面，故有，,MN,AMMBCMMDACBDACACl故 C 正确6 （东城（东城理理题题 9） 下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为 主 主 主主 主 主 主 主 主主 主 主 主 主 主222211【解析解析】；4 3由俯视图得此三棱锥的底面三角形面积为，又高为，故体积为224 37 （东城（东城文文题题 3） 已知某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积是（ ）A B C D62 26252 252佳洁主 主 主主 主 主主 主
5、 主122111【解析解析】C； 由三视图知该几何体为一个底面为等腰直角三角形的直三棱柱，它的表面积为1(1 12)221 152 22 8 （宣武（宣武理理题题 10）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是 3cm1112210主 主主 主 主主 主 主主 主 主【解析解析】6； 几何体如图所示，正面为的正方形，侧面为直角梯形，两个底边长分别为 和，因此2212不难算出体积为3122262 cm9 （宣武（宣武文文题题 11） 若将下面的展开图恢复成正方体，则的度数为 ABC佳洁11主 主CBA【解析解析】；60 恢复的图形如图，是正三角形，ABC60ABCCBA10
6、（崇文（崇文理理题题 5） （崇文（崇文文文题题 6）已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的为 ( ),m n, A若则 B若则, ,mnmnC若，则 D若则,mnmn,mm【解析解析】B； A 中可以是任意关系；B 正确；C 中平行于同一平面，其位置关系可以为任意D,m n 中平行于同一直线的平面可以相交或者平行11 （崇文（崇文文文题题 3） 有一个几何体的三视图及其尺寸如图（单位：） ，该几何体的表面积和体积为（ ）cmA B C D以上都不正确2324cm ,12cm2315cm ,12cm2324cm ,36cm主 主 主主 主 主 主 主 主主 主 主 主 主 主56
7、佳洁【解析解析】A； 易知几何体为母线长为 5cm，底面直径为 6cm 的圆锥于是表面积为；体积为2 3 5 315+924 21 3412312 （朝阳（朝阳理理题题 4） 一个简单几何体的正视图，侧视图如图所示，则其俯视图不可能为长方形；正方形；圆； 椭圆其中正确的是（ ） AB CD主 主 主主 主 主2232【解析解析】B； 易知其俯视图可能为边长为 3，2 的矩形；亦可能为半长轴为 3，半短轴为 2 的椭圆13 （朝阳（朝阳理理题题 8）一个空间四边形的四条边及对角线的长均为，二面角的余弦值为，则ABCDAC2DACB1 3下列论断正确的是 （ ） A空间四边形的四个顶点在同一球面上
8、且此球的表面积为ABCD3 B空间四边形的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为ABCD4C空间四边形的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为ABCD3 3 D不存在这样的球使得空间四边形的四个顶点在此球面上ABCD【解析解析】A；易知四面体为边长为的正四面体容易计算有其外接球的半径为于是外接ABCD23 2球的表面积为2343214 （朝阳（朝阳文文题题 8）如图，设平面，垂足分别为，且，如果增加一个条件,EFABCDI,B DABCD 就能推出，给出四个条件：；与在内的正投影在同BDEFACACEFACBD 一条直线上；与在平面内的正投影所在直线交于一点 那么这个条件不可能是（ ACBD ）
9、A B C D佳洁FEDCBA【解析解析】D； 在的条件下，均有BDEF 若能证明面由面，则可证明EF ABCDBD ABCDBDEF中又由，知面ACACEFEFADEF ABCD 中由，知面ACEFABEFEF ABCD 由面在内的正投影为直线，知面ABCDABCD又面，知面ABCDEFIEF ABCD15 （朝阳（朝阳文文题题 12） 如下图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图是边长为 1 的正方形，俯视图是一个直径为 1 的圆， 那么这个几何体的全面积为 侧 侧 侧侧 侧 侧侧 侧 侧【解析解析】3 2 易知该几何体是底面直径为 1，高为 1 的圆柱于是其全面积为213 1 1222 二
10、、解答题二、解答题16 （海淀（海淀理科理科题题 17） 如图，三棱柱中，侧面底面，111ABCABC11AAC CABC112AAACACABBC 且，为中点ABBCOAC 证明：平面；1AO ABC求直线与平面所成角的正弦值；1AC1A AB佳洁在上是否存在一点，使得平面，若不存在，说明理由；若存在，确定点的位1BCE/OE1A ABE 置【解析解析】证明：因为，且为的中点，所以11A AACOAC1AOAC又由题意可知，平面平面，交线为，且平面，11AAC C ABCAC1AO 11AAC C所以平面1AO ABC如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系O1,OBOCOA,xy
11、z由题意可知，又112A AACAC,ABBCABBC1,12OBAC所以得：，0 , 0 , 0O0 ,1 , 0A10 , 0 ,3A0 , 1 , 0C10 , 2 ,3C，则有：1 , 0 , 0B， 10 , 1 ,3AC uuu u r10 , 1 ,3AA uuu r(1 , 1 , 0)AB uuu r设平面的一个法向量为，则有1AAB,xyzn，令，得，1030 00AAyz xyABuuu ruuu rnn1y 1x 3 3z 所以31 , 1 ,3 n1 1 121cos,7|ACACACuuu u ruuu u ruuu u rnn|n因为直线与平面所成角和向量与所成锐
12、角互余，1AC1A ABn1ACuuu u r所以21sin7设，000,Exyz1BEBCuuu ruuu u r即，得0001 ,1 , 2 ,3xyz000123xyz 所以，得1, 2,3E1, 2,3OEuuu r佳洁令平面，得，即，得，/OE1A AB= 0OE uuu rn120 1 2即存在这样的点，为的中点EE1BC17 （海淀（海淀文科文科题题 17） 如图：在四棱锥中，底面是菱形，平面，PABCDABCD60ABCPA ABCD 点、分别为、的中点，且MNBCPA2PAABNMACBP证明：平面；BC AMN 求三棱锥的体积；NAMC 在线段上是否存在一点，使得平面；若存
13、在，求出的长；若不存在，说明PDENM ACEPE 理由 【解析解析】因为为菱形，所以ABCDABBC 又，所以，60ABCABBCAC 又为中点，所以MBCBCAM 而平面，平面，所以PA ABCDBC ABCDPABC 又，所以平面PAAMAIBC AMN因为1133 1222AMCSAM CM 又底面，所以PA ABCD2PA 1AN 所以，三棱锥的体积NAMC1 3V AMCSAN1331326 存在 取中点，连结，PDENEECAE因为，分别为、中点，所以且NEPAPDNEAD1 2NEAD又在菱形中，ABCDCMAD1 2CMAD所以，即是平行四边形NEMCNEMCMCEN 所以，又平面，平面/ /NMECEC ACENM ACE 所以平面，即在上存在一点，使得平面，MN/ /ACEPDENM ACE此时122PEPD18 （丰台（丰台理科理科题题 16） 如图，在底面是正方形的四棱锥中，面，交于点，是中点，PABCDPAABCDBDACEFPC 为上一点GAC 求证：；BDFG 确定点在线段上的位置，使/平面，并说明理由GACFGPBD佳
