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1、1目录1 引言.1 12 数学变换思想在代数中的应用.22.1 恒等变换及其应用.22.2 换元变换及其应用.32.3 三角函数变换及其应用.43.数学变换思想在几何中的运用.53.1 函数图象变换及其应用.63.2 几何中的相似变换及其应用.83.3 几何中的对称变换及应用.103.4 几何中的划归思想及应用.114 结论.13参考文献.14致谢.1521 引言自 20 世纪末，教育对现代化的基础作用日益凸现，要发展经济首先要发展教育，已是国人的共识。为发展教育，数学教育研究应时发轫，并出现了百花齐放的局面。数学教育与数学思想方法成了数学界内外的话题。关于数学思想方法的研究始自 20 世纪
2、40 年代，数学家波利亚著有怎样解题 ，20 世纪 80 年代徐利治教授在大学数学系开设“数学方法论” ，著有数学方法论选讲 。自此，数学方法的研究不断深入。关于数学思想方法，北京师范大学钱佩玲教授指出：“数学思想方法是以数学内容为载体，基于数学知识，又高于数学知识的一种隐性知识” 。 “是处理数学问题的指导思想和基本策略，是数学的灵魂“。数学思想方法是一种指导思想和普遍适用的方法。数学本身作为一种科学，具有严谨性、逻辑性、简洁性、可靠性的特点。对思想方法的研究，有益于数学本身的研究，同时，数学是一种文化，是一种态度。美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题.而当我们在解题过程
3、中碰到一个新问题时，总想能够用自己熟悉的知识去解决，这很自然地让我们想起用数学变换思想。只有对数学思想、数学方法理解透彻并能够融会贯通时，我们都才能提出新看法、巧解法. 我们应该牢记，在数学学习中“知识”是基础， “方法”是手段， “思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”.中学数学试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是考查能力的试题,其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。每年高考中也包含着大部分要结合数学变换思想来解答的题目，特别是像一些几何问题，需要借助图形变换来解答等等。这也是我研究此类题目的关系使然。本文主要是在前者对数
4、学思想方法研究的基础上，通过实际生活中数学变换思想的一些应用，提出了现代数学学习重点强调的是数学思想方法的掌握和应用.希望能引起同学们对解题策略的重视.文中讨论了一些常见的数学问题应用变换思想的例子，主要引用以下几种变换如对称变换，换元变换、三角函数变换、等价转化法等等.32 数学变换思想在代数中的应用解题方法即解题技巧，可以帮助答题者以最有效率的方式得到答案.在数学考试中试题数量日益变大的形势下，如何能够利用变换思想更解答问题，提高解题效率成为考试成功与否的关键所在.解题方法多种多样，现在我们来看一个技巧性较高的方法-恒等变换。2.1 恒等变换及其应用这种方法的特点是，将复杂的问题通过表达形
5、式的恒等变换转化成容易解决的问题，俗称“剥去华丽外表，还原简单内核”。例1：求，其中， 242lim 111. 1nxxxxx 1x 分析：利用恒等变换得= 242111. 1nxxxx，即将即将所求较复杂形式的数列极限112482224211111.11111nnnxxxxx xxxxx转化成了简单形式的数列极限， 易得= 242lim 111. 1nxxxxx =， （）。121lim1nxx x 1 1x1x 注：这种变换在平时解题中很容易看出来，但技巧性较强，应多加运用。且这种方法应用范围较为狭窄，下面我们认识一种挺普遍的解题方法-换元变换。2.2 换元变换及其应用解数学题时，把某个式
6、子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法.换元的实质是转化，即将复杂的式子或者条件化为简单的若干整体，其关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，问题变得容易处理.换元法通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来.或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化.它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用.换元的主要方法有：局部换元、三角换元、均值换元等.4例 2 ：设
7、实数满足，则的取值范围是_.xy、2210xxy xy分析 ：本题如果我们直接进行求解或是采用配方法，难度较大.所以我们考虑利用换元思想.解 ：设，y=k-x,带入原式得, ,所以xyk2210xkx 2440k 或.1k 1k 注 ：在平时学习中数学变换思想的应用也是数学素质训练的一个重要部分。例3：求函数满足条件的最小值。222, ,f x y zxyz12123yzx 分析：引入参数，设x-1=t,从而x=t+1,y=2t-1,z=3t+2.于是有=，由一元二次222, ,f x y zxyz22221213214106ttttt函数知识可知，当时，函数取值最小值。消去参数t，便得到5
8、14t 时，函数在满足所给的条件下有最91213,14714xyz 222, ,f x y zxyz小值，且最小值为。222 2229121359 1471414xyz 注：此题通过引入参数，进行换元变换，将求极值问题转化为求一元二次函数的最小值，比较简洁易懂。2.3 三角函数变换及其应用在高考中，有一类题型是每年必不可少的，那就是三角函数及其应用。三角函数变换公式，尤其是和角、差角、倍角公式在高中数学竞赛或者高考中起着尤为重要的作用,这一部分的试题常常新颖别致，灵活多样，虽然易懂，但方法难想。我们借助实例来谈谈这类问题的解题策略。常用的变换有： ( 1) 常值代换：特别是用“1”的代换，如1
9、=+=tancot 2cos2sin=tan45， 用正弦定理代换等。( 2)项的分拆与角的配凑： 如分拆项：+2 =(+)+2sin2cos2sin2cos=1+。配凑角：=(+)- , = +2- - 等。2cos2cos( 3) 降次：即用二倍角公式降次。5一般的考察三角函数的题型，都需要结合几种三角函数变换来解题，比较综合。以下我们举两个个例子来分析说明, 细心的读者可以从中品位出对应的解题策略。例4：在ABC中,a,b,c是三个内角A,B,C的对边,若等式( )sin(A- B)=( 22ab)sin(A+B)成立,试判断ABC的形状。22ab分析：该题只给我们了一个恒等式，我们应该
10、学会用三角函数变换思想来把等式简化，从而得出三角形中角的关系。解: 由正弦定理得:= =2R。sina Asinb Ba=2RsinA, b=2RsinB,已知等式化为:(+)sin(A- B)=( -)sin(A+B),224sinRA224sinRB224sinRA224sinRB sin(A- B)- sin(A+B) =- sin(A+B)+sin(A- B) ,2sin A2sin B- 2cosAsinB=- 2sinAcosB。2sin A2sin B,0,A BQsinA0, sinB0,2sinAcosA=2sinBcosB,sin2A- sin2B=0,2cos(A+B)s
11、in(A- B)=0,cos(A+B)=0或sin(A- B)=0。, ,0ABQABA+B= , A- B=0,2C= 或A=B,2ABC是直角三角形或等腰三角形。注：此例题通过运用三角函数的基本变换公式和三角形的一般知识，将题目中6较隐晦的条件提取出来，使问题得以解决，该变换思想较为简单。例5：（1997年“希望杯”邀请赛试题)函数的值域是（ ）1 cos sincos2xyxx解：用万能公式，原函数化为， 22tan2tan322yxx 。为实数， 故0, 即42)0, 即2tan2 tan(32)022xxyyytan2xQ，0y1。244320yyy当y=0，1时函数有对应的x值，故
12、。0,1y注：该竞赛题巧妙地利用三角函数的变换思想来很好的转化了解题目的，对数学能力的提高有很大的帮助。3 数学变换思想在几何中的运用前面我们简单论述了变换思想在代数中的应用，但我们知道，数学由代数和几何两大部分组成。为了内容上的完整性，我们现在来讨论变换思想在几何中的应用。在研究和解决数学问题时，采用迁回的手段来达到目的方法，称之为数学变换方法，其思维特征是利用变换，复杂问题向简单问题转化，使难的问题向容易的问题转化，使未解决的问题向已解决的问题转化，这也正是转化思想在解题中的具体体现，灵活、有效地利用好变换方法，对于活跃数学思维, 提高解题技巧是非常有益的。变换观点是现代数学的重要观点。在
13、现行初中教材中，虽未系统涉及变换的理论，但许多章节在研究图形的性质时，已介绍了不少与变换有关的概念，如中心对称、轴对称、相似形、位似形等。因此，在教学中可充分挖掘这些内容，有意识地渗透变换思想，主要应抓住两方面的问题：一是用变换思想指导解题;2是用变换观点来认识有关图形及其性质。3.1 函数图象变换及其应用函数图象是以图形来描述函数性质的，它能直观地反映函数所蕴含的基本关系。正确理解和熟练掌握函数图象变换的规律，能有效的增强我们对图形变化的认识，把握住问题的关键，提高解题的能力。以下是几种常见的函数图象变换关系：1：平移变换7（1） 水平平移（a0）的图象, 可由的图象向左(+ ) 或yf xa yf x向右(- ) 平移a 个单位而得到。( 2) 竖直平移：(b0)的图象，可由的图象向上( + ) 或 yf xb yf x向下( - ) 平移b 个单位而得到。例6：已知函数是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=2对称，且当 f x时， =，则当时，的解析式为（ ）2,2x f x21x6, 2x f x分析：先画出时的图象，再作出其关于x= 2对称的图象, 得到2,2x 在( 2, 6)的图象，再作出此图象关于y 轴对称的图象，得在 f x f x的图象。如图可知，。6, 2 241
