《修正偏差原理下快速求解初始数据均有扰动的第一类fredholm积分方程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《修正偏差原理下快速求解初始数据均有扰动的第一类fredholm积分方程（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2 0 1 5 年 6月 高等 学校计算数 学学报 第 3 7卷第 2期 修正偏差原理下快速求解初始数据均有扰 动的第一类F r e d h o l m积分方程 杨旭 罗兴钧 杨素华 ( 赣南师范学院 数学与计算机科学学院， 赣州 3 4 1 0 0 0 ) 李繁春 ( 江西应用技术职业学院基础教学部， 赣州 3 4 1 0 0 0 ) A FAST M U L TI SCA LE M ETH oD FoR THE F REDHOL M I NTEGRAL EQUATI ON W I TH N oN EXA CTI GI VEN I N PUT D ATA VI A M oDI FI ED D
2、 I SCREPAN CY PRI N CI PLE Ya n g Xu L u o Xi n g j u n Y a n g S u h u a ( S c h o o l o f Ma t h e ma t i c s a n d C o mp u t e r S c i e n c e ， Ga n n a n N o r ma l U n i v e r s i t y , G a n z h o u 3 4 1 0 0 0 ) Li F a n c h u n ( De p a r t me n t o f B a s i c T e a c h i n g Mi n i s t r
3、 y , J i a n g x i V o c a t i o n a l C o l l e g e o f A p p l i e d T e c h n o l o g y ， G a h z h o u 3 4 1 0 0 0 ) Abs t r ac t I n t h i s pa p e r we d e ve l o p a f a s t mu l t i s c a l e t r un c a t i o n m e t ho d f o r s o l v i ng t h e F r e d ho l m i n t e g r al e q ua t i o n
4、o f t h e fi r s t k i nd wi t h n o ne xa c t l y g i ve n i np ut da t aThe c o n v e r g e nc e r a t e s for t he a pp r o xi m a t i o n s o l u t i o n s a r e a c hi e v e d by us i ng t he mo di fi e d d i s c r e pa n c y pr i nc i pl e a s a po s t e r i o r i pa r a me t e r s s e l e c t
5、 i o n s t r a t e g y Nume r i c a l e x pe r i me nt s a r e g i v e n t o i l l u s t r a t e t h e e ffic i e n c y o f t he me t ho d 国家 自 然科学基金 ( 1 1 0 6 1 0 0 1 ， 1 1 3 6 1 0 0 5 ) ； 江西省自 然科学基金 ( 2 0 1 1 4 B A B 2 0 1 0 1 4 2 0 1 5 1 B A B 2 0 1 0 1 1 ) 收稿 日期： 2 0 1 3 0 4 2 2 1 1 2 杨旭等：修正偏差原理
6、下快速求解初始数据均有扰动的第一类 F r e d h o l m 积分方程 第 2期 Ke y wo r ds F r e d h o l m i n t e g r a l e q u a t i o n ， mu l t i s c a l e p r o j e c t i o n me t h o d ， mo d i fi e d di s c r e p a nc y p r i nc i p l e ，Ti k h on o v r e g ul a r i z a t i o n AMS ( 2 0 0 0 )s u b j e c t c l a s s i fi c a
7、t i o n s 6 5 3 2 0 6 5 J 1 0 中图法分类号 O1 7 1 引 言 第一类 F r e d h o l m型积分方程的求解有广泛的应用背景 如图象处理、 信号处理、 地 球物理、 遥感技术、 模式识别等众多科学技术领域 中均会遇到第一类 F r e d h o l m型积分方 程的求解问题 但是第一类 P r e d h o l m积分方程的求解是一个典型的病态问题 数值计算 对舍入误差非常敏感， 数值结果不连续依赖于初始数据， 要得到稳定的数值解要采用正则 化方法 对于如何快速进行数值计算， 研究结果有一些 1 - 5 ， 但还有许多问题可以研究， 比 如对于积分
8、核有扰动的情形， 研究的成果很少 】 本文将文献 1 的算法推广到初始数 据均有扰动的情形， 即采用多尺度截断投影方法快速求解初始数据均有扰动的病态积分 方程， 并且分析其计算复杂度和收敛率 应用修正的偏差原理作为后验参数选择策略， 并 证明其近似解达到最优收敛阶 2 多尺度 Ga l e r k i n方法 设 E是 ( d 1 )中的一个有界 闭集， 是 H i l b e r t空间 L 。 ( E) ， 其 内积与范数分别 为 ( - ， ) ， l1 1I 令 K ： 是紧线性算子， 定义为 ( Kx ) ( s ) ： = ( s ， t ) x ( t ) d t ， s E，
9、J E 其 中核函数 kC( E E) 考虑第一类 F r e d h o l m 积分方程 Kx=Y ， ( 2 1 ) 其中 Y 是 已知函数， X 是待求函数 假设 n( K) 不是 闭集， 于是方程 ( 2 1 ) 是不适 定， 即它的最小范数解不连续依赖于右端数据 为了得到方程 ( 2 1 ) 的稳定解， 需要将方 程 ( 2 1 ) 正则化 在实际应用中， 只能得到 与 Y的一个近似 c ( x) 与 Y ， 满足 不等式 l l Kh l I h ， 1 l 一Y l l ， ( 2 2 ) 2 0 1 5 年 6月 高 等 学 校 计 算 数 学 学 报 1 1 3 其中 h0
10、 ， 0 于是， 实际问题 中， 求解的是如下的算子方程 Kh x=Y 6 ( 2 3 ) 对于给定的 ， ) ， 我们要构造有效的有限维空间的解去逼近方程 ( 2 1 )的最小范数 解 十 为了得到近似解的最优收敛率，假设 t E M ，P = =( K ) ， 1I lI ， 0 ， 0 m ax c 一1 Y l a x 一 ( 州， ) ( “ 一 ) c 一( + ) d i 2 一 2 ” A U 札 u n = 2 0 1 5 年 6月 高 等 学 校 计 算 数 学 学 报 1 1 9 类似 地， l I 1 c 一 ( 州 d 一 因此有 ll i lI2 、 I1 t ll
11、o 。 lI t I11 c 一 件 ( 3 4 ) 结合式子 ( 3 3 ) 和 ( 3 4 ) ， 可知 几 I ( ( A h ， 一 A h ， ) u ， v ) l Ilu ll lH c 一 i EZ +1 =n-i + l c ( n+1 ) - n k d l 】 这样， 可以得到 IlA ， 一 五， ll = s u p l ( ( h ， 一 五， ) 乱 ， v ) l c ( n +1 ) 一 d l l= lI =1 以下证 明 ( 3 2 ) 易知 A Ah， =( A ) +( 一A h ， ) +( h ， 一A h ， ) ， 由 I 1 l l =1以及
12、条件 ( V) 可以得到 A l l =I I AP 礼 I I ( IP ) AI I +I I P I I I I A( IP ) l l ( 3 5 ) =2 11 ( 1 一R) ll c - k n 由于算子 K ， Kh 是有界算子， 且 ll Kh ll h ， lIg 一 刘 h ， 故有 一Ah ， I l =l l h =lIR a ( AA h ) P 礼 I1 ( h ) ll +ll ( 一K, ) K h P n ， 有 I J 景 一 II =0 ( ( + ) ) ， 一0 ， h 一0 ( 3 1 6 ) 证明由 ( 2 4 ) 可以证明， 存在正常数 c ，
13、 使得 ll 一x * lI c _l ll ( 3 1 7 ) 对于 0 ， h0 ， 根据引理 3 1可知存在一个正整数 0 使得当 No时， m x ll A h ， 一 h ， ll ， IIA一 ， I1) c o c 1 ( + ) 南 1 2 2 杨旭等： 修正偏差原理下快速求解初始数据均有扰动的第一类 F r e d h o l m积分方程 第 2期 由 的选择可知， 满足定理 3 3的条件 由定理 3 3和 ( 3 1 7 ) ， 有 盘 I+ 去+ 南+ II(P 一 氟 n ) ( 3 1 8 ) 由引理 3 1 ， 可知存在常数 c 20以及正整数 N No使得当 nN
14、 时， 有 ff( 一五， ) x t il c 2 ( + ) ( 3 1 9 ) 结合 ( 3 1 8 ) ， ( 3 1 9 ) 和 的选取， 可以得到 ( 3 1 6 ) 4 基于截断策略的偏差原理 以下， 利用文献 7 】 提出的偏差原理， 提出与压缩算法匹配的修正的后验参数选择原 理 选择正则化参数 ： = ( ， h ， 佗 ) 使得 嚣： 一 = ， p ， q 0 ( 4 ， 1 ) 对于足够大的 n成立 为了分析近似解的收敛率， 作以下假设 ( V I ) 存在两个数列 ( ) ： n 0 ) 和 ( ) ： 礼 0 ) 满足 ( ) 一 0 ， ( 九 ) 一 0 ，佗一
15、 。 。 ， h一 0 ， ( 4 2 ) 使得 m a x ll A h ， 一A h ， Il， llAA ， II ( ) ( 4 3 ) 和 Il( h 一 h ， ) t lI ( ) ( 4 4 ) 以下证明存在一个正数 满足方程 ( 4 1 ) ，即方程 ( 4 1 ) 有解 定理 4 1 假设条件 ( I ) ( V I ) 成立， P ， q ， 5 0与 0是正数， 对任意的 ( 0 ， 5 o ， h ( 0 ， h o ， 存在一个正整数 N=N( 5 ， ) ， 当 nN时， 方程 ( 4 1 ) 有一个解 证明 首先， 对于 0 ， h 0和 nN ， 在 7 ( h
