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1、复合函数1、复合函数的定义定义：如果y是u的函数，记为y=f(u),u 又是x的函数，记为u=g(x),且g(x)的值域与f(u)的定义域的交集不空，则确定了一个y关于x的函y=fg(x),这时y叫x的复合函数，其中u叫中间变量，y=f(u)叫外层函数，u=g(x)叫内层函数. 即：x u y2、复合函数的定义域若复合函数y=fg(x)，外函数y=f(u)，内函数u=g(x)：(1)f(x)的定义域就是g(x)的值域.若f(x)的定义域为D，则y=fg(x)的定义域是使 有意义的x的集合.(2)y=fg(x)的定义域为D，则g(x)在D上的取值范围(g(x)的值域)即为f(x)的定义域.3、复
2、合函数的性质引理1：已知函数y=fg(x)，若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数。引理2：已知函数y=fg(x)，若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数。引理3：已知函数y=fg(x)，若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数y=fg(x)在区间(a,b)上是减
3、函数。引理4：已知函数y=fg(x)，若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=fg(x)在区间(a,b)上是减函数。复合函数的单调性若u=g(x)增函数减函数增函数 减函数y=f(u)增函数减函数减函数 增函数则y=fg(x) 增函数增函数减函数 减函数规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数。 “同增异减”例题1、求 的单调区间.复合函数的单调性小结复合函数y=fg(x)的单调性可按下列步骤判断： (1) 将复合函数分解成两个简单函数：y=f(u)与u=g(x)。其中y=f(u)又称为外层函数, u=g(x)称为内层函数; (2) 确定函数的定义域； (3) 分别确定分解成的两个函数的单调性； (4) 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数y=fg(x)为增函数； (5) 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数y=fg(x)为减函数。 复合函数的单调性可概括为一句话：“同增异减”。
