信号与线性系统07

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1、CS 2012春 信号与系统Lecture 07 第三章:连续信号的正交分解 非周期信号的傅里叶变换 郭红星 华中科技大学计算机科学与技术学院2012-4-24 Lecture 07-非周期信号的傅里叶变换信号与系统,2012春 郭红星2信号分解的意义 信号的正交分解 周期信号的傅里叶级数表示复习复习2012-4-24 Lecture 07-非周期信号的傅里叶变换信号与系统,2012春 郭红星3本讲内容本讲内容频谱的概念典型周期信号的频谱分析傅里叶变换频谱密度函数频谱密度函数傅里叶变换公式傅里叶变换公式傅里叶积分的其它形式傅里叶积分的其它形式傅里叶变换的存在条件傅里叶变换的存在条件典型非周期信

2、号的频谱分析频谱分析周期和非周期矩形脉冲信号频谱的对比周期和非周期矩形脉冲信号频谱的对比2012-4-24 Lecture 07-非周期信号的傅里叶变换信号与系统,2012春 郭红星4Ttjn nj ntjnnnn nndtetfTFeceFtftncctfn11)(1 21)()cos()(1 10周期信号频谱的数学表达式周期信号频谱的数学表达式周期信号的频谱周期信号的频谱2012-4-24 Lecture 07-非周期信号的傅里叶变换信号与系统,2012春 郭红星5幅度谱：幅度随频率的变化相位谱：相位随频率的变化幅度谱：幅度随频率的变化相位谱：相位随频率的变化单边幅度谱单边幅度谱和和双边幅

3、度谱双边幅度谱幅度谱和相位谱幅度谱和相位谱nj nneFF| nc1n11312nF1n11312131122012-4-24 Lecture 07-非周期信号的傅里叶变换信号与系统,2012春 郭红星6典型周期信号的频谱典型周期信号的频谱周期矩形脉冲信号周期矩形脉冲信号周期锯齿脉冲信号周期锯齿脉冲信号周期三角脉冲信号周期三角脉冲信号周期半波余弦信号周期半波余弦信号周期全波余弦信号周期全波余弦信号我们重点讨论周期矩形脉冲信号的频谱，由此得 出的某些结论，适用于所有的周期信号。我们重点讨论周期矩形脉冲信号的频谱，由此得 出的某些结论，适用于所有的周期信号。2012-4-24 Lecture 07

4、-非周期信号的傅里叶变换信号与系统,2012春 郭红星7周期矩形脉冲信号的频谱分析周期矩形脉冲信号的频谱分析)(tfA022nTtnT2) 1(2TntnT22TTA)(tft2012-4-24 Lecture 07-非周期信号的傅里叶变换信号与系统,2012春 郭红星8f(t)的傅里叶级数和复数振幅的傅里叶级数和复数振幅 ntjn nn nneFtncctf1)cos()(1 10dteATdtetfTFtjntjnTTn1122221)(122sin 11 nnTA表示复数振幅nF上式中上式中n=0，则为不定式，利用罗必塔达法则，则为不定式，利用罗必塔达法则TA nnTAF n 22sin

5、 lim 11002012-4-24 Lecture 07-非周期信号的傅里叶变换信号与系统,2012春 郭红星9T21ntjnennTAtf122sin )( 11 f(t)的傅里叶级数表示的傅里叶级数表示cos22sin 21 )(1 111 tnnnTAtfn 实偶偶实实偶偶实2012-4-24 Lecture 07-非周期信号的傅里叶变换信号与系统,2012春 郭红星10画频谱图画频谱图由复振幅由复振幅的表达式可知，频谱谱线顶点的联线所构成的包络是的形式的表达式可知，频谱谱线顶点的联线所构成的包络是的形式-称为抽样函数。称为抽样函数。nj nneFF| xxsin2012-4-24 L

6、ecture 07-非周期信号的傅里叶变换信号与系统,2012春 郭红星11找出谐波次数为零的点找出谐波次数为零的点包络线方程为包络线方程为22sin )( TAF与横轴的交点由下式决定：与横轴的交点由下式决定：022sin00即：,3,2,20 m2,6,4,2002012-4-24 Lecture 07-非周期信号的傅里叶变换信号与系统,2012春 郭红星120若这些频率恰好是基波频率的整 数倍，则相应的谐波分量为零。TmTm 2210所以，包络线与横轴的交点应满足两个条件： 一是谐波条件 二是谐波为零的条件1找出谐波次数为零的点找出谐波次数为零的点2012-4-24 Lecture 07

7、-非周期信号的傅里叶变换信号与系统,2012春 郭红星13粗略求出各次谐波的振幅值粗略求出各次谐波的振幅值当当31T时，最大值为时，最大值为ATA 31即当即当3T时，第一个零 点内含有二条 谱线，依次类推，就大致画出了振幅频谱图。时，第一个零 点内含有二条 谱线，依次类推，就大致画出了振幅频谱图。nFA312 41316注意：负半轴与 正半轴对称，也 可只画正半轴注意：负半轴与 正半轴对称，也 可只画正半轴2012-4-24 Lecture 07-非周期信号的傅里叶变换信号与系统,2012春 郭红星14相位的确定相位的确定T21代入代入nF可知可知Tn nAFn sinTnnFTn当角度在第

8、一、二象限时为正实数即相位为零。当角度在第一、二象限时为正实数即相位为零。nF当角度在第三、四象限时为负实数即相位为当角度在第三、四象限时为负实数即相位为注意：当注意：当Fn为实数 时为实数 时,可以将幅度和相 位谱画在一幅图上可以将幅度和相 位谱画在一幅图上, 如这里所示如这里所示2012-4-24 Lecture 07-非周期信号的傅里叶变换信号与系统,2012春 郭红星15周期信号频谱的特点周期信号频谱的特点离散性离散性 频谱是离散的,两谱线间的距离为频谱是离散的,两谱线间的距离为谐波性谐波性 谱线位于谐波频率上谱线位于谐波频率上收敛性收敛性 频率越高,幅度越小频率越高,幅度越小T212

9、012-4-24 Lecture 07-非周期信号的傅里叶变换信号与系统,2012春 郭红星16频带问题频带问题(p111)对于单调衰减的信号，把零频率到谐 波幅度降到最大值十分之一的那个频率 间频带，称为信号的带宽对于单调衰减的信号，把零频率到谐 波幅度降到最大值十分之一的那个频率 间频带，称为信号的带宽对于周期过零的信号常认为包络线第 一个零点以上的谐波可以忽略不计对于周期过零的信号常认为包络线第 一个零点以上的谐波可以忽略不计1011ff2012-4-24 Lecture 07-非周期信号的傅里叶变换信号与系统,2012春 郭红星17T的比值改变时对频谱结构的影响的比值改变时对频谱结构的

10、影响P110.图(3-13) (1) T不变，P110.图(3-13) (1) T不变，变即谱线的疏密不变不变，不变，1.Ta的收敛速度变慢则nFb,.2012-4-24 Lecture 07-非周期信号的傅里叶变换信号与系统,2012春 郭红星18T的比值改变时对频谱结构的影响的比值改变时对频谱结构的影响包线的零值位置不变不变，不变，高度变小谱线密集，幅度谱谱线变时不变，2.,.(2)1bTaT会发生什么变化呢？构时，时域波形和频谱结Tc.2012-4-24 Lecture 07-非周期信号的傅里叶变换信号与系统,2012春 郭红星19问题的提出问题的提出无限多个无穷小量之和仍可等于一个有限

11、量。无限多个无穷小量之和仍可等于一个有限量。221)(1limTTtjnTndtetfTFntjn neFtf1)(从物理概念考虑：信号的能量存在， 其频谱分布的规律就存在 从数学角度来看：从物理概念考虑：信号的能量存在， 其频谱分布的规律就存在 从数学角度来看：2012-4-24 Lecture 07-非周期信号的傅里叶变换信号与系统,2012春 郭红星20信号的频谱分布是不会随着信号的周期 的无限增大而消失的。信号的频谱分布是不会随着信号的周期 的无限增大而消失的。 T时，信号的频谱分布仍然存在。时，信号的频谱分布仍然存在。初步分析结论初步分析结论但是，信号的频谱分布已经不能用绝对 大小来

12、描述！但是，信号的频谱分布已经不能用绝对 大小来描述！思考：你能想到什么描述方法吗？思考：你能想到什么描述方法吗？2012-4-24 Lecture 07-非周期信号的傅里叶变换信号与系统,2012春 郭红星21dtetfTFTTtjnTnT221)(limlim这样定义能确切的反映信号的频谱分布特 性。各个频率分量振幅之间的相对比例关 系是固定不变的。这样定义能确切的反映信号的频谱分布特 性。各个频率分量振幅之间的相对比例关 系是固定不变的。频谱密度函数定义频谱密度函数定义102limlim)(1 n nTFTFjF 2012-4-24 Lecture 07-非周期信号的傅里叶变换信号与系统

13、,2012春 郭红星22 2| )(|1jF)(jF几点说明几点说明)(jFa.代表了信号中各频率分量振幅的相对大小。b.各频率分量的实际振幅为是无穷小量。c.具有单位角频率振幅的量纲。代表了信号中各频率分量振幅的相对大小。b.各频率分量的实际振幅为是无穷小量。c.具有单位角频率振幅的量纲。类比：压力与压强类比：压力与压强2012-4-24 Lecture 07-非周期信号的傅里叶变换信号与系统,2012春 郭红星23非周期信号的傅里叶变换非周期信号的傅里叶变换由傅里叶级数到傅里叶积分由傅里叶级数到傅里叶积分2211)(1)(TTtjn nntjn ndtetfTFeFtf当时当时T11,nd

14、2012-4-24 Lecture 07-非周期信号的傅里叶变换信号与系统,2012春 郭红星24dtetfdtetfTFjFtjTTtjnTnT)()(limlim)(221211lim)(11TTeTFtftjnnnT当T时:1,21nd T非周期信号的傅里叶变换非周期信号的傅里叶变换2012-4-24 Lecture 07-非周期信号的傅里叶变换信号与系统,2012春 郭红星25dejFtfdtetfjFtjtj)(21)()()(反变换正变换反变换正变换非周期信号的傅里叶变换非周期信号的傅里叶变换)()(jFtf简记为简记为2012-4-24 Lecture 07-非周期信号的傅里叶变

15、换信号与系统,2012春 郭红星26| )(|jF和和)(a为为的偶函数。的偶函数。)(和和)(b为为的奇函数。的奇函数。)()(| )(|)()(jbaejFjFj)()(| )(|22bajF)()(arctan)(ab为为的相位。的振幅。为为的相位。的振幅。)(jF)(jF非周期信号的频谱非周期信号的频谱若若f(t)为实函数，则：为实函数，则：思考：如 何证明？思考：如 何证明？2012-4-24 Lecture 07-非周期信号的傅里叶变换信号与系统,2012春 郭红星27正变换给出了非周期信号的频谱的数学 表达式。时间函数正变换给出了非周期信号的频谱的数学 表达式。时间函数f(t)可以表示为频率在 区间内的指数函数的连续 和。傅里叶变换提供了信号的频率描述 和时间描述之间相互变换的工具。