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1、2 0 1 1年第 1 2期 中学数学月刊 4 3 圆锥曲线中的定点与定值问题 殷向东 费存信 ( 江苏省东台市第一中学 2 2 4 2 0 0 ) 新课标下的高考数学越来越 重视对 学生综合 素质 的 考查 ， 考查圆锥 曲线 中的定点与定值 问题 便是 一个重要 的 途径 此类 问题主要涉 及到直 线、 圆及 圆锥 曲线等 方面 的 知识 ， 渗透 了函数 、 化 归 、 数形结合 等思 想 ， 是高考 热点题 型之一 本文结合近几 年的高考 数学试 题 ， 探 讨 圆锥 曲线 中的定点 与定值 问题 的常见类型及其解法 1 圆过定点与点在圆 ( 椭圆 ) 上 例 1 ( 2 0 0 8年
2、江 苏卷 第 1 8题 )设平 面 直角 坐标 系 x O y中 ， 二次 函数 _厂 ( z ) 一 z +2 z +b ( xR ) 的 图象与坐 标轴有三个交点 ， 经过这三个交点 的圆记 为 C ( I)求实数 b的取值范 围； ( ) 求 圆 c的方程 ； ( H I )问圆 c是否经过某定点 ( 其坐标 与 b无关 ) ?请 证明你的结论 解 (I) b b O )的一个 焦点为 F( 1 ， O ) ， 且过点 ( 2 ， O ) ( I)求椭 圆 c的方程 ； ( 1 I )若 A B 为 垂 直 于 轴 的动弦 ， 直 线 ： z一 4与 轴交 于点 N， 直 线 A F 与
3、 B N 交 于点 M (j ) 求证 ： 点 M 恒在 椭 圆 C上 ； (ii ) 求 AA MN面积 的最大值 J A 。 B 图 1 解 ( I) 椭 圆 c的方程 为 + 2 2 1 ( I I ) (i )由题意得 F( 1 ， O ) ， N( 4 ， O ) 设 A( m， ) ， 则 B ( m ， 一 ) ( o ) ， +等一1 A F 与 B N 的方程分别为 ： n ( x一 1 ) 一( m一1 ) 一 0 ， n ( x 一 4 )+ ( m 一 4 ) Y 一 0 ， 。 f n ( x o 1 ) 一( m一 1 ) y o： 0 ， 设 M 。 则 有 (
4、： 一 4 ) + ( m 一 4 ) 3，： ： o ， 由 ， 得 X o一 5 m - 8， 一 3nm m一0 一0 由 于 譬+ 誓一 + 一 ( 5 m 一 8) + 1 2 ， 2 ( 5 m 8 ) + 3 6 9 mz i 一 二 二 广 l 所 以点 M 恒 在椭 圆 C上 ( i j ) ( 略) 说 明 将点 M 的坐标 ( 。 ， )表示 为变量 m 的 函 数 ， 验证 M 的坐标满足椭 圆方程 2 直线 过定点与点在 定直线上 例 3( 2 0 1 0年江苏卷 第 1 8 题 ) 如图 2 ， 在平面直角坐 标 系x O y 中， 已 知 椭圆 鲁+ 一1 的 左
5、、 右 顶 点 为A ， B ， 右焦点为 F 设过点 T( t ， m) 的直线 T A， T B与椭圆分别交 于点 M( xl ， 1 ) ， N( x 2 ， Y 2 ) ， 其 中 优 0 ， 1 0 ， Y 2 0 ， b 0 )的离心率为 ， 右 准线方程 为 z一 , 4 5 ( I) 求 双曲线 C的方程； ( )设 直 线 z是 圆 0： z 。+ y = 2上 动 点 ( _z 。 ， y 。 ) ( z o y 。 O )处 的切 线 ， z 与双 曲线 C交 于不 同的两点 A， B， 证明 A O B 的大小为定值 解 (I) 所求双曲线 C的方程为 z 一 1 (
6、) 点 PC r 。 ， Y 。 ) ( z o Y 。 O ) 在圆 z +y 一 2 上 ， 圆 在点 P( x 。 ， Y 。 ) 处的切线方程为 Y 。： 一 ( z 。 ) ， 因 P在圆上 ， ( z o ， Y o ) 满足 圆方程 ， 故经化简 ， 得 z o z+y o y 一2 由J 一 等 _ l ， 及 甜 2 ，得 0 z + y 0 y 一 2 ( 3 x 一4 ) x 一4 x o z+ 8 2 x ；一 0 ， ( 3 x 一4 ) y +8 y 。 Y一8 + 2 x 一 0 因为切线 f 与双 曲线 C交于不 同的两点 A， B， 且 0 z 2 ， 所以
7、3 z 5 4 0 ， 设 A， B两点的坐标分别为( z ， ，( x 2 , y 2 枷 z一 X o 一 X o，所 以 J 一4 d 一4 O A O B z 1 1 2 2 +y y 2一 o ， 故 AO B 的大小为 9 O 。 ( 因 z +y 5 2且 z 。 Y 。 0 ， 故 0 z 2 ， 0 y 2 ， 从而 当 3 z 一4 0时 ， 方 程 ， 的判别式均大 于 零 ) 说 明 在证 明 A O B 的大小 为定值 时， 亦可通过特 值先确定 AO B为 9 O 。 ， 然后通过计算 向量 的数 量积为 0 可得 AO B为定值 例 5 ( 2 0 0 8年海南宁
8、夏理第 2 1题)设 函数 L厂 ( )一 甜+( ， b z ) ， 曲线Y 一， ( z ) 在点( 2 ， ， ( 2 ) ) 处的 切线方程为 Y： 3 ( 1 ) 求 Y一 _ 厂 ( )的解析式 ； ( 2 ) 证明 ： 曲线 Y f ( x )的图象是一 个 中心对称 图 形 ， 并求其对称 中心； ( 3 ) 证 明 ： 曲线 Y l厂 ( z) 上任一点处 的切线与直线 z 一1 和直线 Y z所 围三角形 的面积为定值 ， 并 求出此定 值 解( I) f ( x )一 z+ ( 1I ) ( 略) ( Il1 ) 在曲线上任取点( z 。 ， z 。 + ) 由 一志，
9、知 过 此 点 的 切 线 方 程 为 一 卜 卜 令 1 ， 得 一 _ 二 ! ，切线与直线 一 1 的交点为 ( ， ) 令 Y z， 得 Y一 2 x o 一 1 ， 切线与直线 Y= z的交点 为 ( 2 xo 1 ， 2 x 。一 1 ) 直线 z一 1与直线 Y一 2 7 的交点为( 1 ， 1 ) 所 围 三 角 形 的 面 积 为 专 l x o q- 1 1 l l 2 。 - 1 - 1 l -=吉 l 1 - z z 。 一 z 所 以所围三角形 的面积为定值 2 说 明 把三角形 的面积用参变量 -z 。表示 ， 再证明面 积与参数 z 。 无关 ， 面积就 为定值
10、4 斜 率为定值与 比值为定值 例6( 2 0 O 9 年 辽 宁 卷 理 ) 已 知 椭 圆C 过 点 A ( 1 ， 导 ) ， N 4 - N ,4 N ( 一 1 ， o ) ， ( 1 ， o ) ( I) 求椭 圆 C的方程 ； ( 1 I ) E， F是椭圆 C上 的两个动点 ， 如果直线 A E 的斜 率 与 A F的斜率互为相反数 ， 证明直线 E F 的斜率为定值 ， 并求 出这个定值 解 ( I ) ( 略 解 ) 椭 圆 方 程 为 等+ 等一 1 ( ) 设 直 线 A E 的 方 程 为 k ( x - 1 ) + 一薹 I ，代 人 +了2 2 1，得 ( 3 +
11、 4 ) -z + 4 k ( 3 2 ) z + 4 ( -耋_ 一 ) 一 、 1 2= 0 设 E ( 3 ： E y E ) ， F ( ， ) 因 为 点A ( 1 ， 吾 ) 在 椭 圆 上 ，所 以 zE= 3 J _4 k ， F k x+ 3 一 五 又直线 A F的斜率与 A E 的斜 率互为相 反数 ， 在上式 中以 一 代 k ， 可得 4 ( 导+ ) 一 1 2 一 2 0 1 1 年 第 1 2期 中学 数学 月刊 4 5 怎样让学生解题时学会思考 一一道例题教学的反思 徐新民 任淑香 汤希龙 ( 江苏省南通 市天星湖中学 2 2 6 0 1 0 ) 数 学教 师
12、上课都要讲例题 、 习题 ， 一是 为 了巩 固基础 知识 、 基本 技能和基本方法 ； 二是 为了培养 学生 的思 维 品 质 、 思 维能力 ， 让学生解题 时学会 思考 最近我校“ 名师 工作 室”开展 了一 系列 的 听课活 动 ， 笔者听 了高三 复习“ 平面 向量 的综合 应 用”的一节 课 ， 颇 有感触 1 教 学 片段 例题 如 图 1 ， 若点 D是 A B c内一点 ， 且满足 A B +C D = A C +B D。 ， 求证 ： A D 上 B C 师 ： 用 向量 方法 来证 明， 首 先 应将例题 中的条件 如何 转化呢? 生 1 ： 转化为A B +c 5。一A
13、 C + BD (*) 师 ： 下面请 哪位 同学 说 出证 明 ( 学 生说 ， 教师板演 ) 生 2： 因C D CA+ AD ， B D B A+AD， 代入(*) 式 ， 得 曰 C 图 1 A B 0 + ( C A + AD) 一 AO + ( B A + AD) + + 化简得 2 C A A D 一 2 B A A D， 所 以AD( B A C A )一 0， I p AD BC 一 0 所 以 AD I BC 师 ： 证得很好 ( 这时又有学生举手发 言) 生 3 ： 我用 向量差C D A DA c， B D=ADA B， 代 人( *)式后 ， 同样可 以证 明。 教师
14、肯定 了生 3的证 法 ， 由于学生 的解法 与教 师 的 “ 预设”是一致的 ， 同时 考虑 到高三 复 习任务 重 、 时 间紧 ， 并没有在 “ 生成”上下功夫 ， 接着就讲下一个例题 了 我们( 听课者 ) 认为 ： 如何发 挥例题 的教学功 能， 让 学 生解 题时学会思考 ， 培 养学 生的 思维 能力 值得 探讨 和重 视 课后 ， 和该 教师进行了交流 ， 希望对这道例题教学进行 反思 ， 现撰写成文与读者交流 2 教 后 反 思 反思 1 如何 让学生学思考、 学方法 、 学会解题 2 1 从条件想 目标 ： 运用消去法 学生 的解 法就是先 把几 何条 件转化为向量关 系式
15、 ， 然 后再 用消去法 ， 消去其 中两个 向量而获得证 明 事实上 ， 条 件转 化后的( *)式有 四个 向量 ： A B， A C， C D， B D， 目标 中 有两个 向量 ： AD， B C， 要从条件推 出A D B C 一 0 ， 就必须 从 已知中消去一些向量 ， 并且要 出现向量A D ， B C 直觉发 现 消去两个 向量是最好选择 ， 那 么 ， 到底要消 去( *)中的 哪两个 向量呢?我们不妨再 试一试 思路 1 消去向量A B， A C 因 一 A D+ D B， AC A D+D C， 代人 ( *) 式 ， 得 ( +磅 ) z +一C D ( + ) z + z ， 所 以 直 线E F 的 斜 率 k 一丝二 一 k ( zF+ zE )+ 2 k 1 3 7 F zE 2
