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1、初中数学竞赛辅导资料(69)数的整除(三)甲内容提要甲内容提要在第 1 讲数的整除(一)和 44 讲数的整除(二)中，分别介绍了数的整除特征和运用因式分解法解答数的整除问题，本讲介绍应用“同余”方面的知识. 一. 同余的概念 两个整数 a 和 b 被同一个正整数 m 除，所得的余数相同时，称 a, b 关于模 m 同余.记作 ab(mod m). 如：8 和 15 除以 7 同余 1，记作 815(mod 7), 读作 8 和 15 关于模 7 同余.2003=7286+1， 20031 (mod 7)； 7 和 6 对于模 13 同余 6（余数是非负数） 76（mod 13） ；35 和 0
2、 除以 5，余数都是 0（即都能整除） 350（mod 5）. 二. 用同余式判定数的整除 若 ab(mod m)， 则 m|(ab). 即 ab0(mod m)m|(ab). 例如：1125(mod 7)7|(2511)； 或 7|(1125).25+352+30 (mod 5)， 5|25+35. 三. 同余的性质 (注意同余式与等式在变形中的异同点)1.传递性： .)(mod)(mod)(mod mcamcbmba 2.可加可乘性： ).(mod)(mod ).(mod)(mod mbdacmdbca mdcmba；，推论 可移性：ab+c (mod m)(ab)c(mod m). 可倍
3、性：ab(mod m)kakb(mod m) (k 为正整数). 可乘方：ab(mod m) anbn(mod m) (n 为正整数).3.当 d 是 a, b, m 的正公因数时， ab(mod m)(mod ).db dadm如：2 是 20，26，6 的正公因数， 2026(mod 6)(mod 3).1310 四. 根据抽屉原则：任给 m+1 个整数，其中至少有两个数对于模 m 同余. 即至少有两个，其差能被 m 整除. 例如：任给 5 个数 a, b, c, d, e.其中至少有两个，它们的差能被 4 整除. 除以 4 的余数只有 0，1，2，3 四种.5 个数除以 4 至少有两个同
4、余.乙例题乙例题 例 1. 已知：69，90，125 除以正整数 n 有相同的余数. 求：n 的值 解：6990(mod n)， 90125(mod n). n|(9069)， n|(12590). 而 21,35 的最大公约数是 7， 记作(21,35)=7 (7 是质数).n=7 例 2. 求 388除以 5 的余数. 解：383 (mod 5)，38838(32)4(1)41 (mod 5). (注意 9 除以 5 余 4，1 除以 5 也是余 4，321 (mod 5)例 3. 求的个位数字.997解： 74k+n与 7n的个位数字相同， 且 91 ( mod 4)， 9919 1 (
5、mod 4).与 71的个位数字相同都是 7.997例 4. 求证：7|(22225555+55552222). 证明：22225555+55552222=(22225)1111+(55552)11112222=7317+3 ， 5555=7793+4. 22223 ( mod 7)； 55554 (mod 7). 22225355(mod 7)； 55552422 (mod 7). 22225+555525+20 ( mod 7).即 2222555552 (mod 7).(22225)1111(55552)1111(55552)1111 (mod 7). 22225555+55552222
6、0 (mod 7). 7|(22225555+55552222). 例 5. 求使 32n1 能被 5 整除的一切自然数 n. 解：321 (mod 5) ， (32)n(1)n (mod 5).32n1(1) n1 (mod 5) 当且仅当 n 为偶数时，(1) n1=0. 使 32n1 能被 5 整除的一切自然数 n 是非负偶数例 6. 已知：a, b, c 是三个互不相等的正整数.求证：a3bab3, b3cbc3, c3aca3三个数中，至少有一个数能被 10 整除.（1986 年全国初中数学联赛题）年全国初中数学联赛题） 证明：用同余式判定整除法证明当正整数 n 的个位数是 0，1，
7、4，5，6，9 时，n3 的个位数也是 0，1，4，5，6，9. 这时 n3 n (mod 10)； 当正整数 n 的未位数为 2，3，7，8 时，n3 的个位数分别是 8，7，3，2.8 与2，7 与3，3 与7，2 与8，除以 10 是同余数， 这时 n3n (mod 10)；把三个正整数 a, b, c 按个位数的情况，分为上述两类时，则至少有两 个属于同一类.设 a, b 的末位数是同一类，那么 a3bab3abab0 (mod 10)；或 a3bab3(a)ba(b)0 (mod 10). 10| (a3bab3) 丙练习丙练习 69 1. 三个数 33，45，69 除以正整数 N
8、有相同余数，但余数不是 0，那么 N=_.2. 求的个位数字.7773. 求37除以 19 的余数； 41989除以 9 的余数.92454. 求 198919901990 的余数. 5. 四个数 2836，4582，5164，6522 都被同一个正整数除，所得的余数都相同且不是 0，求除数和余数. 6. 求证：7|(33334444+44443333).7. 已知：正整数 n2 . 求证： (mod 4).31111321L个n8. 任给 8 个整数，其中必有两个，它们的差能被 7 整除，试证之. 9. 求使 2n+1 能被 3 整除的一切自然数 n. 10. 已知 69，90，125 除以
9、 N (N1) 有同余数，那么对于同样的 N，81 同余于( )（A）3. （B）4. （C）5. （D）7. （E）8.（1971 年美国中学数学竞赛试题）年美国中学数学竞赛试题） 乙例题乙例题 例 1. 已知：69，90，125 除以正整数 n 有相同的余数. 求：n 的值 解：6990(mod n)， 90125(mod n). n|(9069)， n|(12590). 而 21,35 的最大公约数是 7， 记作(21,35)=7 (7 是质数).n=7 例 2. 求 388除以 5 的余数. 解：383 (mod 5)，38838(32)4(1)41 (mod 5). (注意 9 除以
10、 5 余 4，1 除以 5 也是余 4，321 (mod 5)例 3. 求的个位数字.997解： 74k+n与 7n的个位数字相同， 且 91 ( mod 4)， 9919 1 (mod 4).与 71的个位数字相同都是 7.997例 4. 求证：7|(22225555+55552222). 证明：22225555+55552222=(22225)1111+(55552)11112222=7317+3 ， 5555=7793+4. 22223 ( mod 7)； 55554 (mod 7). 22225355(mod 7)； 55552422 (mod 7). 22225+555525+20
11、( mod 7).即 2222555552 (mod 7).(22225)1111(55552)1111(55552)1111 (mod 7). 22225555+555522220 (mod 7). 7|(22225555+55552222). 例 5. 求使 32n1 能被 5 整除的一切自然数 n. 解：321 (mod 5) ， (32)n(1)n (mod 5).32n1(1) n1 (mod 5) 当且仅当 n 为偶数时，(1) n1=0. 使 32n1 能被 5 整除的一切自然数 n 是非负偶数例 6. 已知：a, b, c 是三个互不相等的正整数.求证：a3bab3, b3cb
12、c3, c3aca3三个数中，至少有一个数能被 10 整除.（1986 年全国初中数学联赛题）年全国初中数学联赛题） 证明：用同余式判定整除法证明当正整数 n 的个位数是 0，1，4，5，6，9 时，n3 的个位数也是 0，1，4，5，6，9. 这时 n3 n (mod 10)； 当正整数 n 的未位数为 2，3，7，8 时，n3 的个位数分别是 8，7，3，2.8 与2，7 与3，3 与7，2 与8，除以 10 是同余数， 这时 n3n (mod 10)；把三个正整数 a, b, c 按个位数的情况，分为上述两类时，则至少有两 个属于同一类. 设 a, b 的末位数是同一类，那么 a3bab
13、3abab0 (mod 10)；或 a3bab3(a)ba(b)0 (mod 10). 10| (a3bab3) 丙练习丙练习 69 1. 三个数 33，45，69 除以正整数 N 有相同余数，但余数不是 0，那么 N=_.2. 求的个位数字.7773. 求37除以 19 的余数； 41989除以 9 的余数.92454. 求 198919901990 的余数. 5. 四个数 2836，4582，5164，6522 都被同一个正整数除，所得的余数都相同且不是 0，求除数和余数. 6. 求证：7|(33334444+44443333).7. 已知：正整数 n2 . 求证： (mod 4).31111321L个n8. 任给 8 个整数，其中必有两个，它们的差能被 7 整除，试证之. 9. 求使 2n+1 能被 3 整除的一切自然数 n. 10. 已知 69，90，125 除以 N (N1) 有同余数，那么对于同样的 N，81 同余于( )（A）3. （B）4. （C）5. （D）7. （E）8.（1971 年美国中学数学竞赛试题）年美国中学数学竞赛试题）
