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1、数学奥林匹克高中训练题(7)第 一 试一、 选择题(每小题6分,共36分)1.设f(x) =x+a x(xa) ,其中,a为常数.那么,() .(A)当a 0时,f(x)有最大值(B)当a 0时,f(x)有最小值(C)当a3 ,a2+b2= 25) ,u-w= 3v.若|v| =1 ,则当u的辐角主值最小时,u w的值为.3.正整数序列an满足:对任何nN+,an+an+1=2 007 ,且3| (a2 n+anan+1+a2 n+1) .则数列an的前2 007项和的所有不同取值的和为 .4.有一道数学竞赛题,甲、 乙、 丙单独解出的概率分别为1 a、1 b、1 c,其中,a、b、c都是一位
2、正整数.现甲、 乙、 丙同时独立解答此题,若他们中恰有一人解出此题的概率为7 15,那么,他们三人都未解出此题的概率为 .5.满足p 2+p 3+p 6=q的质数8中 等 数 学对(p,q)的个数为 .6.已知f(x)是定义在R上的函数,f 4=0 ,且对任意的x、yR,有f(x) +f(y) =2fx+y 2fx-y 2.则f 4+f3 4+f5 4+f2 007 4= .三、(20分)设x、y、z0 ,x+y+z= 1.求A=x-1 6y-1 6z-1 62 的最大值.四、(20分)设、 C,、 0 ,、 的辐角主值不相同.证明:|-| | | -|1 + | 2.五、(20分)在圆周上依
3、次有n个点A1,A2,An.今随机地选取其中k个点为顶点作凸k边形B1B2Bk,已知选取与否的可能性是相同的.试求对每个i1 ,2 ,k ,k边形的两个相邻顶点Bi、Bi+1(规定Bk+1=B1)之间至少有X= A1,A2,An中的ri个点的概率,其中,r1,r2,rk是给定的一组正整数.第 二 试一、(50分)设D是给定 ABC的边BC上一动点,P分AD为定比,设BP交CD于E,CP交AB于F.求 AEF面积的最大值. 二、(50分)求具有如下性质的质数p的最大值:存在1 ,2 ,p的两个排列(可以相同)a1,a2,ap与b1,b2,bp,使a1b1,a2b2,apbp被p除所得的余数互不相
4、同.三、(50分)n个人在某个节日期间互通电话问候.已知其中每个人至多打通了三个朋友家的电话,任何两个人之间至多进行一次通话,且任何三个人中至少有两人,其中一个人打通了另一个人家里的电话.求n的最 大值. 参 考 答 案 第 一 试一、1. C.(1)当a 0时,令x-,则f(x)-.令x0+,则f(x)+.(2)当a 0.所以,f(x)在( -,a上是增函数.因此,f(x)f(a) .2.D.显然,存在正整数k1,k2,k668,使A= 310k1+ 710k2+ 2 00710k66831k1+ 71k2+ 2 0071k6683 + 7 + 11 + 2 0076(mod 9) .3.A
5、.设AEEB= 2 007 =a,FC DF=1 2 007=b,有ab= 1.则1 a+1+1 b+1=1 a+1+1 1 a+1=1 a+1+a a+1=1.故EF=EB+BC+CF=AB a+ 1+BC+CD b+ 1=AB a+ 1+BC a+ 1+BC b+ 1+CD b+ 1=AB+BC a+ 1+BC+CD b+ 1=AC a+ 1+BD b+ 1=AC a+ 1+BD 1 a+ 1=AC a+ 1+aBD a+ 1=AC+aBD a+ 1=AC+ 2 007BD 2 008.4. C.图2如 图2 ,设A、B是椭圆的焦点,P 是直线x+y= 9上任意一点,则P 在椭圆外或 与
6、点P重合.又设PA与椭圆相交于点Q,则PA+PB=PB+PQ+QAQB+QA=P A+PB.92007年第6期于是,点P是直线x+y= 9上到椭圆两焦点距离的和最小的点.易知A( - 2 ,0) ,B(2 ,0) ,点B关于直线x+y=9的对称点为M(9 ,7) .联结AM与直线x+y= 9交于点N85 18,7718.对直线x+y= 9上任一点P,有PA+PB=PA+PMAM=NA+NM=NA+NB.所以,点N与P重合.5. C.由条件有sinA+ sinB+ sinC= 3(cosA+ cosB+ cosC)2sinA+C 2cosA-C 2+ sinB= 3 2cosA+C 2cosA-
7、C 2+ cosB2 3cosA+C 2- 2sinA+C 2cosA-C 2= sinB-3cosB.利用辅助角公式有2sin 3-A+C 2cosA-C 2= sinB- 32sinB 2- 6cosA-C 2= 2sinB 2- 6cosB 2- 62sinB- 60 2cosA-C 2- cosB- 60 2= 0sinB- 60 2sinA-C+B- 60 4sinB-A+C- 60 4=0.所以,B- 60= 0或者 A-C+B- 60= 0或者 B-A+C- 60= 0 ,即 B= 60 或者C= 60 或者 A= 60,亦即 A、 B、 C中有一个为60.若 B 60,则 CB
8、 60,所以,只能 A= 60,从而,A+B+C 180,亦矛盾.6.D.对任何正整数k,取S1=S2= x|xk(mod 2k) ,S3= x|x0(mod 2k).二、1. -10 280 2 017.设焦点到准线的距离为p,记|PF| =2 007 =x,|QF| = 10 =y.图3由图3中两个三角形相似得x-p p-y=x y.故p=2xy x+y=50 140 2 017.所以,a= - 2p= -10 280 2 017.2.16 25-12 25i.因为|v| =1 ,所以,|u-w| = 3|v| = 3.于是,u对应的点P在以w对应的点M为圆心、3为半径的圆C上.当u的辐角
9、主值最小时,OP与圆C相切.而|OM| =5 ,|PM| = 3 ,则|OP| = 4.于是,|w| |u|=5 4.又w u的辐角主值=POM,cos=4 5,sin=3 5,所以,wu=5 44 5+3 5i= 1 +3 4i.故u w=16 25-12 25i.3.1 345 368 366.由3| (a2n+anan+1+a2n+1) ,得3| a2n+an+1(an+an+1) .又3| (an+an+1) ,所以,3|an.因为a1= 2 007 -a2 5时,因为p为质数,所以,p= 6k+ 1或6k+ 5.若p= 6k+ 1 ,则q=p 2+p 3+p 6=3k+ 2k+k=
10、6k,非质数,矛盾;若p= 6k+ 5 ,则q=p 2+p 3+p 6=(3k+ 2) + (2k+ 1) +k= 6k+ 3 ,非质数,矛盾.所以,质数对(p,q)的个数为2.6.0.令x-y 2= 4,得f(x) +fx- 2= 2fx- 4f 4= 0.故f 4+f3 4+f5 4+f2 007 4=0.三、(1)当x-1 6与y-1 6异号时,A0.(2)当x-1 60 ,y-1 6 0 ,z-1 61 3,0z 0 ,y-1 6 0 ,z-1 6 0时,A=x-1 6y-1 6z-1 6z-1 6= 4x-1 6y-1 6z 2-1 12z 2-1 124x-1 6+y-1 6+z
11、2-1 12+z 2-1 12 44= 41 84 =1 1 0241时,CAE=180-BAC 23时,我们证明:对任何2kp- 2 ,必21中 等 数 学存在k(2kp- 2 ,kk) ,使kk1(modp) .实际上,对2kp- 2 ,有(k,p) = 1. 从而,k,2k,pk构成模p的完系.于是,必存在k(1kp) ,使kk1(modp) .显然,kp,否则kk0(modp) ,矛盾.此外,如果k= 1 ,则由kk1(modp) ,得k1(modp) ,与2kp- 2矛盾.如果k=p- 1 ,则由k(p- 1)1 (modp) ,得-k1(modp) ,与2kp- 2矛盾.如果k=k
12、,由kk1(modp) ,得k21(modp) .所以,p| (k+ 1) (k- 1) ,但1k- 1 2 ,则与式 矛盾,所以,p2. 又当p= 2时,令a1= 1 ,a2= 2 ,b1= 1 ,b2= 2.此时,a1b1= 11(mod 2) ,a2b2= 40(mod 2) .所以,p= 2合乎条件.故pmax= 2.三、 先证明引理. 引理 n阶简单图G中不存在K3,则f(G)n2 4,其中,f(G)表示G的边数. 引理的证明:设A是各顶点中度最大的顶点,设与A相邻的点的集合为M= A1,A2,Ar ,与A不相邻的点的集合为N= B1,B2,Bs (r+s+ 1=n) .由于G中无三
13、角形,从而,G在M中没有边. 则G的其他边都在N中或M、N之间.这样的边都是由顶点B1,B2,Bs引出的.于是,f(G)d(A) +d(B1) +d(B2) +d(Bs)r+r+rs个= (s+ 1)rs+r+ 1 22 =n2 4.又f(G)Z,所以,f(G)n2 4.下面证明原题. 用n个点表示n个人,如果一个人A打通了另一个人B家里的电话,则连一条从A到B的有向 边,得到一个简单的有向图G.一方面,?G中无三角形.由引理有f(?G)n2 4.故f(G) = C2n-f(?G)C2n-n2 4=(n- 1)24.另一方面,f(G) =ni=1d+(xi)ni=13 = 3n.所以,(n- 1)243n.当n为奇数时,式 变为(n- 1)243n,解得n13;当n为偶数时,式 变为n2- 2n 43n,解得n14.综上所述,n14. 最后,n= 14是可能的.构造两个K7,对其中每个七边形A1A2A7,令Ai指向Ai+1,Ai+2,Ai+3(i=1 ,2 ,7 ,Ai+7=Ai) ,则构图合乎条件.首先,每个点作为始点都恰引出3条有向边,从 而,每个人至多打通了3个朋友家的电话.其次,对任何三个点,由抽屉原理知,必有两个点Ai、Aj(i 3 ,则Aj打通了Ai家中的电话. (冯跃峰 深圳市高级中学,518040)312007年第6期
