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1、1线性二阶常微分方程 ( )( )0yp x yq x y+=在正交曲线坐标系中对泛定方程分离变量会出现各种各样的常微分方程，一般可表示如下：通常这些方程还要满足相应的定解条件的要求，这可以归结为求解以下定解问题： ( )( ) ()()00010,yp x yq x yy xCyxC+=21.这些线性二阶常微分方程常常不能用通常的解法解出，但 可用幂级数解法解出这些线性二阶常微分方程常常不能用通常的解法解出，但 可用幂级数解法解出2.所谓幂级数解法，所谓幂级数解法，就是在某个任意点就是在某个任意点 z0 的邻域上，把待求的解表为系数待定的幂级数，代入方程以逐个确定系数的邻域上，把待求的解表为
2、系数待定的幂级数，代入方程以逐个确定系数3.幂级数解法是一个比较普遍的方法，适用范围较广，可借助于解析函数的理论进行讨论幂级数解法是一个比较普遍的方法，适用范围较广，可借助于解析函数的理论进行讨论4.求得的解既然是级数，就有是否求得的解既然是级数，就有是否收敛以及收敛范围收敛以及收敛范围的问题的问题.5.尽管幂级数解法较为繁琐，但它可广泛应用于微分方程问题的求解中尽管幂级数解法较为繁琐，但它可广泛应用于微分方程问题的求解中几点说明几点说明3不失一般性，我们讨论复变函数 w(z) 的线性二阶常微分方程的级数解：( )( )()()2200010, .d wdwp zq z wdzdz w zCw
3、zC+=如果函数( )p z和( )q z在点0z的邻域中解析, 则称0z为方程的常点方程的常点. 如果0z是函数( )p z或( )q z的奇点, 则称0z为方程的奇点方程的奇点。 4常点邻域内解的存在性常点邻域内解的存在性定理定理: 如果函数( )p z和( )q z在点0z的邻域0zzR中解析, 则常微分方程在圆在圆0zzR=内内存在唯一的唯一的满足相应定解条件的解析解解析解。 既然在常点的邻域内存在唯一的解析解， 就可以把它在 该邻域内表示为 Taylor 级数形式： ( )()0 0k k kw zazz=。 5Legendre 方程的级数解方程的级数解0m =时的连带Legendr
4、e方程称为Legendre方程()()2 2 21210d ydyxxl lydxdx+= 将幂级数形式的解代入到 Legendre 方程可得， ()()()2202211210kk kk kkkk kk kkk ka xl la xka xk ka x =+=。 ( )0k k ky xa x=0x =是方程的常点，6()()()2202211210kk kk kkkk kk kkkka xl la xka xkka x =+=。 由相应幂次的展开系数为零可得：()()()()()()2031122103221021110.kkal laaal lakkal lk ka+=+=+ +=i ?
5、7从而一般的系数递推公式是: ()() ()()()() ()()2111 2121kkkk kl lklklaaakkkk+ +=+()()()()()()()()()()()()() ()20422012! 232134 34!222421212!kl laallllllaaklklllllkaak+=+=+=? ?8()()()()()()()()()()()()() ()3153121112 3! 343124 5 45!2123122 21 !kllaallllllaaaklkllllkaak+=+= +=+i? ?这样 l 阶 Legendre 方程的级数解是：( )( )( )(
6、 )()( )()()00112 03 1;11,2! 12.3!y xa yxa yxl lyxxllyxxx=+= +=+?9幂级数解的收敛半径幂级数解的收敛半径()() ()()21lim11nnnRnlnl+=+ +因为：所以 l 阶Legendre的级数解在单位圆内收敛，在单位圆外发散。可以证明 Legendre 方程的级数解在1x = 处发散。 （Gauss判别法）10由于 Legendre 方程中cosx=, 即1x 。在物理上我们常常要求问题的解有界，这就要求我们得到的级数解在1x = 必须满足自然边界条件 1xy有限 根据前边的讨论，1x = 时，幂级数解并不满足这一 条件。
7、 怎么办？11Legendre 方程和解在1x = 有界要求分离变过量过程中引入的常数()1l l +为零或正整数。通常把解在1x = 有界说成是 Legendre 方程的自然边界条件。 这样，Legendre 方程和自然边界条件构成构成本征值问题。本征值是()1l l +，本征函数是 l 阶 Legendre 多项式。 由递推公式易知，当0,1,2l =?时，( )0yx和( )1yx必定有一个成为必定有一个成为l次多项式次多项式。这样我们就可以得到满足自然边 界条件的幂级数解。 12在球坐标系下对Laplace方程方程和Helmholtz方程方程分离变量得到如下球函数方程球函数方程：()2
8、2211sin10sinsinYYl lY+=对球函数进一步分离变量，并考虑自然边界条件的自然边界条件的要求要求，得到如下分离变量形式的球函数：()()( ),cossinYAmBm =+其中关于部分的函数是连带连带Legendre方程方程的解。13轴对称球函数轴对称球函数取0m =，这时球函数只和有关，是一个轴对称的函数；同时满足的方程变为 Legendre 方程： ()2 2 212(1)0ddxxl ldxdx+=我们已经讨论了 Legendre 方程在常点0x =附近 的级数解。方程的有两个无穷级数形式的特解，但是自然边界条件要求未知函数在1x = 处有界，从而要求l只能取非负整数非负
9、整数；相应地，方程的 解也退化为 Legendre 多项式。从而球函数也退球函数也退化化为一个为一个l阶阶 Legendre 多项式多项式。 14我们把l阶 Legendre 多项式记作:( )lP x。它既是l阶 Legendre 方程的解, 也是0m =时的球函数。l阶 Legendre 多项式中系数之间的递推公式为: ()() ()()211 21kkk kl laakk+=+。 由递推公式，我们可以由任意给定系数得到其他 所有系数。通常我们选取最高次幂的展开系数为 () ( )22 !2!llla l=15由递推公式易得一般的系数表达式如下: ()() () ()222!1!2!2!n
10、 lnllnanlnln= 从而我们可以表示 l 阶 Legendre 多项式如下: ( )()() () ()/2 2022!12!2!l klk ll klkP xxklklk=其中其中/2l表示不超过表示不超过2l的最大整数。的最大整数。 162 0123 342 453 5611( )1, ( )cos , ( )(31)(3cos21),24 11( )(53 )(5cos33cos ),28 11( )(35303)(35cos420cos29),864 11( )(637015 )(63cos535cos330cos ),8128 1( )(216P xP xxP xxP xxx
11、P xxxP xxxxP x=+=+=+=+=+=+=642313151055)1(231cos6126cos4105cos250),512xxx+=+? ? （图形参见课本P338图15-2）（图形参见课本P338图15-2）部分部分 Legendre 多项式的表达式多项式的表达式17Legendre 多项式的微分与积分表示多项式的微分与积分表示Legendre 多项式可以表示为如下微分形式微分形式: ( )()211 .2 !llllldP xxl dx= 这一关系又称作 Rodrigues 公式公式。 Legendre 多项式还可以表示为如下积分形式积分形式: ( )() ()21111
12、.22llllCzP xdzizx+= ?这一积分被称为 Schlfli 积分。 18Legendre 多项式的性质多项式的性质Legendre 多项式还可以表示为 Laplace 积分积分：( )2011cosllPxxixd=+从Laplace 积分积分形式可以证明形式可以证明Legendre多项式有如下性质多项式有如下性质：( )()() ( )11111l lllPPPx= ；19Legendre 多项式的生成函数多项式的生成函数母函数母函数在单位球的北极处放一个带电量为04的点电荷, 该电荷在单位球内任意点(), ,r 处产生的静电势为： ( )2111 2 cosrdrr = +点
13、电荷产生的静电势在空间中的分布函数满足点电荷产生的静电势在空间中的分布函数满足Laplace方程，方程， 而且以极轴为对称轴；因此，我们有：而且以极轴为对称轴；因此，我们有：()()101cosll lll lArB rPd =+20在球心位置处, 电势应该取有限值, 从而有: ()2011cos 1 2 cosl ll lAr Pdrr = +再取0=, 可得: ( )00111ll lll llAr PArr=因为1r , 上式左边可以在0r =附近展开成唯一的泰勒级数，从而lA就是相应的展开系数，因此有： ()2011cos 1 2 cosl l lr Pdrr = +21()2011c
14、os 12 cosl l lr Pdrr = +令cosx=, 则上式表明: Legendre 多项式正是把关于r函数211 2rxr+在0r =附近展开为泰勒级数的展开系数； 类似地，如果把关于x的函数以 Legendre 多项式为基展开，则展开系数就是 相应的r的幂函数。 因此我们把这个函数叫做 Legendre 多项式的母 函数或生成函数多项式的母 函数或生成函数。 。 易知，在单位球外的静电势可以表示为： ()12011cos 1 2 cosl l lrPdrr = +。 如果在半径为如果在半径为 R 的球的北极放置同样电量的点电荷，结果如何？的球的北极放置同样电量的点电荷，结果如何？
15、22递推公式递推公式两边对r求导，可得 ()( )1 3/2201 2l l lxrlrP x rxr = +； 整理可得： ()()( )()( )()( )21 1/22021001 2 1 2= 1 2l l lll ll llxrrxrlrP x rxrxrr P xrxrlrP x = =+ +比较系数可得如下递推公式递推公式： ()( ) ()( )( )111210kkkkPxkxPxkPx+= ( )2011 2l l lr P x rxr= +23其他递推公式其他递推公式( )( )( )( )( )( )( ) ()( )( )( ) +11 12 1=21kkkkkkkkkkPxPxxPxPxkPxxPxPxxPxkxPxkPx+=?24Legendre 多项式的正交关系多项式的正交关系可以证明不同阶的Legendre多项式正交：( )( )121lmllmP x Px dxN =其中lN称作函数( )lP x的
