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1、1 周期 3 意味着混沌一沙尔可夫斯基定理抛物线映射分岔图，及其稳定和不稳定周期轨道。在单峰映射中，倍周期分岔表示存在2i P（i = 0,1,2,）诸偶数周期轨道。在混沌带中，则存在3P、5P、7P、9P、诸奇数周期轨道。这些奇数周期轨道也按倍周期进一步分岔，得到3 2 P 52 P 72 P 9 2 Pmmmmm、（0,1,2,）诸周期轨道。倍周期分岔和混沌带中周期窗口的所有周期轨道（包括周期窗口的精细结构），包括了全部nP（周期轨道） 。当映射中的参量（如方程抛物线方程中的 ）取某一定值、 映射结果是某稳定周期轨道nP 时，实际上还同时存在许多不稳定周期轨道。然则它总共可能包含哪些（稳定
2、和不稳定）周期轨道呢？沙尔可夫斯基定理回答了此问题。沙尔可夫斯基首先为一维映射中的不同周期定义了“领先”关系，如果周期p 的存在一定导致周期q存在，则称“p 领先于 q” ，记为pq。在此意义上，所有自然数的领先关系为：2222323579325 27292325272923252729222221mmmmi（1）这就是沙尔可夫斯基序列。沙尔可夫斯基定理说，如果在某个一维连续映射中存在着周期p，则在序列 （1）中一切排在p 后面的周期都也存在。当分岔参量取值增大时，原来稳定的周期轨道不断地变得不稳定，并出现新的稳定轨道。但新的稳定轨道 (p)的出现并不意味着原来轨道(q)不存在，而只是说原来轨
3、道(q)是以不稳定的形式存在于新的稳定状态中。因此参量值越大，（式 1 中位置越靠前） ，状态中包含的不稳定轨道越多。这就是沙尔2 可夫斯基定理。序列（ 1）中最下一行的p2i就是倍周期分岔的逆过程。序列（ 1）中 p 2i的周期轨道就是混沌带中的奇数周期窗口，这种周期轨道实际上包含有无穷多周期轨道 (q)。当然，只有p 轨道自身是稳定的，其余都是不稳定的。如果 p=3，由于 3 处于序列 (1)的第一行最左端，因此它包含全部其他的nP(n=1,2,4,5,6,.) 周期轨道。当然，这些被包含的nP周期轨道全部都是不稳定的。二周期 3 意味着混沌周期 3 意味着混沌李天岩，约克老子道德经 ：
4、“一生二，二生三，三生万物”李天岩和约克进一步指出，3P 周期轨道不仅包含无穷多所有周期轨道，而且还包含由不同初始条件形成的无穷多次迭代（周期等于无穷大）点形成的非周期轨道（混沌）。当然，除3P 自身是稳定的外，所有其余周期的和非周期轨道（混沌）都是不稳定的。也就是说，即使初始条件是非常靠近某一不稳定轨道，系 统 最 终 也 要 被 吸 引 到 稳 定 的3P周 期 轨 道 上 来 。 对 于 其 他 的 周 期 轨 道3 2 P 52 P 72 P 92 Pmmmm、，情况也完全类似，对于参量的取值是，而又不属于周期轨道的情形，不同初始条件形成的不同非周期轨道（混沌）便不可能趋于一个稳定的周
5、期轨道，于是其状态变量的取值便在其定义域内不断交化，这就是混沌。Li-Yorke 定理：令 I 为一个线段，:fII是线段的连续自映射。设线段中存在一点0xI ，使得：32 0000fxxfxfx或32 0000fxxfxfx（不难看出，只要存在一条周期3 轨道，这两串不等式就必然有一个成立），则有：1. 对于任何 k1, 2, 3, , 线段 I 中都存在一条周期k 轨道；2. I 中有一个不可数子集SI，它不包含周期点，而且满足以下条件：A. 对于 S中pq的任意两点，l i m s u p()()0( 2 1 . 2 )l i m i n f()()0( 2 1 . 3 )nnnnnnf
6、pfqfpfqB. 对于 S中每个 q 点和线段 I 中周期点 p，也有（ 21.2）式成立。3 4 5 三周期 3 意味着混沌其他的含义（1）这个定义是针对集合提出的，它表明了混沌存在可数无穷多个不稳定的周期轨道、不可 数无穷多个稳定的非周期轨道、至少一个不稳定的非周期轨道、任意两个初值出发的轨 道距离在0 和一个正数之间飘忽不定。由于序列中存在有无穷多的稳定轨道和至少一 个不稳定的非周期轨道， 从频域的观点来看， 序列的频谱中应包含有一定区域内的所有 频率分量，既具有连续的频谱。? （2）充分而非必要条件混沌并不意味着周期3。因为周期 3 之前已经存在混沌了。（3）从前面的分析也可看出，李约克猜想也完全适用于5P、7P、9P、, 周期轨道，即也 完全可以说：“周期 5 意味着混沌”、 “周期 7 意味着混沌”、,（4）周期 3 窗口为何没有混沌？此时混沌是不稳定吸引子。（5）周期 5、7 有哪些稳定和不稳定轨道？
