方案设计型问题

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1、 方案设计型问题方案设计型问题一、中考专题诠释一、中考专题诠释 方案设计型问题，是指根据问题所提供的信息，运用学过的技能和方法，进行设计和 操作，然后通过分析、计算、证明等，确定出最佳方案的一类数学问题。 随着新课程改革的不断深入，一些新颖、灵活、密切联系实际的方案设计问题正越来 越受到中考命题人员的喜爱，这些问题主要考查学生动手操作能力和创新能力，这也是新 课程所要求的核心内容之一。 二、解题策略和解法精讲二、解题策略和解法精讲 方案设计型问题涉及生产生活的方方面面，如：测量、购物、生产配料、汽车调配、 图形拼接等。所用到的数学知识有方程、不等式、函数、解直角三角形、概率和统计等知 识。这类

2、问题的应用性非常突出，题目一般较长，做题之前要认真读题，理解题意，选择 和构造合适的数学模型，通过数学求解，最终解决问题。解答此类问题必须具有扎实的基 础知识和灵活运用知识的能力，另外，解题时还要注重综合运用转化思想、数形结合的思 想、方程函数思想及分类讨论等各种数学思想。 三、中考考点精讲三、中考考点精讲 考点一：设计测量方案问题考点一：设计测量方案问题 这类问题主要包括物体高度的测量和地面宽度的测量。所用到的数学知识主要有相似、这类问题主要包括物体高度的测量和地面宽度的测量。所用到的数学知识主要有相似、 全等、三角形中位线、投影、解直角三角形等。全等、三角形中位线、投影、解直角三角形等。

3、例例 1 1 （2013吉林）某校数学课题学习小组在“测量教学楼高度”的活动中，设计了以下 两种方案：课题测量教学楼高度方案一二图示测得数据CD=6.9m，ACG=22，BCG=13，EF=10m，AEB=32，AFB=43参考数据sin220.37，cos220.93， tan220.40 sin130.22，cos130.97 tan130.23sin320.53，cos320.85，tan32 0.62 sin430.68，cos430.73，tan43 0.93请你选择其中的一种方法，求教学楼的高度（结果保留整数）思路分析：思路分析：若选择方法一，在 RtBGC 中，根据 CG=即可得

4、出 CG 的长，同tanBG BCG理，在 RtACG 中，根据 tanACG= 可得出 AG 的长，根据 AB=AG+BG 即可得出AG CG 结论若选择方法二，在 RtAFB 中由 tanAFB=可得出 FB 的长，同理，在 RtABE 中，AB FB由 tanAEB=可求出 EB 的长，由 EF=EB-FB 且 EF=10，可知 =10，AB EB- 0.620.93ABAB故可得出 AB 的长 解：解：若选择方法一，解法如下： 在 RtBGC 中，BGC=90，BCG=13，BG=CD=6.9，CG=30，6.96.9 tan130.23 在 RtACG 中，AGC=90，ACG=22

5、，tanACG=，AG CG AG=30tan22300.40=12， AB=AG+BG=12+6.919（米） 答：教学楼的高度约 19 米 若选择方法二，解法如下： 在 RtAFB 中，ABF=90，AFB=43，tanAFB=，AB FBFB=，tan43AB 0.93AB在 RtABE 中，ABE=90，AEB=32，tanAEB=，AB EBEB=，tan32AB 0.62ABEF=EB-FB 且 EF=10，-=10，解得 AB=18.619（米） 0.62AB 0.93AB答：教学楼的高度约 19 米 对应训练对应训练 1 （2013内江）如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公

6、园内一棵树 DE 的高度，他 们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上 A 点处测得树顶端 D 的仰角为 30，朝着这棵树 的方向走到台阶下的点 C 处，测得树顶端 D 的仰角为 60已知 A 点的高度 AB 为 3 米，台阶 AC 的坡度为 1：（即 AB：BC=1：） ，且 B、C、E 三点在同一条直线上请33根据以上条件求出树 DE 的高度（侧倾器的高度忽略不计） 1解：如图，过点 A 作 AFDE 于 F，则四边形 ABEF 为矩形，AF=BE，EF=AB=3， 设 DE=x，在 RtCDE 中，CE=x，tan60DEo3 3在 RtABC 中，AB=3，1 3AB BCBC=3，3在

7、RtAFD 中，DF=DE-EF=x-3，AF=（x-3） ，3 tan30xo3AF=BE=BC+CE，（x-3）=3+x，333 3解得 x=9 答：树高为 9 米考点二：设计搭配方案问题考点二：设计搭配方案问题 这类问题不仅在中考中经常出现，大家在平时的练习中也会经常碰到。它一般给出两这类问题不仅在中考中经常出现，大家在平时的练习中也会经常碰到。它一般给出两 种元素，利用这两种元素搭配出不同的新事物，设计出方案，使获利最大或成本最低。解种元素，利用这两种元素搭配出不同的新事物，设计出方案，使获利最大或成本最低。解 题时要根据题中蕴含的不等关系，列出不等式（组）题时要根据题中蕴含的不等关系

8、，列出不等式（组） ，通过不等式组的整数解来确定方案。，通过不等式组的整数解来确定方案。 例例 2 （2013昆明）某校七年级准备购买一批笔记本奖励优秀学生，在购买时发现，每本 笔记本可以打九折，用 360 元钱购买的笔记本，打折后购买的数量比打折前多 10 本 （1）求打折前每本笔记本的售价是多少元？（2）由于考虑学生的需求不同，学校决定购买笔记本和笔袋共 90 件，笔袋每个原售价为 6 元，两种物品都打九折，若购买总金额不低于 360 元，且不超过 365 元，问有哪几种购 买方案？ 思路分析：思路分析：（1）设打折前售价为 x，则打折后售价为 0.9x，表示出打折前购买的数量及打 折后购

9、买的数量，再由打折后购买的数量比打折前多 10 本，可得出方程，解出即可； （2）设购买笔记本 y 件，则购买笔袋（90-y）件，根据购买总金额不低于 360 元，且不 超过 365 元，可得出不等式组，解出即可 解：解：（1）设打折前售价为 x，则打折后售价为 0.9x，由题意得，360360100.9xx解得：x=4， 经检验得：x=4 是原方程的根， 答：打折前每本笔记本的售价为 4 元（2）设购买笔记本 y 件，则购买笔袋（90-y）件， 由题意得，36040.9y+60.9（90-y）365，解得：67y70，2 9 x 为正整数， x 可取 68，69，70， 故有三种购买方案：

10、方案一：购买笔记本 68 本，购买笔袋 22 个； 方案二：购买笔记本 69 本，购买笔袋 21 个； 方案三：购买笔记本 70 本，购买笔袋 20 个； 点评：点评：本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用，解答此类应用类题目，一 定要先仔细审题，有时需要读上几遍，找到解题需要的等量关系或不等关系 对应训练对应训练 2 （2013湘潭）5 月 12 日是母亲节，小明去花店买花送给母亲，挑中了象征温馨、母爱 的康乃馨和象征高贵、尊敬的兰花两种花，已知康乃馨每支 5 元，兰花每支 3 元，小明只 有 30 元，希望购买花的支数不少于 7 支，其中至少有一支是康乃馨 （1）小明一共有多少种

11、可能的购买方案？列出所有方案； （2）如果小明先购买一张 2 元的祝福卡，再从（1）中任选一种方案购花，求他能实现购 买愿望的概率 2解：（1）设购买康乃馨 x 支，购买兰花 y 支，由题意，得，533071xyxyx x、y 为正整数， 当 x=1 时，y=6，7，8 符合题意， 当 x=2 时，y=5，6 符合题意， 当 x=3 时，y=4，5 符合题意， 当 x=4 时，y=3 符合题意， 当 x=5 时，y=1 舍去，当 x=6 时，y=0 舍去 共有 8 种购买方案， 方案 1：购买康乃馨 1 支，购买兰花 6 支； 方案 2：购买康乃馨 1 支，购买兰花 7 支； 方案 3：购买康

12、乃馨 1 支，购买兰花 8 支； 方案 4：购买康乃馨 2 支，购买兰花 5 支； 方案 5：购买康乃馨 2 支，购买兰花 6 支； 方案 6：购买康乃馨 3 支，购买兰花 4 支； 方案 7：购买康乃馨 3 支，购买兰花 5 支； 方案 8：购买康乃馨 4 支，购买兰花 3 支； （2）由题意，得，532871xyxyx 购花的方案有： 方案 1：购买康乃馨 1 支，购买兰花 6 支； 方案 2：购买康乃馨 1 支，购买兰花 7 支； 方案 4：购买康乃馨 2 支，购买兰花 5 支； 方案 5：购买康乃馨 2 支，购买兰花 6 支； 小明实现购买方案的愿望有 5 种，而总共有 8 中购买方案

13、，小明能实现购买愿望的概率为 P=5 8考点三：设计销售方案问题考点三：设计销售方案问题 在商品买卖中，更多蕴含着数学的学问。在形形色色的让利、打折、买一赠一、摸奖等 促销活动中，大家不能被表象所迷惑，需要理智的分析。通过计算不同的销售方案盈利情况， 可以帮助我们明白更多的道理。近来还出现运用概率统计知识进行设计的问题。 例例 3 （2013遂宁）四川省第十二届运动会将于 2014 年 8 月 18 日在我市隆重开幕，根 据大会组委会安排，某校接受了开幕式大型团体操表演任务为此，学校需要采购一批演 出服装，A、B 两家制衣公司都愿成为这批服装的供应商经了解：两家公司生产的这款 演出服装的质量和

14、单价都相同，即男装每套 120 元，女装每套 100 元经洽谈协商：A 公 司给出的优惠条件是，全部服装按单价打七折，但校方需承担 2200 元的运费；B 公司的 优惠条件是男女装均按每套 100 元打八折，公司承担运费另外根据大会组委会要求，参 加演出的女生人数应是男生人数的 2 倍少 100 人，如果设参加演出的男生有 x 人 （1）分别写出学校购买 A、B 两公司服装所付的总费用 y1（元）和 y2（元）与参演男生 人数 x 之间的函数关系式； （2）问：该学校购买哪家制衣公司的服装比较合算？请说明理由 思路分析：思路分析：（1）根据总费用=男生的人数男生每套的价格+女生的人数女生每套的

15、价格 就可以分别表示出 y1（元）和 y2（元）与男生人数 x 之间的函数关系式； （2）根据条件可以知道购买服装的费用受 x 的变化而变化，分情况讨论，当 y1y2 时， 当 y1=y2时，当 y1y2时，求出 x 的范围就可以求出结论 解：解：（1）总费用 y1（元）和 y2（元）与参演男生人数 x 之间的函数关系式分别是：y1=0.7120x+100（2x-100）+2200=224x-4800， y2=0.8100（3x-100）=240x-8000； （2）由题意，得 当 y1y2时，即 224x-4800240x-8000，解得：x200 当 y1=y2时，即 224x-4800=240x-8000，解得：x=200 当 y1y2时，即 224x-4800240x-8000，解得：x200 即当参演男生少于 200 人时，购买 B 公司的服装比较合算； 当参演男生等于 200 人时，购买两家公司的服装总费用相同，可任一家公司购买； 当参演男生多于 200 人时，购买 A 公司的服装比较合算 点评：点评：本题考查了根据条件求一次函数的解析式的运用，运用不等式求设计方案的运用， 解答本题时根据数量关系求出解析式是关键，建立不等式计算优惠方案是难点 对应训练对应训练 3 （2013绥化）为了迎接“十一”小长假的购物高峰某运动品牌专卖店准备购进