应用随机过程

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1、应用随机过程1 一、随机过程简介随机过程这一学科最早起源于对物理学的研究，如 吉布斯 （美国物理化学家、数学物理学家）、 玻尔兹曼（奥地利物理学家）、庞加莱 （法国数学家）等人对统计力学的研究 ，及后来 爱因斯坦、维纳 (Wiener ，美国数学家，控制论的创始人)、 莱 维 (Levy ，法国数学家)等人对布朗运动的开创性工作。 1907 年前后，马尔可夫(Markov) 研究了一系列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链。1923 年维纳给出布朗运动的数学定义，直到今日这一过程仍是重要的研究课题。随机过程一般理论的研究通常认为开始于20 世纪30 年代。 1931 年，柯尔莫哥洛夫发

2、表了概率论的解析方法 ，1934 年辛饮发表了平稳过程的相关理论，这两篇著作奠定了马尔可夫过程与平稳过程的理论基础。 1953年，杜布出版了名著随机过程论，系统且严格地叙述了随机过程基本理论。 一般认为， 随机 过程整个学科的理论基础是由柯 尔莫哥洛夫 （ Kolmogorov） 和杜 布 (Doob) 奠定的。柯尔莫哥洛夫1903 年 4 月 25 日 ，柯尔莫哥洛夫出生于俄罗斯的坦博夫城。他的父亲在1919年去世。他的母亲出身于贵族家庭，在他出生后10 天去世。他只好由二位姨妈抚育和指导学习。他 5、 6 岁时就 归纳出了“l 12 ， 1+3 22 ， 1+3+5=32， 1+3+5+7

3、 42 ”这一数学规律。14 岁 时他就开始自学高等数学，1920 年他高中毕业，进入莫斯科大学，先学习冶金，后来转学数学，大学三年级时就发表了论文。1925 年大学毕业后，当研究生。1929 年研究生毕业后，担任莫斯科大学数学力学研究所助理研究员。1935 年获得苏联首批博士学位。1931 年起他担任莫斯科大学教授，并指导研究生。1933 年担任 莫斯科大学数学力学研究所所长，创建了概率论、数理统计、数理逻辑、概率统计方法等教研室，先后教过数学分析、常微分方程、复变函数论、概率论、数理逻辑和信息论等课程。1939 年当选 为原苏联科学院院士、主席团委员和数学研究所所长。1954 年担任 莫斯

4、科大学数学力学系主任。1966 年当选 为原苏联教育科学院院士。1987 年 10 月 20 日在莫斯科逝世，享年84 岁。研究范 围他的研究范围广泛：基础数学、数理逻辑、实变函数论、微分方程、概率论、数理统计、信息论、泛函分析力学、拓朴学 以 及数学在物理、化学、生物、地质、应用随机过程2 冶金、结晶学、人工神经网络中的广泛应用。他创建了一些新的数学分支 信息算法论、概率算法论和语言统计学等。荣誉奖 项由于他的卓越成就，他在国内外享有极高的声誉。他是美国、法国、民主德国、荷兰、波兰、芬兰等20 多个科学院的外国院士，英国皇家学会外国会员，他是法国巴黎大学，波兰华沙大学等多所大学的名誉博士。1

5、963 年获国际巴尔桑奖， 1975年获匈牙利奖章，1976 年获美国气象学会奖章、民主德国赫姆霍兹奖章，1980 年获世界最著名的沃尔夫奖。 在国内， 1941 年 获国家奖，1951 年获苏联科学院车贝雪夫奖，1963 年获苏维埃英雄称号，1965 年获列宁奖，1940 年 获劳动红旗勋章，1944 1979 年获7 枚 列宁勋章、金星奖章及“ 在伟大的爱国战争中英勇劳动” 奖章， 1983 年获十月革命勋章， 1986 年获苏联科学院罗巴切夫斯基奖。杜布杜布是美国数学家，1910 年 10 月 27 日生于辛辛那提，2004 年 6 月 7 日卒于伊利诺伊。杜布毕业于哈佛大学，1932

6、年获博士学位。他是美国国家科学院和美国科学艺术研究院院士，伊利诺伊大学教授。杜布的主要贡献是概率论。他深入研究了随机过程理论，得出了任意的随机过程都具有可分修正，建立了随机函数理论的公理结构。他是鞅论的奠基人，虽然莱维等人早在1935 年发表了一些孕育着鞅论的工作，1939 年莱维引进“ 鞅 ”(martingale) 这个名称，但 对鞅进行系统研究并使之成为随机过程论的一个重要分支的，则应归功于杜布。他还引进了半鞅的概念。在鞅论中有以他的姓氏命名的著名的杜布停止定理、杜布 迈耶上鞅分解定理等。鞅论使随机过程的研究进一步抽象化，不仅丰富了概率论的内容，而且为其它数学分支如调和分析、复变函数、位

7、势理论等提供了有力的工具。对马尔 可夫过程，杜布关于轨道的严密处理进行了系统的研究。主要内容)2(8312312624312Poisson)1(4周课时六、鞅周）课时（五、布朗运动周）课时（四、更新过程周）课时（三、马尔可夫链周）课时（过程二、周课时一、随机过程的概念主要内容：Poisson 过程、马尔可夫链、更新过程、布朗运动应用随机过程3 问题：随机变量的定义？定 义 ： 设),(P是 概 率 空间 ， X 是定 义 在上 取 值于 实 数 集R 的 函 数 ，如 果)(:,xXRx，则称X 是上的随机变量，简称为随机变量。函数xxXPxF,)(:)(称为随机变量X 的分布函数。第一章随机

8、过程的基本概念一、随机过程的定义例 1：医院登记新生儿性别，0 表示男， 1 表示女， Xn表示第 n 次登记的数字，得到一个序列 X1 ，X2 ， ，记为 Xn，n=1,2, ，则 Xn 是随机变量，而Xn，n=1,2, 是随机过程。例 2：在地震预报中，若每半年统计一次发生在某区域的地震的最大震级。令Xn表示第n次统计所得的值，则Xn 是随机变量。为了预测该区域未来地震的强度，我们就要研究随机过程 Xn， n=1,2, 的统计规律性。例 3：一个醉汉在路上行走，以概率p 前进一步，以概率1-p 后退一步（假设步长相同）。以 X(t) 记他 t 时刻在路上的位置，则X(t), t0 就是（直

9、线上的）随机游动。例 4：乘客到火车站买票，当所有售票窗口都在忙碌时，来到的乘客就要排队等候。乘客的到来和每个乘客所需的服务时间都是随机的，所以如果用X(t) 表示 t 时刻的队长，用Y(t) 表示 t 时刻到来的顾客所需等待的时间，则X(t), tT 和 Y(t), tT 都是随机过程。定义 ： 设给定参数集合T， 若对每个 tT, X(t) 是概率空间),(P上的随机变量， 则称 X(t), tT 为随机过程，其中T 为指标集或参数集。EXt:)(，E 称为状态空间，即X(t) 的所有可能状态构成的集合。例 1： E为 0,1 例 2： E为 0, 10 例 3： E为,2,2, 1,1,

10、0例 4： E都为),0注 ： （1）根据状态空间E 的不同， 过程可分为连续状态和离散状态，例 1，例 3 为离散状态，其他为连续状态。（2）参数集 T 通常代表时间， 当 T 取 R, R+, a,b时，称X(t), tT 为连续参数的随机过程；当 T 取 Z, Z+时，称 X(t), tT 为离散参数的随机过程。（3）例 1 为离散状态离散参数的随机过程，例2 为连续状态离散参数的随机过程，例3 为离散状态连续参数的随机过程，例4 为连续状态连续参数的随机过程。应用随机过程4 二、有限维分布与Kolmogorov定理随机过程的一维分布：)(),(xtXPxtF随机过程的二维分布：Tttx

11、tXxtXPxxFtt21221121,)(,)(),(21随机过程的n 维分布：TtttxtXxtXxtXPxxxFnnnntttn,)(,)(,)(),(21221121,211、有限维分布族：随机过程的所有一维分布，二维分布，n 维分布等的全体1,),(2121,21nTtttxxxFnntttn称为 X(t), tT 的有限维分布族。2、有限维分布族的性质：（1）对称性：对（1,2，n）的任一排列),(21njjj，有),(),(21,212121ntttjjjtttxxxFxxxF nnnjjj（2）相容性：对于m 0 ，称为相对安全负荷. 假定 3：调节系数存在唯一性假定首先，要求

12、个体索赔额的矩母函数00( )( )11()rxrxrx xrE eedFxreFx dx至少在包含原点的某个邻域内存在；其次，要求方程()1xcrr存在正解，记为 R. 应用随机过程48 定理 4.4.1 若假定 1假定 3 成立，则有（1）1(0) 1; （2）Lundberg不等式：( )Ruue, 0u（3）LundbergCramer 近似：存在正常数C，使得()uRuCe, u. 即()lim1R uuuCe应用随机过程49 习题1、判断下列命题是否正确：（1）( )Nt t （2）( )Ntn nTt （3）( )Nt n nT t 2、更新过程的来到间隔,1, 2,iXi,服从

13、参数为(,)n的分布。（1）试求( )N t的分布；（2）对更新过程，证明当t时，有( )1N ttua.s. , 其中1uE X（3）试证( )lim tN ttna.s. 3.设11 3iPX，22 3iPX，计算(1)P Nk(2)P Nk(3)P Nk应用随机过程50 第五章Brown 运动5.1 基本概念与性质定义 5.1.1：随机过程0),(ttX如果满足：（1）0)0(X（2）0),(ttX具有平稳独立增量（3）对每个)(,0tXt服从正态分布),0(2tN则称0),(ttX为 Brown 运动，也称为Wiener 过程。常记为0),(ttB或0),(ttW注 ：如果,1称之为标

14、准Brown 运动。如果0,)(,1ttX是标准 Brown 运动。性质 5.1.1：Brown 运动是具有下述性质的随机过程0),(ttB（1） （正态增量）),0()()(,0stNsBtBts（2） （独立增量）)()(,0sBtBts独立于过程的过去状态suuB0),(（3） （路径的连续性）0),(ttB是 t 的连续函数注 ：性质 5.1.1 中没有假定0)0(B，因此称之为始于x 的 Brown 运动。也记为)(tBx。易见xtBtBx)()(0例 5.1.1：设0),(ttB是标准 Brown 运动，计算0)2(Bp和2, 1,0,0)(ttBp应用随机过程51 定 义5.1.

15、2： Brown运 动 的 二 次 变 差)(,tBB定 义 为 当ninit0取 遍 0,t 的 分 割 , 且0max110nnininitt时，依概率收敛意义下的极限21010)()(lim,0,)(,nininitBtBtBBtBBn下面是 Brown 运动的路径性质。 从时刻 0 到时刻 T 对 Brown 运动的一次观察称为Brown 运动在区间 0,T 上的一个路径。Brown 运动的几乎所有样本路径)0()(TttB都具有下述性质。（1）是 t 的连续函数（2）在任意区间（无论区间多么小）上都不是单调的（3）在任意点都不是可微的（4）在任意区间（无论区间多么小）上都是无限变差的

16、（5）对任意 t，在 0,t 上的二次变差等于t 应用随机过程52 5.2 Gauss过程定义 5.2.1：所谓的Gauss过程是指所有有限维分布都是多元正态分布的随机过程。注 ：本节的主要目的是证明Brown 运动是特殊的Gauss过程。引理 5.2.1 设),(),(222211NYNX是相互独立的，则)(),(,NYXX。其中均值),(211，协方差矩阵2221212121定理 5.2.1 Brown 运动是均值函数为m(t)=0, 协方差函数为,min),(stts的 Gauss过程。例 5.2.1 设0),(ttB是 Brown 运动，求B(1)+B(2)+B(3)+B(4) 的分布例 5.2.2 求)1() 43() 21() 41(BBBB的分布