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1、应用随机过程1 一、随机过程简介随机过程这一学科最早起源于对物理学的研究,如 吉布斯 (美国物理化学家、数学物理学家)、 玻尔兹曼(奥地利物理学家)、庞加莱 (法国数学家)等人对统计力学的研究 ,及后来 爱因斯坦、维纳 (Wiener ,美国数学家,控制论的创始人)、 莱 维 (Levy ,法国数学家)等人对布朗运动的开创性工作。 1907 年前后,马尔可夫(Markov) 研究了一系列有特定相依性的随机变量,后人称之为马尔可夫链。1923 年维纳给出布朗运动的数学定义,直到今日这一过程仍是重要的研究课题。随机过程一般理论的研究通常认为开始于20 世纪30 年代。 1931 年,柯尔莫哥洛夫发
2、表了概率论的解析方法 ,1934 年辛饮发表了平稳过程的相关理论,这两篇著作奠定了马尔可夫过程与平稳过程的理论基础。 1953年,杜布出版了名著随机过程论,系统且严格地叙述了随机过程基本理论。 一般认为, 随机 过程整个学科的理论基础是由柯 尔莫哥洛夫 ( Kolmogorov) 和杜 布 (Doob) 奠定的。柯尔莫哥洛夫1903 年 4 月 25 日 ,柯尔莫哥洛夫出生于俄罗斯的坦博夫城。他的父亲在1919年去世。他的母亲出身于贵族家庭,在他出生后10 天去世。他只好由二位姨妈抚育和指导学习。他 5、 6 岁时就 归纳出了“l 12 , 1+3 22 , 1+3+5=32, 1+3+5+7
3、 42 ”这一数学规律。14 岁 时他就开始自学高等数学,1920 年他高中毕业,进入莫斯科大学,先学习冶金,后来转学数学,大学三年级时就发表了论文。1925 年大学毕业后,当研究生。1929 年研究生毕业后,担任莫斯科大学数学力学研究所助理研究员。1935 年获得苏联首批博士学位。1931 年起他担任莫斯科大学教授,并指导研究生。1933 年担任 莫斯科大学数学力学研究所所长,创建了概率论、数理统计、数理逻辑、概率统计方法等教研室,先后教过数学分析、常微分方程、复变函数论、概率论、数理逻辑和信息论等课程。1939 年当选 为原苏联科学院院士、主席团委员和数学研究所所长。1954 年担任 莫斯
4、科大学数学力学系主任。1966 年当选 为原苏联教育科学院院士。1987 年 10 月 20 日在莫斯科逝世,享年84 岁。研究范 围他的研究范围广泛:基础数学、数理逻辑、实变函数论、微分方程、概率论、数理统计、信息论、泛函分析力学、拓朴学 以 及数学在物理、化学、生物、地质、应用随机过程2 冶金、结晶学、人工神经网络中的广泛应用。他创建了一些新的数学分支 信息算法论、概率算法论和语言统计学等。荣誉奖 项由于他的卓越成就,他在国内外享有极高的声誉。他是美国、法国、民主德国、荷兰、波兰、芬兰等20 多个科学院的外国院士,英国皇家学会外国会员,他是法国巴黎大学,波兰华沙大学等多所大学的名誉博士。1
5、963 年获国际巴尔桑奖, 1975年获匈牙利奖章,1976 年获美国气象学会奖章、民主德国赫姆霍兹奖章,1980 年获世界最著名的沃尔夫奖。 在国内, 1941 年 获国家奖,1951 年获苏联科学院车贝雪夫奖,1963 年获苏维埃英雄称号,1965 年获列宁奖,1940 年 获劳动红旗勋章,1944 1979 年获7 枚 列宁勋章、金星奖章及“ 在伟大的爱国战争中英勇劳动” 奖章, 1983 年获十月革命勋章, 1986 年获苏联科学院罗巴切夫斯基奖。杜布杜布是美国数学家,1910 年 10 月 27 日生于辛辛那提,2004 年 6 月 7 日卒于伊利诺伊。杜布毕业于哈佛大学,1932
6、年获博士学位。他是美国国家科学院和美国科学艺术研究院院士,伊利诺伊大学教授。杜布的主要贡献是概率论。他深入研究了随机过程理论,得出了任意的随机过程都具有可分修正,建立了随机函数理论的公理结构。他是鞅论的奠基人,虽然莱维等人早在1935 年发表了一些孕育着鞅论的工作,1939 年莱维引进“ 鞅 ”(martingale) 这个名称,但 对鞅进行系统研究并使之成为随机过程论的一个重要分支的,则应归功于杜布。他还引进了半鞅的概念。在鞅论中有以他的姓氏命名的著名的杜布停止定理、杜布 迈耶上鞅分解定理等。鞅论使随机过程的研究进一步抽象化,不仅丰富了概率论的内容,而且为其它数学分支如调和分析、复变函数、位
7、势理论等提供了有力的工具。对马尔 可夫过程,杜布关于轨道的严密处理进行了系统的研究。主要内容)2(8312312624312Poisson)1(4周课时六、鞅周)课时(五、布朗运动周)课时(四、更新过程周)课时(三、马尔可夫链周)课时(过程二、周课时一、随机过程的概念主要内容:Poisson 过程、马尔可夫链、更新过程、布朗运动应用随机过程3 问题:随机变量的定义?定 义 : 设),(P是 概 率 空间 , X 是定 义 在上 取 值于 实 数 集R 的 函 数 ,如 果)(:,xXRx,则称X 是上的随机变量,简称为随机变量。函数xxXPxF,)(:)(称为随机变量X 的分布函数。第一章随机
8、过程的基本概念一、随机过程的定义例 1:医院登记新生儿性别,0 表示男, 1 表示女, Xn表示第 n 次登记的数字,得到一个序列 X1 ,X2 , ,记为 Xn,n=1,2, ,则 Xn 是随机变量,而Xn,n=1,2, 是随机过程。例 2:在地震预报中,若每半年统计一次发生在某区域的地震的最大震级。令Xn表示第n次统计所得的值,则Xn 是随机变量。为了预测该区域未来地震的强度,我们就要研究随机过程 Xn, n=1,2, 的统计规律性。例 3:一个醉汉在路上行走,以概率p 前进一步,以概率1-p 后退一步(假设步长相同)。以 X(t) 记他 t 时刻在路上的位置,则X(t), t0 就是(直
9、线上的)随机游动。例 4:乘客到火车站买票,当所有售票窗口都在忙碌时,来到的乘客就要排队等候。乘客的到来和每个乘客所需的服务时间都是随机的,所以如果用X(t) 表示 t 时刻的队长,用Y(t) 表示 t 时刻到来的顾客所需等待的时间,则X(t), tT 和 Y(t), tT 都是随机过程。定义 : 设给定参数集合T, 若对每个 tT, X(t) 是概率空间),(P上的随机变量, 则称 X(t), tT 为随机过程,其中T 为指标集或参数集。EXt:)(,E 称为状态空间,即X(t) 的所有可能状态构成的集合。例 1: E为 0,1 例 2: E为 0, 10 例 3: E为,2,2, 1,1,
10、0例 4: E都为),0注 : (1)根据状态空间E 的不同, 过程可分为连续状态和离散状态,例 1,例 3 为离散状态,其他为连续状态。(2)参数集 T 通常代表时间, 当 T 取 R, R+, a,b时,称X(t), tT 为连续参数的随机过程;当 T 取 Z, Z+时,称 X(t), tT 为离散参数的随机过程。(3)例 1 为离散状态离散参数的随机过程,例2 为连续状态离散参数的随机过程,例3 为离散状态连续参数的随机过程,例4 为连续状态连续参数的随机过程。应用随机过程4 二、有限维分布与Kolmogorov定理随机过程的一维分布:)(),(xtXPxtF随机过程的二维分布:Tttx
11、tXxtXPxxFtt21221121,)(,)(),(21随机过程的n 维分布:TtttxtXxtXxtXPxxxFnnnntttn,)(,)(,)(),(21221121,211、有限维分布族:随机过程的所有一维分布,二维分布,n 维分布等的全体1,),(2121,21nTtttxxxFnntttn称为 X(t), tT 的有限维分布族。2、有限维分布族的性质:(1)对称性:对(1,2,n)的任一排列),(21njjj,有),(),(21,212121ntttjjjtttxxxFxxxF nnnjjj(2)相容性:对于m 0 ,称为相对安全负荷. 假定 3:调节系数存在唯一性假定首先,要求
12、个体索赔额的矩母函数00( )( )11()rxrxrx xrE eedFxreFx dx至少在包含原点的某个邻域内存在;其次,要求方程()1xcrr存在正解,记为 R. 应用随机过程48 定理 4.4.1 若假定 1假定 3 成立,则有(1)1(0) 1; (2)Lundberg不等式:( )Ruue, 0u(3)LundbergCramer 近似:存在正常数C,使得()uRuCe, u. 即()lim1R uuuCe应用随机过程49 习题1、判断下列命题是否正确:(1)( )Nt t (2)( )Ntn nTt (3)( )Nt n nT t 2、更新过程的来到间隔,1, 2,iXi,服从
13、参数为(,)n的分布。(1)试求( )N t的分布;(2)对更新过程,证明当t时,有( )1N ttua.s. , 其中1uE X(3)试证( )lim tN ttna.s. 3.设11 3iPX,22 3iPX,计算(1)P Nk(2)P Nk(3)P Nk应用随机过程50 第五章Brown 运动5.1 基本概念与性质定义 5.1.1:随机过程0),(ttX如果满足:(1)0)0(X(2)0),(ttX具有平稳独立增量(3)对每个)(,0tXt服从正态分布),0(2tN则称0),(ttX为 Brown 运动,也称为Wiener 过程。常记为0),(ttB或0),(ttW注 :如果,1称之为标
14、准Brown 运动。如果0,)(,1ttX是标准 Brown 运动。性质 5.1.1:Brown 运动是具有下述性质的随机过程0),(ttB(1) (正态增量)),0()()(,0stNsBtBts(2) (独立增量))()(,0sBtBts独立于过程的过去状态suuB0),((3) (路径的连续性)0),(ttB是 t 的连续函数注 :性质 5.1.1 中没有假定0)0(B,因此称之为始于x 的 Brown 运动。也记为)(tBx。易见xtBtBx)()(0例 5.1.1:设0),(ttB是标准 Brown 运动,计算0)2(Bp和2, 1,0,0)(ttBp应用随机过程51 定 义5.1.
15、2: Brown运 动 的 二 次 变 差)(,tBB定 义 为 当ninit0取 遍 0,t 的 分 割 , 且0max110nnininitt时,依概率收敛意义下的极限21010)()(lim,0,)(,nininitBtBtBBtBBn下面是 Brown 运动的路径性质。 从时刻 0 到时刻 T 对 Brown 运动的一次观察称为Brown 运动在区间 0,T 上的一个路径。Brown 运动的几乎所有样本路径)0()(TttB都具有下述性质。(1)是 t 的连续函数(2)在任意区间(无论区间多么小)上都不是单调的(3)在任意点都不是可微的(4)在任意区间(无论区间多么小)上都是无限变差的
16、(5)对任意 t,在 0,t 上的二次变差等于t 应用随机过程52 5.2 Gauss过程定义 5.2.1:所谓的Gauss过程是指所有有限维分布都是多元正态分布的随机过程。注 :本节的主要目的是证明Brown 运动是特殊的Gauss过程。引理 5.2.1 设),(),(222211NYNX是相互独立的,则)(),(,NYXX。其中均值),(211,协方差矩阵2221212121定理 5.2.1 Brown 运动是均值函数为m(t)=0, 协方差函数为,min),(stts的 Gauss过程。例 5.2.1 设0),(ttB是 Brown 运动,求B(1)+B(2)+B(3)+B(4) 的分布例 5.2.2 求)1() 43() 21() 41(BBBB的分布