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1、A BCDO第十三讲 :正方形 性质 判定 代数意义1. 定义：有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形（由矩形，菱形怎样转化为正方形）2. 性质：边（1）四条边都相等（2）对边平行，邻边垂直对角线（3）对角线相等，平分，且平分对角（对角线把它分成四个等腰直角三角形）角（4）四个角是直角（4）既是轴对称图形又是中心对称图形 （5）正方形具有平行四边形，矩形，菱形的所有特点3. 判定方法：（1）定义：有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形 （平行四边形+ 一个直角+ 一组邻边相等）（2）矩形+有一组邻边相等（3）菱形+有一个角是直角4. 面积：面积=边边 ， 2as5. 解
2、题中注意问题：（1）严格把握正方形本身具有的特征（2）注意正方形的对角线与边的夹角的特殊值，以及利用直角三角形解决问题（3）判定一个四边形是正方形，可以首先判定是矩形或者是菱形考点一：正方形的基本性质：1、判断:（1）四条边都相等的四边形是正方形。 （ ）（2）两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形。 （ ）（3）两条对角线分别平分一组对角的四边形是正方形。 （ ）（4）两条对角线互相垂直的矩形是正方形。 （ ）2.四边形 ABCD 中， AC、 BD 相交于点 O，能判别这个四边形是正方形的条件是（ ）A. OA=OB=OC=OD， AC BD B.AB CD， AC=BDC.AD BC，
3、 A= C D.OA=OC， OB=OD， AB=BC3、如图，正方形 ABCD 中， AB= ，点 E、F 分别在 BC、CD 上，且BAE=30，DAF=15度（1 ）求证：DF+BE=EF ；（2 ）则 EFC 的度数为 3 度；（3 ）则AEF 的面积为3、 （上海市）如图，已知平行四边形 中，对角线 交于点 ， 是 延ABCDABD， OEBD长线上的点，且 是等边三角形E（1）求证：四边形 是菱形；（2）若 ，求证：四边形 是正方形2ADECDBAO【例 1】 （2008 湖北襄樊）如图 12，B、C、E 是同一直线上的三个点，四边形 ABCD 与四边形 CEFG 是都是正方形 .
4、连接 BG、DE. （1）观察猜想 BG 与 DE 之间的大小关系，并证明你的结论. （2）在图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请指出，并说出旋转过程；若不存在，请说明理由.【例 2】如图，E 是正方形 ABCD 边 BC 延长线上一点，CE=AC，AE 交 CD 于 F，求AFC 的度数。DEFG 的边长. 【练习 6】 （2010 湖南长沙）在正方形 ABCD中，AC 为对角线，E 为 AC上一点，连接EB、ED（1）求证： BECDEC；（2 ）延长 BE交 AD于 F，当BED120时，求的度数EFD 【练习 7】 （2010 四川宜宾）如图，点 P 是正方形 AB
5、CD 的对角线 BD 上一点，PEBC 于点E，PFCD 于点 F，连接 EF 给出下列五个结论：AP =EF；APEF；APD 一定是等腰三角形；PFE=BAP；PD = EC其中正确结论的序号是 2考点二：正方形的折叠问题：【例 1】 （08 哈尔滨）如图，将边长为 8cm 的正方形纸片 ABCD 折叠，使点 D 落在BC 边中点 E 处，点 A 落在点 F 处，折痕为 MN，则线段 CN 的（ ） （A）3cm （B）4cm（C ）5cm （D）6cm【练习】 (2006 荆门大纲)如图，有一张面积为 1 的正方形纸片 ， ， 分别是 ， 边的中点，将 点折ABMNABC叠至 上，落在
6、点的位置，折痕为 ，连结 ，则 PQPQ考点三正方形的面积：【练习 1】 （2010 南宁）正方形 、正方形 和正方形 的位置如ABCDEFGRKPF图所示，点 在线段 上，正方形 的边长为 4，则 的面积为（ ）GKD（A）10 （B）12 （C）14 16（D）【练习 2】如图，正方形 ABCD 中，边长为 2，其中正方形 ABCO 与正方形 ABCD 全等，顶点 O 在正方形 ABCD 对角线交点 O，求阴影部分面积。1. （2010 四川自贡）边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30得到正方形ABCD，两图叠成一个“蝶形风筝” （如图所示阴影部分） ，则这个风筝的面积
7、是（ ） 。A2 B3 32C2 D2 44. （2010 山东日照）如图，四边形 ABCD 是边长为 a 的正方形，点 G，E 分别是边 AB，BC的中点，AEF=90 o，且 EF 交正方形外角的平分线 CF 于点 F （1）证明：BAE= FEC；（2）证明： AGEECF；（3 ）求AEF 的面积考点三正方形的判定：【例 1】如图，正方形 ABCD 中， 求证：四边形 EFGH 是正方DHCGBFAE形【练习 1】已知：如图，ABC 中， ，CD 平分 ， ，90CACBDE，垂足分别为 E、F求证：四边形 CFDE 是正方形ACDF【练习 2】如图,正方形 ABCD 中,E、F、G、
8、H 分别为四边中点，连接 AG、BH、CE、DF 依次相交于 M、N、P、Q。求证：四边形 MNPQ 是正方形考点五正方形的有关计算：【例 1】已知：如图 4-57，已知四边形 ABCD 是正方形， 求35,MCENANM【例 2】如图，四边形 ABCD 为正方形，以 AB 为边向正方形外做等边三角形 ABE，交 BD 于F，求AFD 的度数。六正方形的综合题：【例 1】.如图，正方形 ABCD 中，MNEF ，求证：MN=EF【例 2】如图，正方形形 ABCD 的边长为 1、P、Q 分别在 AB、AD 上，已知APQ 周长为2，求证：PCQ=45 0；A BCDPQ【例 3】已知正方形 ABCD 中，M 是 AB 的中点，E 是 AB 延长线上一点，MNDM 且交CBE 的平分线于 N， （如图甲） （1）求证：MDMN；（2）若将上述条件中的“M 为 AB的中点”改为“M 为 AB 上任意一点” ，其余的条件不变， （如图乙） ，则结论 MDMN 还成立吗？如果成立，请证明，若不成立，请说明理由；
