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1、附录 截面的几何性质Appendix Properties of Plane Areas),附录 截面的几何性质(Appendix Properties of Plane Areas), 1-1 截面的静矩和形心(the first moments of the area& centroid of an area), 1-4 转轴公式 (rotation of axes), 1-2 极惯性矩 惯性矩 惯性积 (Polar moment of inertia、 Moment of inertia、product of inertia), 1-3 平行移轴公式 (Parallel-Axis The
2、orem), 1-1 截面的静矩和形心 (the first moment of the area & centroid of an area),一、静矩(the first moment of the area ）,截面对 y , x 轴的静矩为：,(常用单位： m3 或mm3 。值：可为正、负或 0 。）,二、截面的形心（centroid of an area),三、 组合截面的静矩和形心(the first moments ¢roid of a composite area),由几个简单图形组成的截面称为组合截面,截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，就等于该截面对于同一轴的静
3、矩。,其中： Ai 第 i个简单截面面积, 第 i个简单截面的形心坐标,1、组合截面静矩(the first moments of a composite area),2、 组合截面形心(centroid of a composite area)：,例 试计算图示三角形截面对于与其底边重合的x轴的静矩。,解：,取平行于x轴的狭长条，,所以对x轴的静矩为,解：组合图形，用正负面积法解之。 1、用正面积法求解。将截面分为 1，2 两个矩形。,例 1 试确定图示截面形心 C 的位置。,取 x 轴和 y 轴分别与截面的底边和左边缘重合,90,90,矩形 1,矩形 2,90,所以,80,2.用负面积法求
4、解，图形分割及坐标如图(b),图(b),C1（0,0）C2（5,5）, 1-2 极惯性矩 、 惯性矩 、 惯性积 (Polar moment of inertia、Moment of inertia、product of inertia),2、极惯性矩 (Polar moment of inertia）,1、惯性矩(Moment of inertia),（为正值，单位m4 或 mm4),I = IZ+ Iy,所以,3、惯性积 (product of inertia),（即截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和。）,（其值可为正、负或0，单位:m4 或 mm4
5、),4、惯性半径(radius of gyration of the area),（单位m 或 mm）,对圆截面，,d A = b d z,解：,b,h,y,z,C,例 2 求矩形截面对其对称轴 y, z 轴的惯性矩。,若截面是高度为h的平行四边形（图b），则其对形心轴x 的惯性矩同样为,所以,解：因为截面对其圆心 O 的极惯性矩为,例 3 求圆形截面对其对称轴的惯性矩 。,-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式组合截面的惯性矩和惯性积,1.惯性矩和惯性积的平行移轴公式,设有面积为A的任意形状的截面。,C为其形心，Cxcyc为形心坐标系。与该形心坐标轴分别平行的任意坐标系为Oxy ,形心C在在Ox
6、y坐标系下的坐标为(a , b),任意微面元dA在两坐标系下的坐标关系为：,同理，有：,（此为平行移轴公式 ）,注意：,式中的a、b代表坐标值，有时可能取负值。,等号右边各首项为相对于形心轴的量。,2.组合截面的惯性矩和惯性积,根据惯性矩和惯性积的定义易得组合截面对于某轴的惯性矩（或惯性积）等于其各组成部分对于同一轴的惯性矩（或惯性积）之和：,例：求图示直径为d的半圆对其自身形心轴xc的惯性矩。,解：,（1）求形心坐标,（2）求对形心轴xc的惯性矩,由平行移轴公式得：,例 3 -1 求T形截面对其形心轴 yc 的惯性矩。,解：将截面分成两个矩形截面。,截面的形心必在对称轴 zc 上。,取过矩形
7、 2 的形心且平行于底边的轴作为参考轴记作 y 轴 。,2,所以截面的形心坐标为,2,2,例：试求图a 所示截面对于对称轴x的惯性矩。,解：将截面看作一个矩形和两个半圆组成。,（1）矩形对x的惯性矩：,（2）一个半圆对其自身形心轴xc的惯性矩（见上例）,（3）一个半圆对x的惯性矩：,由平行移轴公式得：,（4）整个截面对于对称轴x的惯性矩：,-4 惯性矩和惯性积的转轴公式截面的主惯性轴和主惯性矩,1.惯性矩和惯性积的转轴公式,任意面元dA 在旧坐标系oxy和新坐标系ox1y1的关系为：,代入惯性矩的定义式：,利用二倍角函数代入上式，得转轴公式 ：,注：,上式中的 的符号为：从旧轴x至新轴x1逆时
8、针为正，顺时针为负。,（上式表明，截面对于通过同一点的任意一对相互垂直的坐标轴的两惯性矩之和为一常数，并等于截面对该坐标原点的极惯性矩 ）,将前两式相加得,由惯性积的转轴公式可知，当坐标轴旋转时，惯性积将随着角作周期性变化，且有正有负。因此，必有一特定的角度0，使截面对于新坐标轴x0、y0的惯性积等于零。,2.截面的主惯性轴和主惯性矩,(1) 主惯性轴:截面对其惯性积等于0的一对坐标轴。,(2) 主惯性矩:截面对于主惯性轴的惯性矩。,(3) 形心主惯性轴：当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时。,(4) 形心主惯性矩:截面对于形心主惯性轴的惯性矩。,(5)确定主惯性轴的位置,设0是旧轴x 逆时
9、针转向主惯性轴x0的角度，则由惯性积的转轴公式及主惯性轴的定义，得,可改写为,（注：将负号置于分子上有利于确定2 0角的象限）,(5) 由上面tan20的表达式求出cos20、sin20后，再代入惯性矩的转轴公式 ，化简后可得主惯性矩的计算公式：,极大值Imax,极小值Imin,(6) 几个结论,若截面有一根对称轴，则此轴即为形心主惯性轴之一，另一形心主惯性轴为通过形心并与对称轴垂直的轴。,若截面有二根对称轴，则此二轴即为形心主惯性轴。,若截面有三根对称轴，则通过形心的任一轴均为形心主惯性轴，且主惯性矩相等。,例 4-1 计算所示图形的形心主惯性矩。,解：该图形形心 c 的位置已确定, 如图所示。,过形心 c 选一对座标轴 y, z 轴，计算其惯性矩(积)。,在第三象限,形心主惯性轴 y0 , z0 分别由 y 轴和 z轴绕 c 点逆时针转 113.80 得出。,形心主惯形矩为,例3 在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴。(b=1.5d),解： 建立坐标系如图。,求形心位置。, 建立形心坐标系；求：Iyc， Izc ， I yczc,d,b,2d,d,b,2d,结 束,
