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1、如何学好线性代数如何学好线性代数如何学好线性代数.txt一、注重对基本概念的理解与把握，正确熟练运用基本方法及基本运算。 线性代数的概念很多，重要的有： 代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩(矩阵、向量组、二次型)，等价(矩阵、向量组)，线性组合与线性表出，线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，解的结构与解空间，特征值与特征向量，相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形，正定，合同变换与合同矩阵。往年常有考生没有准确把握住概念的内涵，也没有注意相关概念之间的区别与联系，导致做题时出现错误。 例如，矩阵 A(1，2，m)与 B(1，2，m)等价，
2、意味着经过初等变换可由 A 得到 B，要做到这一点，关键是看秩 r(A)与 r(B)是否相等，而向量组 1，2，m 与1，2，m 等价，说明这两个向量组可以互相线性表出，因而它们有相同的秩，但是向量组有相同的秩时，并不能保证它们必能互相线性表现，也就得不出向量组等价的信息，因此，由向量组1，2，m 与 1，2，m 等价，可知矩阵A(1，2，m)与 B(1，2，m)等价，但矩阵 A 与B 等价并不能保证这两个向量组等价。 又如，实对称矩阵 A 与 B 合同，即存在可逆矩阵 C 使CTACB，要实现这一点，关键是二次型 xTAx 与 xTBx 的正、负惯性指数是否相同，而 A 与 B 相似是指有可
3、逆矩阵 P 使 P-1APB 成立，进而知 A 与 B 有相同的特征值，如果特征值相同可知正、负惯性指数相同，但正负惯性指数相同时，并不能保证特征值相同，因此，实对称矩阵 ABAB，即相似是合同的充分条件。 线性代数中运算法则多，应整理清楚不要混淆，基本运算与基本方法要过关，重要的有： 行列式(数字型、字母型)的计算，求逆矩阵，求矩阵的秩，求方阵的幂，求向量组的秩与极大线性无关组，线性相关的判定或求参数，求基础解系，求非齐次线性方程组的通解，求特征值与特征向量(定义法，特征多项式基础解系法)，判断与求相似对角矩阵，用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵(亦即用正交变换化二次型为标准形)。 二、注重知
4、识点的衔接与转换，知识要成网，努力提高综合分析能力。 线性代数从内容上看纵横交错，前后联系紧密，环环相扣，相互渗透，因此解题方法灵活多变，复习时应当常问自己做得对不对？再问做得好不好？只有不断地归纳总结，努力搞清内在联系，使所学知识融会贯通，接口与切入点多了，熟悉了，思路自然就开阔了。例如：设 A 是 mn 矩阵，B 是 ns 矩阵，且 AB0，那么用分块矩阵可知 B 的列向量都是齐次方程组 Ax0 的解，再根据基础解系的理论以及矩阵的秩与向量组秩的关系，可以有 r(B)n-r(A)即 r(A)r(B)n 进而可求矩阵 A 或 B 中的一些参数 再如，若 A 是 n 阶矩阵可以相似对角化，那么
5、，用分块矩阵处理 P-1AP可知 A 有 n 个线性无关的特征向量，P 就是由 A 的线性无关的特征向量所构成，再由特征向量与基础解系间的联系可知此时若 i 是 ni 重特征值，则齐次方程组(iE-A)x0 的基础解系由 ni 个解向量组成，进而可知秩 r(iE-A)n-ni，那么，如果 A不能相似对角化，则 A 的特征值必有重根且有特征值 i 使秩r(iE-A)n-ni，若 A 是实对称矩阵，则因 A 必能相似对角化而知对每个特征值 i 必有 r(iE-A)n-ni，此时还可以利用正交性通过正交矩阵来实现相似对角化。 又比如，对于 n 阶行列式我们知道： 若A0，则 Ax0 必有非零解，而
6、Axb 没有惟一解(可能有无穷多解，也可能无解)，而当A0 时，可用克莱姆法则求Axb 的惟一解； 可用A证明矩阵 A 是否可逆，并在可逆时通过伴随矩阵来求A-1； 对于 n 个 n 维向量 1，2，n 可以利用行列式A12n是否为零来判断向量组的线性相关性； 矩阵 A 的秩 r(A)是用 A 中非零子式的最高阶数来定义的，若r(A)r，则 A 中 r 阶子式全为 0； 求矩阵 A 的特征值，可以通过计算行列式E-A，若0 是 A 的特征值，则行列式0E-A0； 判断二次型 xTAx 的正定性，可以用顺序主子式全大于零。 凡此种种，正是因为线性代数各知识点之间有着千丝万缕的联系，代数题的综合性
7、与灵活性就较大，同学们整理时要注重串联、衔接与转换。 三、注重逻辑性与叙述表述 线性代数对于抽象性与逻辑性有较高的要求，通过证明题可以了解考生对数学主要原理、定理的理解与掌握程度，考查考生的抽象思维能力、逻辑推理能力。大家复习整理时，应当搞清公式、定理成立的条件，不能张冠李戴，同时还应注意语言的叙述表达应准确、简明。 线性代数中常见的证明题型有： 证A0；证向量组 1，2，t 的线性相关性，亦可引伸为证 1，2，t 是齐次方程组 Ax0 的基础解系；证秩的等式或不等式；证明矩阵的某种性质，如对称，可逆，正交，正定，可对角化，零矩阵等；证齐次方程组是否有非零解；线性方程组是否有解(亦即 能否由 1，2，s 线性表出)；对给出的两个方程组论证其同解性或有无公共解；证二次型的正定性，规范形等
