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1、如何学好线性代数如何学好线性代数如何学好线性代数.txt一、注重对基本概念的理解与把握,正确熟练运用基本方法及基本运算。 线性代数的概念很多,重要的有: 代数余子式,伴随矩阵,逆矩阵,初等变换与初等矩阵,正交变换与正交矩阵,秩(矩阵、向量组、二次型),等价(矩阵、向量组),线性组合与线性表出,线性相关与线性无关,极大线性无关组,基础解系与通解,解的结构与解空间,特征值与特征向量,相似与相似对角化,二次型的标准形与规范形,正定,合同变换与合同矩阵。往年常有考生没有准确把握住概念的内涵,也没有注意相关概念之间的区别与联系,导致做题时出现错误。 例如,矩阵 A(1,2,m)与 B(1,2,m)等价,
2、意味着经过初等变换可由 A 得到 B,要做到这一点,关键是看秩 r(A)与 r(B)是否相等,而向量组 1,2,m 与1,2,m 等价,说明这两个向量组可以互相线性表出,因而它们有相同的秩,但是向量组有相同的秩时,并不能保证它们必能互相线性表现,也就得不出向量组等价的信息,因此,由向量组1,2,m 与 1,2,m 等价,可知矩阵A(1,2,m)与 B(1,2,m)等价,但矩阵 A 与B 等价并不能保证这两个向量组等价。 又如,实对称矩阵 A 与 B 合同,即存在可逆矩阵 C 使CTACB,要实现这一点,关键是二次型 xTAx 与 xTBx 的正、负惯性指数是否相同,而 A 与 B 相似是指有可
3、逆矩阵 P 使 P-1APB 成立,进而知 A 与 B 有相同的特征值,如果特征值相同可知正、负惯性指数相同,但正负惯性指数相同时,并不能保证特征值相同,因此,实对称矩阵 ABAB,即相似是合同的充分条件。 线性代数中运算法则多,应整理清楚不要混淆,基本运算与基本方法要过关,重要的有: 行列式(数字型、字母型)的计算,求逆矩阵,求矩阵的秩,求方阵的幂,求向量组的秩与极大线性无关组,线性相关的判定或求参数,求基础解系,求非齐次线性方程组的通解,求特征值与特征向量(定义法,特征多项式基础解系法),判断与求相似对角矩阵,用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵(亦即用正交变换化二次型为标准形)。 二、注重知
4、识点的衔接与转换,知识要成网,努力提高综合分析能力。 线性代数从内容上看纵横交错,前后联系紧密,环环相扣,相互渗透,因此解题方法灵活多变,复习时应当常问自己做得对不对?再问做得好不好?只有不断地归纳总结,努力搞清内在联系,使所学知识融会贯通,接口与切入点多了,熟悉了,思路自然就开阔了。例如:设 A 是 mn 矩阵,B 是 ns 矩阵,且 AB0,那么用分块矩阵可知 B 的列向量都是齐次方程组 Ax0 的解,再根据基础解系的理论以及矩阵的秩与向量组秩的关系,可以有 r(B)n-r(A)即 r(A)r(B)n 进而可求矩阵 A 或 B 中的一些参数 再如,若 A 是 n 阶矩阵可以相似对角化,那么
5、,用分块矩阵处理 P-1AP可知 A 有 n 个线性无关的特征向量,P 就是由 A 的线性无关的特征向量所构成,再由特征向量与基础解系间的联系可知此时若 i 是 ni 重特征值,则齐次方程组(iE-A)x0 的基础解系由 ni 个解向量组成,进而可知秩 r(iE-A)n-ni,那么,如果 A不能相似对角化,则 A 的特征值必有重根且有特征值 i 使秩r(iE-A)n-ni,若 A 是实对称矩阵,则因 A 必能相似对角化而知对每个特征值 i 必有 r(iE-A)n-ni,此时还可以利用正交性通过正交矩阵来实现相似对角化。 又比如,对于 n 阶行列式我们知道: 若A0,则 Ax0 必有非零解,而
6、Axb 没有惟一解(可能有无穷多解,也可能无解),而当A0 时,可用克莱姆法则求Axb 的惟一解; 可用A证明矩阵 A 是否可逆,并在可逆时通过伴随矩阵来求A-1; 对于 n 个 n 维向量 1,2,n 可以利用行列式A12n是否为零来判断向量组的线性相关性; 矩阵 A 的秩 r(A)是用 A 中非零子式的最高阶数来定义的,若r(A)r,则 A 中 r 阶子式全为 0; 求矩阵 A 的特征值,可以通过计算行列式E-A,若0 是 A 的特征值,则行列式0E-A0; 判断二次型 xTAx 的正定性,可以用顺序主子式全大于零。 凡此种种,正是因为线性代数各知识点之间有着千丝万缕的联系,代数题的综合性
7、与灵活性就较大,同学们整理时要注重串联、衔接与转换。 三、注重逻辑性与叙述表述 线性代数对于抽象性与逻辑性有较高的要求,通过证明题可以了解考生对数学主要原理、定理的理解与掌握程度,考查考生的抽象思维能力、逻辑推理能力。大家复习整理时,应当搞清公式、定理成立的条件,不能张冠李戴,同时还应注意语言的叙述表达应准确、简明。 线性代数中常见的证明题型有: 证A0;证向量组 1,2,t 的线性相关性,亦可引伸为证 1,2,t 是齐次方程组 Ax0 的基础解系;证秩的等式或不等式;证明矩阵的某种性质,如对称,可逆,正交,正定,可对角化,零矩阵等;证齐次方程组是否有非零解;线性方程组是否有解(亦即 能否由 1,2,s 线性表出);对给出的两个方程组论证其同解性或有无公共解;证二次型的正定性,规范形等